Кілька змінних

Модель може мати кілька входів одночасно: ŷ = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + … + bₖxₖ, або b₀ + Σbⱼxⱼ зі знаком суми з уроку Знак Σ: суми, межі й накопичені підсумки. ŷ («ігрек із дашком») — прогноз моделі, а не виміряне значення.

Кожна частина читається як пряма з уроку Лінійна функція:

• b₀ — старт, прогноз, коли всі x дорівнюють 0;
• кожен bⱼ — нахил для свого входу за незмінних інших.

Маркетингова модель Klasna для нових родин на місяць: ŷ = 40 + 0,15·витрати + 25·іспит, де витрати — у тисячах гривень, а іспит = 1 у місяці іспитів. Ще тисяча витрат додає 0,15 родини, хоч який місяць; ще 100 тисяч — 15 родин.

Завжди читай коефіцієнт разом з одиницею його входу. 0,15 виглядає мізерним, бо одиниця — тисяча гривень; з витратами в гривнях той самий ефект мав би вигляд 0,00015. Розмір коефіцієнта нічого не каже про важливість, доки ти не знаєш його одиниці й звичного діапазону входу.

Щоб отримати прогноз, підстав всі входи й додай доданки. Для місяця іспитів із витратами 90 тис. грн: ŷ = 40 + 0,15 × 90 + 25 × 1 = 40 + 13,5 + 25 = 78,5 родини. У місяць без іспитів доданок іспиту — 0, тож 53,5.

Прогноз 78,5 родини — це середнє очікування, а не обіцянка; справжні місяці розкидані навколо нього.

Обережно з b₀. Буквально 40 означає 40 родин зовсім без витрат поза сезоном іспитів. Але в кожному місяці в даних Klasna були якісь витрати, тож нуль лежить поза тим, що модель бачила. Прогноз далеко за межами даних, за витрат 0 чи 2 мільйони, продовжує пряму туди, де ніхто не перевіряв, що вона лишається прямою. Часто b₀ лише закріплює пряму всередині спостережуваного діапазону.

Тримай входи в одиницях моделі: якщо ввести витрати як 90 000 замість 90, модель спрогнозує 13 565 родин на місяць іспитів.

Деякі входи — не суми, а факти «так/ні»: місяць іспитів чи ні, груповий урок чи ні, новий чи повторний користувач. Модель кодує їх як змінні 0/1 (фіктивні змінні): 1, коли факт є, 0, коли його немає.

Тоді коефіцієнт читається як зсув. У ŷ = 40 + 0,15·витрати + 25·іспит перемикання іспиту з 0 на 1 додає 25 родин за тих самих витрат; коли іспит = 0, доданок 25·0 зникає. Тож модель малює дві паралельні прямі, і пряма іспитів на 25 родин вища за іншу.

Трьох прочитань слід уникати:

• 25 — не відсоток, воно в одиницях ŷ, родинах;
• це не нахил, воно не росте з витратами;
• це порівняння з категорією, закодованою як 0, базовою, тут — з місяцями без іспитів.

Факт із більш ніж двома значеннями, як-от чотири сезони, потребує по одній змінній 0/1 на кожну категорію, крім базової: трьох для чотирьох сезонів.

Іноді два входи діють разом. У сезон іспитів батьки можуть сильніше реагувати на рекламу, тож та сама тисяча приводить більше родин. Модель відображає це доданком взаємодії, добутком двох входів: ŷ = 40 + 0,15·витрати + 25·іспит + 0,10·витрати·іспит.

В інші місяці іспит = 0, і взаємодія зникає: кожна тисяча приводить 0,15 родини. У місяці іспитів нахил витрат стає 0,15 + 0,10 = 0,25.

Без взаємодії місяці іспитів були паралельною прямою на 25 вище. З нею пряма іспитів ще й крутіша, і розрив росте з витратами: 25 за нульових витрат, 25 + 0,10 × 100 = 35 за 100 тисяч.

Тож у моделі із взаємодіями в «ефекту витрат» немає однієї відповіді. Називай його для кожного випадку («0,15 родини на тисячу поза іспитами, 0,25 у місяці іспитів»), а не один коефіцієнт так, ніби він діє всюди.

Фінанси будують прогнози з того, що спричиняє результат, — з драйверів. Місячний операційний прибуток Klasna:

OP = L · (0,975·P − T − V·FX) − F,

де L — уроки, P — ціна, 0,975 — те, що лишається після платіжної комісії 2,5%, T — виплата репетитору, V — відео й ШІ на урок у доларах, FX — курс долара, F — постійні витрати.

Читай зсередини назовні, як велить порядок дій з уроку Порядок дій, відношення і мультиплікатори. Дужки — це маржинальний дохід на урок. За P = 650, T = 415, V = 0,75 і FX = 42: 0,975 × 650 − 415 − 0,75 × 42 = 633,75 − 415 − 31,50 = 187,25 грн. Потім множимо на уроки й віднімаємо постійні витрати.

Сенс такої форми в тому, що в кожного драйвера є власник і спосіб його перевірити: ціною опікується ціноутворення, виплатою — команда репетиторів, курс стежать фінанси. Прогноз одним числом не дає про що сперечатися; прогноз від драйверів показує, яке припущення зрушилося.

Прогноз від драйверів — це ланцюжок добутків, тож будуй його ланка за ланкою. Самі уроки складаються з двох драйверів: L = учні × уроки на учня. Жовтень: 1 010 × 6,5 = 6 565 уроків.

Далі маржинальний дохід = L × маржинальний дохід на урок = 6 565 × 187,25 = 1 229 296,25 грн, і OP = 1 229 296,25 − 1 062 000 = 167 296,25 грн.

Дві звички тримають розрахунок правильним. Рахуй дужки на урок один раз і використовуй їх, а не множ кожен драйвер на L окремо, гублячи доданок дорогою. І стеж за одиницями: учні × уроки на учня = уроки; уроки × гривні за урок = гривні. Якщо одиниці не закінчуються гривнями, бракує ланки.

Зверни увагу, який малий результат порівняно з його частинами: 167 тисяч прибутку з 1,23 мільйона маржинального доходу. Саме через цей тонкий залишок мала зміна великого драйвера так сильно зрушує прибуток, і це вимірює тест чутливості.

Щоб знайти, який драйвер важить, проведи тест чутливості: зміни один драйвер на той самий крок, скажімо на 10%, решту залиш, і запиши, наскільки зрушився результат. Потім упорядкуй за розміром.

Для жовтня з прибутком 167 296 грн:

• ціна +10%: 0,975 × 65 × 6 565 ≈ +416 057;
• виплата репетитору +10%: 41,5 × 6 565 ≈ −272 448;
• уроки +10%: 656,5 × 187,25 ≈ +122 930;
• постійні витрати +10%: −106 200;
• курс долара +10%: 0,75 × 4,2 × 6 565 ≈ −20 680.

Упорядковані смуги утворюють діаграму «торнадо». Великі потоки, як-от ціна й виплата, переважають малий залишок, хоча саме залишок нас цікавить: помилка ціни на 10% важить більш ніж удвічі більше за весь прибуток місяця.

Дві пастки: упорядковувати драйвери за їхнім власним розміром, а не за впливом на результат, і змінювати їх на різні кроки (на 10% один, на 50 грн інший), через що смуги стають непорівнюваними.

Тест чутливості рухає по одному драйверу, щоб показати, куди дивитися. Сценарій рухає кілька драйверів разом в одну узгоджену історію, щоб показати, що може статися.

Сценарій слабкого року для Klasna може поєднувати менше учнів, знижку ціни, щоб їх утримати, і дорожчий долар, бо такі речі зазвичай приходять разом. Сильний рік: більше учнів, стабільна ціна, більше уроків на кожного. Кожен сценарій рахують тією самою формулою драйверів, лише всі його припущення змінено одночасно.

Вони відповідають на різні питання, тож потрібні обидва. Чутливість каже, які припущення варті тижня перевірки; сценарії дають плану діапазон та історію, з якою можна діяти. Не додавай смуги чутливості, щоб отримати сценарій: драйвери множаться один на одного, тож спільна зміна — не сума окремих.

Як це складається докупи: модель із кількома входами — це нахил для кожного входу за незмінних інших; змінні 0/1 її зсувають, взаємодії нахиляють, драйвери складають у ланцюжок, а чутливість і сценарії показують, що важить. Наступний урок розкладає загальну суму на частини: суми квадратів, R² і план проти факту.