Знак Σ: суми, межі й накопичені підсумки

Σ, велика грецька сигма, означає «додай усе». Сума має три частини: те, що стоїть після Σ, каже, що додавати, позначка внизу — з чого почати, а вгорі — де зупинитися.

Σ від i = 1 до n від xᵢ — це x₁ + x₂ + … + xₙ. Для п'ятьох учнів, які взяли 6, 9, 4, 7 і 14 уроків, Σxᵢ = 40. Середнє — ця сума, поділена на кількість: x̄ = (1/n)Σxᵢ = 40 ÷ 5 = 8. За символами формула середнього каже просто: «додай усе й поділи на кількість».

Межі — це фільтр за індексом. Від i = 2 до 4 означає x₂ + x₃ + x₄ = 9 + 4 + 7 = 20, позиції — у порядку збору. Коли у формулі меж немає і написано просто Σx, мається на увазі «усі».

Прочитай суму вголос, перш ніж рахувати: «для кожного учня беремо його уроки й додаємо».

Сума, яку ти зустрінеш в кожній формулі розкиду, — Σ(xᵢ − x̄): спершу відняти середнє від кожного значення, потім додати. Для 6, 9, 4, 7, 14 із x̄ = 8 відхилення — −2, +1, −4, −1 і +6, а в сумі вони дають 0.

Це не збіг. Так буває для будь-якого списку, бо середнє — точка рівноваги: сумарна відстань значень нижче від нього дорівнює сумарній відстані тих, що вище. Символами: Σ(xᵢ − x̄) = Σxᵢ − n·x̄, а n·x̄ — це саме Σxᵢ, тож виходить 0.

Тому «середнє відхилення» не вимірює розкиду: воно завжди нуль, хоч значення щільно скупчені, хоч дуже різні. Статистика обходить це, підносячи відхилення до квадрата перед додаванням, Σ(xᵢ − x̄)², щоб від'ємні й додатні не знищували одне одного. Чому саме квадрати, пояснює модуль 4.

Нуль — ще й зручна перевірка: якщо відхилення в сумі не дають нуля, помилка в середньому чи в якомусь відхиленні.

Квадрат поруч із сумою може означати дві дуже різні речі, і дужки кажуть, яку саме.

• Σxᵢ²: спершу кожне значення в квадрат, потім додати. Для 6, 9, 4, 7, 14: 36 + 81 + 16 + 49 + 196 = 378.
• (Σxᵢ)²: спершу додати, потім піднести суму до квадрата: 40² = 1 600.

Це знову порядок дій із модуля 1: степені виконуються раніше за додавання, якщо дужки не кажуть інакше, а квадрат у Σxᵢ² стосується кожного xᵢ.

Ці дві величини трапляються в різних місцях. Суми квадратів значень і квадратів відхилень сидять усередині дисперсії та стандартного відхилення. Квадрат суми з'являється в скорочених формулах, як-от Σxᵢ² − (Σxᵢ)²/n, що дає суму квадратів відхилень без обчислення кожного відхилення. Для 1, 2, 3 це 14 − 36/3 = 2, те саме, що (−1)² + 0² + 1².

Коли у формулі є обидві, порахуй кожну окремим рядком, перш ніж поєднувати.

Часто кожен доданок суми сам є добутком. У березні Klasna продала уроки англійської в трьох пакетах: 1 200 уроків по 650 грн, 3 400 по 620 і 2 000 по 580. Дохід — це Σqᵢ·pᵢ, кількість на ціну, пакет за пакетом:

1 200 × 650 + 3 400 × 620 + 2 000 × 580 = 780 000 + 2 108 000 + 1 160 000 = 4 048 000 грн.

Спершу множення в кожному доданку, потім додавання доданків, як і велить порядок дій. Спокусливе скорочення — додати всі кількості, усі ціни й перемножити суми — дає 6 600 × 1 850 = 12 210 000, утричі забагато.

Поділи суму добутків на Σqᵢ = 6 600 — і отримаєш середню ціну уроку, близько 613,33 грн, середнє, зважене за кількістю; на ньому побудовано модуль 3. Кореляція в статистиці — теж сума добутків: Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ).

Коли верхня межа суми рухається, виходить накопичений підсумок: Sₖ = x₁ + … + xₖ, усе, додане до кроку k. У таблиці це стовпець, де кожне нове значення додають до клітинки вище.

Когорта учнів приносить 120, 100, 90 і 80 грн маржі на учня в місяці з 1-го по 4-й. Накопичені підсумки — S₁ = 120, S₂ = 220, S₃ = 310 і S₄ = 390. На графіку залежно від k це крива LTV: вона росте, поки кожен місяць щось додає, але дедалі повільніше, бо місячні суми зменшуються.

Окупність — перше k, на якому накопичений підсумок сягає вартості залучення. Якщо учень коштував 300 грн, S₂ = 220 замало, а S₃ = 310 — досить, тож окупність настає в 3-му місяці.

Дві помилки: порівнювати вартість із сумою одного місяця замість накопиченого підсумку і ділити вартість на перший місяць так, ніби кожен місяць приносить стільки ж.

Деякі суми проходять одразу по двох речах. Щоб спрогнозувати активних користувачів, продуктова аналітика додає когорти: MAUₜ = Σ N_c · r₍ₜ₋c₎. MAUₜ — активні за місяць користувачі в місяці t, N_c — скільки людей прийшло в місяці c, а r₍ₜ₋c₎ — частка тих, хто ще активний через t − c місяців, тобто у віці когорти в місяці t.

У січні–березні прийшли когорти 400, 500 і 600; утримання — 100%, 50% і 40% у віці 0, 1 і 2. У березні січневій когорті 2 місяці, лютневій — 1, березневій — 0:

400 × 0,4 + 500 × 0,5 + 600 × 1 = 160 + 250 + 600 = 1 010 активних учнів.

У когортній таблиці один індекс іде вниз по когортах, другий — уздовж місяців; сума за місяць додає один стовпець. Типова помилка — поєднати когорту з чужим віком, наприклад дати найновішій когорті утримання найстаршого віку. Перш ніж множити, запиши вік кожної когорти поруч із нею.

Для деяких сум є скорочення. Сума перших n цілих чисел — 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.

Чому: склади перше число з останнім, 1 + n, друге з передостаннім, 2 + (n − 1), і так далі. Кожна пара дає n + 1, а пар — n/2. Для n = 10 кожна пара — 11, пар п'ять: 55.

Скорочення трапляється в тесті Манна–Вітні, який ранжує всі спостереження й працює із сумами рангів. Хай які дані, ранги n спостережень завжди дають у сумі n(n + 1)/2, тож тест може відняти цю базу: U = R − n(n + 1)/2. Тридцять проранжованих користувачів завжди дають 30 × 31 ÷ 2 = 465, хай які в них результати.

Перевір формулу на випадку, який легко додати вручну, n = 4: 1 + 2 + 3 + 4 = 10, і 4 × 5 ÷ 2 = 10.

Скільки пар можна скласти з k об'єктів? Кожен із k може утворити пару з k − 1 іншими, це k(k − 1), але так кожну пару пораховано двічі: A з B і B з A. Тож кількість пар — k(k − 1)/2.

Чотири варіанти тесту дають 4 × 3 ÷ 2 = 6 попарних порівнянь; вісім — 28. Пари ростуть приблизно як квадрат k, набагато швидше за самі варіанти. Для тестів це важливо: кожне зайве порівняння — ще один шанс хибної тривоги, тому тести з багатьма варіантами потребують суворіших порогів, як покаже модуль 7.

Як це складається докупи: Σ каже, що додавати і які доданки; відхилення від середнього в сумі дають нуль; квадрати, добутки, накопичені підсумки й два індекси означають «зроби це з кожним доданком і додай»; два скорочення рахують ранги й пари. Наступний урок — як перетворити формулу, щоб знайти потрібне число.