Розкладаємо загальну суму

Розклад ділить загальну суму на частини, які дають її точно. Тоді кожна частина має зрозумілу частку, і нічого не лишається непоясненим: «чому маржинальний дохід перевищив план на 16 000?» перетворюється на «+72 000 від обсягу, −56 000 від ставки».

Статистика робить це з розкидом, як в уроці Навіщо квадрат: дисперсія, суми квадратів і n − 1. Шість учнів узяли за місяць 4, 6, 8, 10, 12 і 14 уроків (середнє 9); перші троє вчать англійську, інші — математику до іспитів. Загальна сума квадратів — 25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25 = 70. За середніх груп 6 і 12 частина між групами — 3 × (6 − 9)² + 3 × (12 − 9)² = 54, а частина всередині — 4 + 0 + 4 + 4 + 0 + 4 = 16. І 54 + 16 = 70.

У кожного розкладу та сама перевірка: додай частини назад. Якщо вони не дають загальної суми, то або частину пораховано хибно, або метод лишає залишок, і цей залишок треба назвати, перш ніж хтось читатиме частини.

R² перетворює розклад на одне число: R² = 1 − SS_res ÷ SS_total, де SS_res — частина, яку модель лишає непоясненою. Інакше кажучи, R² = пояснена частина ÷ загальна.

Для шести учнів модель, що прогнозує кожному середнє його групи, лишає непоясненою частину всередині, 16: R² = 1 − 16 ÷ 70 ≈ 0,77. Предмет пояснює близько 77% розкиду кількості уроків.

Регресійна пряма працює так само. SS_total — розкид y навколо його середнього, SS_res — розкид точок навколо прямої. R² = 0 означає, що пряма не пояснює нічого понад середнє; R² = 1 — що всі точки лежать на прямій.

Рахуй як 1 − непояснене ÷ загальне, а не як непояснене ÷ загальне: так вийде частка залишку, протилежне прочитання. І перевір, що результат між 0 і 1.

R² легко назвати й легко переоцінити. Це частка загальної суми квадратів, яку пояснює модель. Це не:

• точність кожного прогнозу: R² = 0,77 не означає, що кожен прогноз точний у межах 23%; розкид вимірюють у квадратних одиницях, і окремий тиждень може сильно промахнутися;
• причинність: предмет пояснює 77% розкиду кількості уроків, але це не доводить, що вибір математики змушує брати більше уроків; родини, які готуються до іспитів, можуть просто бути іншими;
• оцінка, яку можна порівнювати між задачами: тижневі реєстрації шумні, і R² = 0,3 може бути там корисним, а добре виміряний процес може потребувати 0,99.

Ще одна пастка: R² ніколи не падає, коли до регресії додають входи, навіть марні. Вищий R² більшої моделі сам по собі мало що доводить.

Читай R² разом із розміром залишкових похибок у справжніх одиницях, як-от «зазвичай у межах ±12 реєстрацій на тиждень».

Фінанси використовують той самий розклад, щоб пояснити місяць. План: 8 000 уроків по 180 грн маржинального доходу, 1 440 000. Факт: 8 400 уроків у середньому по 173,33, 1 456 000. Відхилення: +16 000.

Змінилися дві речі: скільки уроків і скільки заробив кожен. Ефект обсягу виокремлює першу, оцінюючи додаткові уроки за плановою ставкою:

ефект обсягу = (фактичні уроки − планові) × плановий маржинальний дохід на урок = (8 400 − 8 000) × 180 = +72 000.

Він відповідає на питання «що принесли б додаткові уроки, якби кожен заробив стільки, скільки планували?» Більше уроків, ніж у плані, дають додатний ефект обсягу, менше — від'ємний, хоч що сталося зі ставкою.

Типова похибка — оцінювати додаткові уроки за фактичною ставкою (400 × 173,33 ≈ 69 333). Так частина зміни ставки потрапляє в обсяг, і за звичного правила для ефекту ставки частини вже не складаються у відхилення.

Ефект ставки забирає решту відхилення: фактичні уроки, помножені на зміну маржинального доходу на урок.

Ефект ставки = фактичні уроки × (фактична ставка − планова). Для місяця з 8 400 уроками по 173,33 проти плану 180: 8 400 × (173,33 − 180) ≈ −56 000. Разом з ефектом обсягу +72 000: 72 000 − 56 000 = 16 000 — усе відхилення.

Чому саме такі пари? Запиши відхилення як L₁r₁ − L₀r₀ (1 — факт, 0 — план), додай й відніми L₁r₀: (L₁ − L₀)·r₀ + L₁·(r₁ − r₀). Перший доданок — обсяг за плановою ставкою, другий — зміна ставки за фактичного обсягу. Залишку немає.

Якщо поєднати їх непослідовно, скажімо обидва за плановими значеннями, губиться перехресний доданок ΔL × Δr: тут 400 × (−6,67) ≈ −2 667. Обери одну домовленість, назви її і тримайся її щомісяця.

Ставка на урок може впасти, хоча жодна ціна не змінилася. Планове середнє 180 було зваженим середнім предметів, як в уроці Зважене середнє і структура (мікс): 6 000 уроків англійської по 190 і 2 000 математики по 150. Фактичний місяць мав 5 600 англійської і 2 800 математики — більше предмета з тоншою маржею.

Тож ефект ставки розкладається далі:

• Ефект міксу: фактичні уроки за плановою ставкою кожного предмета мінус ті самі уроки за плановим середнім: 5 600 × 190 + 2 800 × 150 − 8 400 × 180 = 1 484 000 − 1 512 000 = −28 000.
• Ефект ціни: що зробила власна ставка кожного предмета, за фактичних уроків. Англійська заробила 185 замість 190 після акції: 5 600 × (185 − 190) = −28 000. Математика без змін: 0.

Разом: обсяг +72 000, мікс −28 000, ціна −28 000, усього +16 000. Ефект міксу з'являється щоразу, коли змінюються частки предметів, а предмети заробляють по-різному, навіть за того самого загального обсягу й тих самих цін. Ефекти курсу виокремлюють так само — через доларову вартість уроку.

Охайна записка «план проти факту» має чотири кроки:

1. Плановий і фактичний підсумки та відхилення.
2. Обсяг: (L_факт − L_план) × планове середнє.
3. Мікс: Σ фактичні уроки × планова ставка − L_факт × планове середнє.
4. Ціна: Σ фактичні уроки × (фактична ставка − планова), предмет за предметом.

Потім перевір, що обсяг + мікс + ціна = відхилення. Якщо ні, на якомусь кроці взято не ту пару.

Приклад: план — 4 000 англійської по 200 і 1 000 програмування по 260, тобто 1 060 000 і середнє 212; факт — 4 500 англійської по 195 і 900 програмування по 260, тобто 877 500 + 234 000 = 1 111 500. Відхилення +51 500. Обсяг: 400 × 212 = +84 800. Мікс: 900 000 + 234 000 − 5 400 × 212 = −10 800. Ціна: 4 500 × (195 − 200) = −22 500. Перевірка: 84 800 − 10 800 − 22 500 = 51 500.

Зсув до предмета, що заробляє більше, дає додатний ефект міксу, до того, що заробляє менше, — від'ємний.

Та сама ідея пояснює особисті заощадження. Зміна заощаджень за рік розкладається на дві частини: зміна = внески + зростання.

Заощадження зросли з 200 000 до 236 000 грн, тобто на 36 000. Якщо за рік додано 30 000 нових грошей, зростання становило 36 000 − 30 000 = 6 000, близько 3% від початкового балансу. Здебільшого прогрес дали внески, а не ринок.

Такий розклад робить щорічний перегляд чесним: вдалий рік на ринку і вдалий рік заощаджень на загальній сумі виглядають однаково. І він потребує записаних внесків; без них кожна додана гривня виглядає як дохідність.

Як це складається докупи: розклад ділить загальну суму на частини, що точно дають її назад: суми квадратів — на «між» і «всередині», R² — з цього розкладу, план проти факту — на обсяг, мікс і ціну, заощадження — на внески й зростання. Модуль 6 переходить до зростання в часі: складні відсотки, дисконтування й ряди.