Нормальна крива

Нормальна крива — це згладжена гістограма у формі дзвона: більшість значень біля середнього, до обох країв дедалі менше, з кожного боку однаково. Її повністю задають два числа: середнє (де середина) і стандартне відхилення (наскільки широкий дзвін).

Головна властивість: площа під кривою між двома точками — частка випадків, що туди потрапляють, а отже, імовірність, що туди потрапить один випадковий випадок. Уся площа дорівнює 1, тобто всім.

Весняний пробний іспит з математики в Klasna мав бали із середнім 150 і SD 15. Площа між 140 і 160 — 0,495: приблизно половина учнів набрала бали в цій смузі завширшки 20 балів, і випадково обраний учень потрапляє в неї з імовірністю 0,495.

Дивися на площу, а не на висоту чи ширину. Смуга в 20 балів біля краю, скажімо від 185 до 205, вміщує лише приблизно 1% учнів, хоча вона така сама завширшки.

Три площі нормальної кривої варто знати напам’ять. У межах 1 SD від середнього лежить приблизно 68% площі, у межах 2 SD — приблизно 95%, у межах 3 SD — приблизно 99,7%.

Для пробного іспиту із середнім 150 і SD 15: приблизно 68% учнів набрали від 135 до 165, приблизно 95% — від 120 до 180, а 99,7% — від 105 до 195.

Крива симетрична, тож усе, що поза смугою, ділиться порівну між двома краями. Поза ±1 SD — 100 − 68 = 32%, отже, 16% набрали понад 165 і 16% — менше за 135. Поза ±2 SD — 5%: 2,5% вище за 180 і 2,5% нижче за 120.

Це дає швидкі відповіді на «яка частка вища за x?», коли x відстоїть від середнього на ціле число SD: знайди смугу, візьми те, що поза нею, і поділи навпіл. Таблиця z дає точне значення, 15,9% замість 16%, але для перевірки на здоровий глузд правила досить.

Не кожна метрика має форму дзвона. Дохід з учня, тривалість уроку чи кількість куплених пакетів скошені: більшість значень малі, а довгий хвіст тягнеться в один бік. Правило 68–95–99,7 для них не діє. Швидкий симптом: середнє ± 2 SD сягає значень, яких не буває, як-от від’ємного платежу.

Для таких даних крива все одно важлива, але інакше. Середні й частки, виміряні на багатьох людях, мають майже форму дзвона, навіть коли окремі значення скошені. Середній дохід 500 учнів чи частка 400 учнів після пробного уроку, які купили пакет, утворили б дзвін, якби вимір повторили багато разів. Тому тести й довірчі інтервали спираються на нормальну криву, хоча сирі дані зовсім на неї не схожі.

Тож перш ніж застосувати правило, спитай: це окреме значення на людину чи середнє або частка за багатьма?

Нормальні криві відрізняються лише середнім і SD, тож будь-яку з них можна звести до однієї стандартної, якщо міряти відстань від середнього в SD. Ця відстань — z = (x − середнє) ÷ SD, стандартизація з уроку Стандартизація: z, CV, розмір ефекту і r.

На пробному іспиті бал 180 — це z = (180 − 150) ÷ 15 = 2, а бал 171 — z = 21 ÷ 15 = 1,4. Від’ємне z означає нижче за середнє: 135 — це z = −1.

Коли значення переведено в z, одна таблиця площ підходить для будь-якої нормальної кривої, хай у яких одиницях: бали, хвилини чи конверсія. Правило 68–95–99,7 — це та сама таблиця при z = 1, 2 і 3. Статистика A/B-тесту теж є z: виміряна різниця, поділена на її стандартну похибку, тож та сама таблиця перетворює її на p-значення.

«95% у межах 2 SD» — заокруглене правило. Точне z, що лишає посередині 95% площі, а отже, по 2,5% у кожному хвості, — 1,96. Саме це число стоїть за кожним 95% інтервалом і кожним двобічним тестом на рівні 5%.

Інші рівні мають свої межі, знайдені так само. Для 90% посередині, по 5% у хвості, — 1,645; для 99%, по 0,5% у хвості, — 2,576. Правило завжди те саме: поділи залишок назовні між двома хвостами й знайди z, за яким лишається стільки.

Найчастіша помилка — покласти всі 5% у кожен хвіст. Це описує смугу 90%, а не 95%. Інша — думати, що 1,96 — це просто зручніше 2: навпаки, 1,96 точніше, а 2 — заокруглення.

Довірчий інтервал застосовує 1,96 на практиці. Середнє чи частка, виміряні на багатьох людях, розподілені приблизно нормально навколо справжнього значення, а роль SD грає стандартна похибка з уроку Квадратні корені і √n. Тож виміряне значення ± 1,96 стандартної похибки охоплює справжнє значення в 95% таких вимірів.

Пробні уроки Klasna: купили 30%, SE ≈ 2,3 в. п. 1,96 × 2,3 = 4,5, тож інтервал — 30% ± 4,5, від 25,5% до 34,5%. Опитування, де 42% батьків хочуть уроки у вихідні, із SE = 3 в. п.: 1,96 × 3 = 5,88, тобто від 36,1% до 47,9%.

Допомагають три звички. Спершу множ, потім додавай й віднімай. Стеж за одиницями: SE у відсоткових пунктах іде з часткою у відсотках. І називай обидві межі, а не лише центр: «42%, від 36% до 48%» показує, наскільки можна довіряти опитуванню.

p-значення — теж площа: частка кривої, що лежить щонайменше так далеко, як спостережене z, якби справжнього ефекту не було. Які хвости рахувати, вирішує запитання.

Нове нагадування Klasna про урок дало z = 1,87, а площа за 1,87 з одного боку — 0,031. Звичне запитання, «чи відвідуваність інша, краща чи гірша?», рахує крайні результати з обох боків: двобічне p = 0,031 + 0,031 = 0,062, більше за 0,05. Лише «чи краще?» рахує один хвіст: p = 0,031. Для z = −2,10 з 0,018 у хвості двобічне p — 0,036; знак не важить, бо крива симетрична.

Однобічний тест чесний, лише якщо його обрали до того, як побачили дані, і падіння справді нічого б не змінило. Обрати його потім, бо двобічне p не пройшло, — подвоїти справжню частку хибних тривог. Більшість продуктових тестів двобічні.

Формули розміру вибірки для тесту містять два значення z, додані й піднесені до квадрата: n ∝ (z_{α/2} + z_β)². Перше, z_{α/2} = 1,96, задає частку хибних тривог двобічного тесту на рівні 5%. Друге, z_β, задає потужність — шанс помітити справжній ефект запланованого розміру. Для потужності 80% z_β = 0,84, бо 80% кривої лежить нижче за 0,84.

Разом (1,96 + 0,84)² = 2,8² = 7,84. Потужність 90% бере z_β = 1,28: (1,96 + 1,28)² = 3,24² = 10,50, і 10,50 ÷ 7,84 ≈ 1,34. Десять пунктів потужності коштують приблизно на третину більше людей за інших рівних.

Оскільки суму підносять до квадрата, малі зміни будь-якого z сильно рухають вибірку. Тому команди домовляються про α і потужність ще до планування тесту.

Як це складається докупи: площа — це ймовірність; z зводить будь-яку нормальну криву до однієї шкали; 1,96 лишає 95% посередині й дає інтервали, p-значення і розміри вибірки. Наступний урок знайомить із кривими t, хі-квадрат і F і рахує саму потужність.