Лінійна функція

Лінійна функція має вигляд y = a + b·x. Її повністю задають два числа:

• вільний член a — значення y при x = 0, звідки пряма починається;
• нахил b — на скільки змінюється y, коли x зростає на 1.

Місячна модель прибутку Klasna: прибуток = 174,48·n − 1 038 000, де n — кількість проведених уроків. У вигляді a + b·x це −1 038 000 + 174,48·n. Вільний член, −1 038 000 грн, — це місяць без жодного уроку: постійні витрати все одно сплачують, тож пряма починається нижче нуля. Нахил, +174,48 грн, — те, що додає кожен наступний урок, маржинальний дохід на урок.

Дивися на роль числа, а не на його місце. Число, що стоїть окремо, — це старт, а число біля x — зміна на одиницю, хоч у якому порядку їх записано. Одиниця нахилу — завжди «одиниці y на одиницю x»: гривні за урок, учні за місяць, гривні податку з гривні доходу. Від'ємний нахил означає, що y спадає зі зростанням x; від'ємний вільний член означає лише, що пряма стартує нижче нуля.

Щоб скористатися прямою, підстав значення x і порахуй y. Діє порядок дій з уроку Порядок дій, відношення і мультиплікатори: спершу множення, потім додавання чи віднімання.

Для 7 000 уроків: 174,48 × 7 000 = 1 221 360, потім 1 221 360 − 1 038 000 = 183 360 грн операційного прибутку.

Дві швидкі перевірки. Знак: нижче беззбитковості (близько 5 950 уроків) прибуток мусить бути від'ємним, вище — додатним; 7 000 вище, тож додатний результат пасує. Крок: рух уздовж прямої на Δx змінює y рівно на b·Δx, хоч який вільний член. Тож на 1 000 уроків менше — це мінус 174 480 грн, і 6 000 уроків мають дати 183 360 − 174 480 = 8 880 грн.

Пряма — це модель, що діє в певних межах. Ця припускає, що постійні витрати лишаються 1 038 000; далеко за обсягами, які Klasna знає, нові люди в команді чи більше приміщення змінять обидва числа.

Пряма з від'ємним вільним членом і додатним нахилом перетинає нуль рівно один раз. Умова a + b·x = 0 дає x = −a ÷ b. У моделі прибутку ця точка — беззбитковість: нижче неї місяць збитковий, вище — прибутковий.

Для прибуток = 174,48·n − 1 038 000: n = 1 038 000 ÷ 174,48 ≈ 5 949,1. Уроки цілі, а 5 949 ще дають невеликий збиток, тож беззбитковість округлюємо вгору до 5 950 уроків — правило округлення вгору з уроку Округлення: наприкінці, а іноді вгору.

Той самий крок працює для будь-якої прямої. Вебінар, який коштує 4 000 грн і приносить 150 грн з кожного учасника, виходить у нуль при 4 000 ÷ 150 ≈ 26,7, тобто за 27 учасників.

Читай результат як розмір «ями» (вільний член), поділений на те, як швидко кожна одиниця її засипає (нахил). Удвічі менший нахил — удвічі більша точка беззбитковості; удвічі більші постійні витрати — так само.

Коли ти знаєш a + b·x, то бачиш цю форму в бізнес-формулах усюди. Секрет у тому, щоб назвати, що таке x, а потім прочитати старт і зміну на одиницю.

• Лінія тренду: активні учні ≈ 820 + 50·t, де t — місяці від вересня 2025 року. Старт 820, плюс 50 учнів щомісяця.
• Податок із фіксованою частиною: ФОП платить 6% доходу плюс фіксований внесок 5 707,02 грн за квартал: податок = 5 707,02 + 0,06·дохід. Ця пряма починається вище нуля.
• Ефект дизайну в тестах на групах: DE = 1 + (m − 1)·ICC. Тут x — це m − 1, інші люди в групі; вільний член — 1, а нахил — ICC, наскільки схожі між собою учасники групи. Групи по 6 з ICC 0,1 дають 1 + 5 × 0,1 = 1,5, тож тесту потрібно в 1,5 раза більше учнів.

Іноді x ховається в дужках, як m − 1 тут. Перепиши формулу так, щоб вона читалася «число + число × щось», і вільний член та нахил стануть видні.

Лише пряма через нуль, y = b·x, є пропорцією: подвоїш x — подвоїться y, зменшиш x удвічі — y теж. Щойно з'являється вільний член, це перестає бути правдою.

Візьмімо податок репетитора: 5 707,02 + 0,06·дохід за квартал. При доході 100 000 грн це 5 707,02 + 6 000 = 11 707,02; при 200 000 — 5 707,02 + 12 000 = 17 707,02. Дохід подвоївся, а податок зріс приблизно в 1,5 раза, бо фіксована частина не змінилася.

З від'ємним вільним членом усе навпаки. Вебінар, що приносить 150·n − 4 000 грн, дає 500 грн за 30 учасників і 5 000 за 60: учасників удвічі більше, прибутку вдесятеро, бо постійні витрати покриваються лише раз.

Тож перш ніж казати «удвічі більше x — удвічі більше y», подивися на вільний член. Якщо він не нуль, порахуй обидві точки, а не масштабуй одну.

Коли є фіксована частина, частка y від x змінюється разом з x. Ця частка, y ÷ x, і є ефективна ставка. Нахил — це лише ставка на наступну одиницю, гранична ставка, про яку йдеться в наступному уроці.

Для податкової прямої 5 707,02 + 0,06·дохід:

• бідний літній квартал на 69 000 грн: податок 5 707,02 + 4 140 = 9 847,02, ефективна ставка 9 847,02 ÷ 69 000 = 14,27%;
• квартал на 300 000 грн: податок 5 707,02 + 18 000 = 23 707,02, ефективна ставка 7,90%.

Фіксована частина розподіляється на більший дохід, тож ефективна ставка спадає до нахилу 6%, але ніколи його не досягає. Назвати «6%» тим, що платить маленька практика, — недооцінити реальне навантаження більш ніж удвічі.

Так само читається й собівартість уроку: постійні витрати ÷ уроки + змінні витрати на урок спадають зі зростанням обсягу, наближаючись до змінних витрат.

Багато рішень порівнюють два варіанти, і кожен — пряма від того самого x. Прирівнявши їх, a₁ + b₁x = a₂ + b₂x, отримуємо точку перетину x = (a₂ − a₁) ÷ (b₁ − b₂): різниця стартів, поділена на різницю нахилів. Це те саме розв'язування, що в уроці Перетворення формули: знайди те, що потрібно.

Приклад із курсу фінансів: засновникам лишається 0,80·(X − 1 200 000) від прибутку X з кредитом і 0,70·X з інвестором. Розкриваємо дужки: 0,80·X − 960 000 = 0,70·X, тож 0,10·X = 960 000 і X = 9 600 000 грн.

Далі читаємо малюнок. Ліворуч від перетину виграє пряма, що стартує вище; праворуч — крутіша. За прибутку до 9,6 млн угода з інвестором лишає засновникам більше, а понад це — кредит.

Дві прямі з однаковим нахилом не перетинаються ніколи: одна завжди попереду. А перетин далеко за реалістичними значеннями означає, що на практиці виграє один варіант.

Дві поширені форми витрат схожі на прямі, але ними не є.

Сходи. Координатори підтримки коштують ⌈учні ÷ 400⌉ × 38 000 грн: рівно до 400 учнів, а потім стрибок на цілу зарплату. Пряма, проведена крізь сходинки, вводить в оману біля кожного стрибка.

Крива з мінімумом. Робота на 36 людино-днів, поділена між n людьми, займає 36 ÷ n днів, але кожна додаткова людина додає день на узгодження: час = 36 ÷ n + (n − 1). Перша частина спадає, друга росте, тож сума найменша десь посередині. Порахуй кілька значень: 5 людей — 7,2 + 4 = 11,2 дня, 6 — 6 + 5 = 11, 7 — приблизно 5,1 + 6 = 11,1. У прямої немає мінімуму всередині діапазону; якщо він є, залежність не лінійна.

Як це складається докупи: пряма — це старт плюс сталий крок; з неї випливають беззбитковість, ефективні ставки й точки перетину, а сходи й криві показують, де вона перестає працювати. Наступний урок — про сам нахил: що додає ще одна одиниця і чому це не те саме, що середнє.