Зважене середнє і структура (мікс)

Пробні уроки приходять із двох каналів. Реклама: заплатили 40 із 1 000, 4%. Рекомендації: 30 із 200, 15%. Усереднення двох часток дає (4% + 15%) ÷ 2 = 9,5% — це середнє часток. Прямий підрахунок дає 40 + 30 = 70 платників із 1 200 пробних, 5,83% — це об'єднана частка.

Вони не збігаються, бо середнє часток вважає 200 людей рівними 1 000. Об'єднана частка рахує кожен пробний урок один раз, тож тяжіє до більшої групи: 5,83% набагато ближче до рекламних 4%, ніж до 15% рекомендацій.

На питання «яка частка наших пробних заплатила?» відповідає об'єднана частка, і саме за нею йдуть дохід і навантаження. Середнє часток відповідає на інше питання — про типовий канал, а не про типовий пробний урок. Якщо сумніваєшся, повернися до кількостей: усі успіхи на всіх людей.

Зважене середнє дає кожному значенню вагу, пропорційну його вазі:

x̄_w = Σwᵢxᵢ ÷ Σwᵢ.

Помнож кожне значення на його вагу, додай й поділи на загальну вагу. Якщо Klasna продає 3 400 уроків по 620 грн і 1 200 по 650 грн, середня ціна, зважена за кількістю уроків, — (2 108 000 + 780 000) ÷ 4 600 ≈ 627,83 грн. Звичайне середнє двох цін, 635, удає, ніби по 650 продали стільки ж уроків, скільки по 620.

Це той самий шаблон суми добутків з уроку про Σ, Σqp ÷ Σq, а об'єднана частка — та сама формула, де ваги — пробні уроки, а значення — конверсії. Із рівними вагами зважене середнє стає звичайним.

Дві перевірки: зважене середнє завжди лежить між найменшим і найбільшим значенням і ближче до значень із більшою вагою. Якщо твоє вийшло за ці межі, якась вага чи значення не на своєму місці.

У тесті конверсій статистика об'єднує дві групи в p̄ = (x₁ + x₂) ÷ (n₁ + n₂): усі успіхи на всіх людей. Це зважене середнє двох часток, кожна з вагою свого розміру групи.

Для каналу з 30 платниками на 600 пробних (5%) і другого з 33 на 300 (11%) об'єднана частка — 63 ÷ 900 = 7%, нижча за середнє часток, 8%, бо більший канал конвертує гірше.

Чи буває середнє часток правильним? Так, коли сама група — одиниця, яка тебе цікавить: «як конвертує типовий канал?» чи «яка середня частка по наших школах, кожна порахована один раз?». Для питання «як конвертує типовий пробний урок?» — об'єднуй. Більшість бізнес-питань — про людей чи гроші, тож об'єднуй за замовчуванням, а коли ні, кажи про це.

Об'єднуй кількості, а не відсотки: додати успіхи й людей простіше і надійніше, ніж зважувати частки.

З часом ваги можуть зсунути загальну частку не менше, ніж самі частки. У травні реклама дала 1 000 пробних на 4%, рекомендації — 200 на 15%: разом 5,83%. У липні реклама конвертувала на 5%, рекомендації — на 16%, кожна на 1 в. п. краще, але пробних було 600 і 600: разом (30 + 96) ÷ 1 200 = 10,5%.

Конверсія майже подвоїлася? Здебільшого змінився мікс: більше пробних прийшло з кращого каналу. Щоб розділити ефекти, порахуй частку з поправкою на мікс — липневі частки з травневими вагами: (1 000 × 5% + 200 × 16%) ÷ 1 200 = 82 ÷ 1 200 = 6,83%.

Тепер розклади +4,67 в. п.: приблизно +1 в. п. — справжнє покращення каналів (5,83% → 6,83%), а +3,67 в. п. — мікс (6,83% → 10,5%).

Зафіксуй ваги, зміни частки — і побачиш, що зробили самі частки. Подавай обидві частини, інакше зсув джерел трафіку видаватиметься за кращий продукт.

Коли мікс зсувається достатньо, загальне число може рухатися всупереч кожній своїй групі: це парадокс Сімпсона.

Травень той самий: реклама — 1 000 пробних на 4%, рекомендації — 200 на 15%, разом 5,83%. Нехай у липні реклама впала до 3,5%, рекомендації — до 14%, а пробних по 600 з кожного каналу. Разом: (21 + 84) ÷ 1 200 = 8,75%. Обидва канали погіршилися, а загальна частка покращилася, бо половина пробних тепер іде з каналу, що конвертує вчетверо краще.

За травневим міксом липневі частки дають (35 + 28) ÷ 1 200 = 5,25% — спад, і саме він насправді стався всередині кожного каналу.

Висновок не в тому, що підсумки брешуть: на питання «як справи в усіх наших пробних?» вони відповідають правильно. Пастка — читати підсумок так, ніби він описує частини. Коли загальне число рухається, перевір групи й мікс, перш ніж пояснювати рух.

t-тест об'єднує дисперсії двох груп в одну:

s_p² = ((n₁ − 1)s₁² + (n₂ − 1)s₂²) ÷ (n₁ + n₂ − 2).

Читай її як зважене середнє s₁² і s₂² з вагами n₁ − 1 і n₂ − 1; знаменник — просто сума ваг. Якщо n₁ = 11, s₁² = 16, n₂ = 21, s₂² = 25: (10 × 16 + 20 × 25) ÷ 30 = (160 + 500) ÷ 30 = 22. Результат тяжіє до 25, бо друга група більша.

Чому n − 1, а не n? Кожну вибіркову дисперсію міряють від власного середнього, а воно забирає інформацію одного значення, тож кожна група дає n − 1 вільних частин. Статистика називає їх ступенями свободи.

Перевірка: об'єднана дисперсія завжди лежить між s₁² і s₂².

Фінанси зважують ставки за грошима, що за ними стоять. Компанія, яку фінансують 4 мільйони гривень боргу під 18% і 6 мільйонів власного капіталу під 25%, має вартість капіталу

(4 × 18% + 6 × 25%) ÷ (4 + 6) = (0,72 + 1,50) ÷ 10 = 22,2%.

Це знову зважене середнє: ставки — значення, суми — ваги. Власний капітал дорожчий, і його більше, тож результат ближчий до 25%, ніж до 18%.

У курсі фінансів цією ставкою оцінюють проєкти: проєкт, що заробляє менше, ніж коштують гроші, якими його фінансують, втрачає вартість.

Помилки: усереднити дві ставки без ваг, (18% + 25%) ÷ 2 = 21,5%, і зважувати за кількістю кредиторів чи власників замість грошей. Ваги мають бути тим, про що питання, тут — гривнями фінансування.

Ваги можуть виражати й судження. Оцінка PERT зводить три здогади про задачу до одного, зважуючи їх як 1 : 4 : 1: E = (O + 4M + P) ÷ 6, де O — оптимістична оцінка, M — найімовірніша, P — песимістична. Для 4, 6 і 14 тижнів: (4 + 24 + 14) ÷ 6 = 7 тижнів. Ваги в сумі дають 6, звідси ÷ 6, а довгий песимістичний хвіст тягне оцінку вище за найімовірніше значення.

Зважений бал для варіантів роадмапи працює так само: дай кожному критерію вагу, щоб ваги в сумі давали 1, і бал = Σwᵢsᵢ. Бали 4, 3 і 5 з вагами 0,5, 0,3 і 0,2 дають 2,0 + 0,9 + 1,0 = 3,9.

Як це складається докупи: кожне середнє тут — Σwx ÷ Σw; обрати ваги означає обрати питання, а зміна ваг, тобто міксу, сама може зсунути підсумок. Наступний урок — добутки часток у воронках і деревах метрик.