Типове значення й позиція: середнє, медіана, квартилі

Середнє — сума, поділена на кількість: x̄ = Σxᵢ ÷ n. Десятеро учнів у квітні взяли 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9 і 22 уроки, разом 70, тож середнє — 7.

Уяви середнє як точку рівноваги списку на гойдалці: кожне значення тягне пропорційно своїй відстані, і далеке значення тягне сильно. Лише четверо з десяти учнів узяли 7 чи більше; учень із 22 уроками сам тягне середнє вгору. Якби він узяв 10, сума була б 58, а середнє — 5,8.

Ця чутливість — і сила, і слабкість середнього. Воно використовує кожне значення, а це потрібно для підсумків: середнє, помножене на n, повертає суму, тож саме воно годиться для планування годин репетиторів чи доходу. Але як портрет «типового» учня воно може не описувати майже нікого, коли список має довгий хвіст.

Медіана — серединне значення після впорядкування, значення, на рівні або нижче якого лежить половина списку. Їй байдуже, наскільки далекі крайні значення, тож один дуже активний учень її не зсуне.

Коли n непарне, це одне серединне значення. Коли парне, єдиної середини немає, тож це середнє двох серединних. Для 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 22 (n = 10) серединна пара — 5 і 6, тож медіана — 5,5. Заміни 22 на 220 — медіана лишиться 5,5, а середнє стрибне до 26,8.

Дві помилки: забути впорядкувати і взяти лише одне з двох серединних значень, коли n парне.

Медіаною описують типового представника скошеного списку: уроки на учня, витрати клієнта, час на сайті. Вона каже: «половина взяла стільки або менше», і це читач може уявити.

Між середнім і медіаною є компроміс — усічене середнє. Відкинь крайні значення з обох кінців, часто фіксовану частку, як-от 10% з кожного боку, і усередни решту.

Для 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 22, якщо відкинути по одному значенню з кожного кінця, лишаться 3–9, разом 46: 46 ÷ 8 = 5,75. На відміну від медіани, воно й далі використовує більшість даних; на відміну від середнього, один дуже активний учень ним уже не керує.

Відкидай однакову кількість з обох кінців. Прибрати лише велике значення — не усічення, а видалення незручного числа.

Мода — найчастіше значення: у цьому списку 4, його взяли двоє учнів. Найкорисніша вона для категорій і значень, що часто повторюються, як-от найпопулярніший розмір пакета. У списку, де всі значення різні, корисної моди немає.

Порівняння середнього з медіаною показує форму списку без жодного графіка.

• Середнє помітно вище за медіану: довгий правий хвіст, кілька великих значень тягнуть середнє вгору. Дохід, уроки на учня, час на сайті зазвичай саме такі.
• Середнє помітно нижче за медіану: хвіст малих значень тягне його вниз.
• Середнє близьке до медіани: список приблизно симетричний.

Місячні витрати учнів із середнім 1 850 грн і медіаною 1 240 грн скошені вправо: половина витрачає 1 240 чи менше, а кілька щедрих учнів підіймають середнє. Тож «більшість учнів витрачає понад 1 850» неможливо.

Жодне з чисел не хибне. Для скошеного списку подавай медіану як типове значення, а середнє лишай для підсумків. Коли розрив великий, скажи про це: це інформація про клієнтів, а не шум.

Медіана ділить упорядкований список навпіл. Квартилі ділять його на чотири: Q₁ — медіана нижньої половини, Q₃ — верхньої. Для 2, 3, 4, 4, 5 | 6, 7, 8, 9, 22 нижня половина дає Q₁ = 4, а верхня — Q₃ = 8.

IQR, міжквартильний розмах, — це Q₃ − Q₁ = 4: ширина середньої половини списку. На відміну від повного розмаху, 22 − 2 = 20, він ігнорує одного дуже активного учня, тож описує розкид типових учнів. На ньому побудовано межі викидів із модуля 2: 4 − 1,5 × 4 = −2 і 8 + 1,5 × 4 = 14, тож учня з 22 уроками позначать.

Якщо в половині парна кількість значень, її медіана — знову середнє двох серединних. Для непарного n поширена домовленість не включати загальну медіану в жодну з половин.

Перцентиль узагальнює цю ідею: p-й перцентиль — значення, нижче якого лежить p% списку. 90-й перцентиль уроків на учня — рівень, який перевищує лише верхня десята частина. Квартилі — це 25-й і 75-й перцентилі, медіана — 50-й.

Таблиці рахують їх інтерполяцією. QUARTILE.INC і PERCENTILE.INC ставлять p-й перцентиль на позицію 1 + (n − 1) × p упорядкованого списку; якщо позиція падає між двома значеннями, вони беруть відповідну частку шляху між ними. Для десяти значень 2 … 22 Q₃ стоїть на позиції 1 + 9 × 0,75 = 7,75, на три чверті шляху від x₍₇₎ = 7 до x₍₈₎ = 8: 7,75, а не 8, як за методом половин.

Обидва методи прийнятні, і найбільше вони різняться на коротких списках. Важливо вказувати, яким методом рахували, і ніколи не порівнювати квартиль за одним методом із квартилем за іншим.

Середні допомагають і із сезонами. Сезонний індекс — це місяць, поділений на середній місяць. У середньому Klasna проводить 6 000 уроків на місяць; травень дає 9 620, тож індекс травня — 9 620 ÷ 6 000 ≈ 1,60, тобто на 60% вище за типовий місяць. Індекс нижче 1 позначає тихий місяць.

Індекс знешкоджує поширену пастку: травень із 9 620 уроками — це не ріст, а просто травень. Щоб чесно порівняти місяці, поділи кожен на його індекс: 9 620 ÷ 1,60 ≈ 6 000 — число з урахуванням сезонності, яке можна ставити поруч із тихим місяцем, скоригованим так само.

Дванадцять індексів року в середньому дають 1, бо кожен виміряно відносно середнього місяця. Якщо у тебе не так, помилка в середньому чи в якомусь індексі.

Коли можна, рахуй індекси за кілька років: один рік змішує сезон з усім іншим, що сталося того року.

Крива накопиченої частки показує для кожного x частку списку з x чи менше. Для десятьох учнів: 40% узяли 4 уроки чи менше, 60% — 6 чи менше, 90% — 9 чи менше, 100% — 22 чи менше.

Позиції читають просто з неї. Там, де крива перетинає 50%, — медіана; 25% і 75% дають Q₁ і Q₃; 90% — 90-й перцентиль.

Поклади дві групи на один графік і порівняй. Крива, вища за якогось x, має більше учасників на рівні x чи нижче, тобто більше учнів із малою кількістю уроків. Де криві перетинаються, порядок змінюється: нижче перетину в одній групі більше таких учнів, вище — інша група наздоганяє.

Як це складається докупи: середнє — точка рівноваги, медіана й квартилі — позиції в упорядкованому списку, а крива показує всі позиції одразу. Наступний урок — зважене середнє, де одні значення важать більше за інші.