Перетворення формули: знайди те, що потрібно

Перетворити формулу — означає поставити тій самій формулі інше питання. Прибуток = c·Q − F відповідає на «який прибуток за такого обсягу?», а Q = F/c — на «який обсяг дає нульовий прибуток?». Це одна формула, перетворена.

Усю роботу робить одне правило: рівняння — це терези, тож що робиш з однією частиною, роби і з іншою. А дії навколо невідомого скасовуй у зворотному порядку, починаючи з зовнішньої.

У 174·Q − 870 000 = 0 спершу Q множать на 174, потім віднімають 870 000. Скасовуємо навпаки: додаємо 870 000 до обох частин (174·Q = 870 000), потім ділимо обидві на 174 (Q = 5 000).

Дозволено: додавати чи віднімати те саме число з обох боків; множити чи ділити обидві частини на те саме ненульове число; підносити обидві частини до квадрата. Не можна: змінювати лише одну частину чи ділити одні доданки частини, а інші — ні.

Беззбитковість — класичне перетворення. Прибуток — це c·Q − F: кожен урок лишає c, а постійні витрати F віднімаються зверху. Беззбитковість — обсяг, за якого прибуток дорівнює нулю, тож прирівнюємо c·Q − F = 0 і розв'язуємо щодо Q:

1. додаємо F до обох частин: c·Q = F;
2. ділимо обидві частини на c: Q = F/c.

Для Klasna з F = 870 000 грн на місяць і c = 174 грн за урок Q = 870 000 ÷ 174 = 5 000 уроків. Предмету з F = 540 000 і c = 150 потрібно 540 000 ÷ 150 = 3 600.

Коли ділення не націло, округлюй вгору, як у модулі 1: навіть частки уроку бракує — і вже збиток.

Перевір, підставивши відповідь назад: 150 × 3 600 − 540 000 = 0. Якщо перевірка не сходиться, якийсь крок зробили лише з однією частиною.

Коли невідоме сидить у дробі, спершу скасуй ділення, а потім те, що лишилося.

Особистий запас ходу в курсі про бізнес без інвесторів — R = (S − Z)/(E − I): заощадження S мінус подушка Z, якої не торкаються, поділені на місячні витрати E мінус дохід I. Щоб дізнатися, скільки відкласти на потрібний запас ходу, розв'яжи щодо S:

1. помнож обидві частини на (E − I): R·(E − I) = S − Z;
2. додай Z до обох частин: S = Z + R·(E − I).

Якщо E = 45 000, I = 15 000, Z = 60 000, а мета — 12 місяців: S = 60 000 + 12 × 30 000 = 420 000 грн.

Типових помилок дві: множити лише на E замість усієї дужки (E − I) і забути додати подушку назад. Перевір, підставивши відповідь в оригінал: (420 000 − 60 000) ÷ 30 000 = 12 місяців.

Пряма регресії ŷ = b₀ + b₁x має нахил b₁ і вільний член b₀ — прогноз, коли x дорівнює нулю. Статистика спершу рахує нахил, а вільний член випливає з одного факту й одного перетворення.

Факт: пряма найменших квадратів завжди проходить через точку середніх (x̄, ȳ). Тож ȳ = b₀ + b₁x̄.

Перетворення: відніми b₁x̄ від обох частин, і b₀ = ȳ − b₁x̄.

Нехай пряма місячних уроків залежно від рекламних витрат має b₁ = 30 уроків на тисячу грн, середні витрати x̄ = 50 тисяч, середню кількість уроків ȳ = 8 000. Тоді b₀ = 8 000 − 30 × 50 = 6 500 уроків.

Читай результат як є: це початкова висота прямої, а не обіцянка того, що дасть нуль витрат, особливо коли в даних не було місяців із витратами, близькими до нуля.

Квадратний корінь скасовують, підносячи обидві частини до квадрата. Стандартна похибка конверсії — SE = √(p(1 − p)/n), а для плану тесту потрібне зворотне: скільки користувачів n дадуть обрану SE?

1. підносимо обидві частини до квадрата: SE² = p(1 − p)/n;
2. множимо обидві частини на n: n·SE² = p(1 − p);
3. ділимо обидві частини на SE²: n = p(1 − p)/SE².

Для p = 0,2 і цільової SE = 0,01: n = 0,2 × 0,8 ÷ 0,0001 = 1 600 користувачів.

Форма результату дещо розповідає: SE стоїть у квадраті в знаменнику, тож щоб зменшити похибку вдвічі, потрібно вчетверо більше користувачів. Ось чому тести на малі ефекти тривають довго.

Помилки: забути піднести SE до квадрата (ділення на 0,01 замість 0,0001 дає 16 користувачів) і підносити до квадрата лише частину однієї з частин рівняння. Перевір, підставивши n назад: √(0,16 ÷ 1 600) = √0,0001 = 0,01.

Ділення на число, менше за 1, збільшує результат, і інтуїція часто цьому опирається. Ділити на дріб — те саме, що множити на обернене число: ÷ 0,5 — це × 2, ÷ 0,15 — це × 6,67.

Так працює оцінка post-money. Інвестор платить X за частку s компанії, тож X = s × вартість, і після перетворення вартість = X/s. Заплатити 3 мільйони гривень за 15% — означає, що після угоди компанія коштує 3 ÷ 0,15 = 20 мільйонів. Оцінка pre-money, до надходження нових грошей, — це post-money мінус інвестиція: 20 − 3 = 17 мільйонів.

Перевірка на здоровий глузд: s × вартість має повернути X. 15% від 20 мільйонів — 3 мільйони, отже сходиться.

Помилка, якої варто уникати, — множити замість ділити: 3 × 0,15 = 0,45 мільйона — менше, ніж заплачено, а вся компанія стільки коштувати не може.

Той самий прийом перетворює платіж відсотків на кредит, що за ним стоїть. За кредитом, де платять лише відсотки, щомісячний платіж — відсотки = борг × r, де r — місячна ставка. Після перетворення: борг = відсотки ÷ r.

3 000 грн на місяць за ставки r = 2% на місяць означають борг 3 000 ÷ 0,02 = 150 000 грн. Знову ділення на малу частку дуже збільшує число, і знову це правильно: мала ставка на великий борг дає помірний платіж.

Дві звички допомагають не помилитися. Записуй ставку десятковим дробом перед діленням: 2% — це 0,02, а не 2, і ділення на 2 дасть 1 500, усотеро замало. І перевіряй кожну відповідь після перетворення, підставляючи її в початкову формулу: 2% від 150 000 — це 3 000. Перевірка займає секунди й ловить більшість помилок.

Партнерська платформа лишає собі 20% ціни кожного уроку, а репетитор хоче 400 грн на руки. «400 плюс 20%» дає 480, але платформа бере 20% від 480, тобто 96, і репетитору лишається 384. Комісія — частка від ціни, а не від 400.

Запиши рівняння: P·(1 − f) = сума на руки. Розв'яжи щодо P: P = сума на руки/(1 − f) = 400 ÷ 0,8 = 500. Перевірка: 20% від 500 — це 100, і лишається 400.

Множити на (1 + f) правильно лише тоді, коли комісію нараховують зверху на витрату, як націнку. Тож завжди питай: частка від чого?

Як це складається докупи: тримай рівновагу, скасовуй дії у зворотному порядку, піднось до квадрата, щоб скасувати корінь, пам'ятай, що ділення на частку збільшує число, і перевіряй підстановкою. Наступний урок — нерівності, інтервали й формули з випадками.