Нерівності, інтервали й формули з випадками

Формули — не лише про «дорівнює». Нерівності кажуть, на який бік межі потрапляє число, і два їхні види різняться рівно одним значенням — самою межею.

• <, «менше», не включає межу: p < 0,05 не охоплює 0,05.
• ≤, «не більше», включає її: p ≤ 0,05 охоплює.
• > і ≥ працюють так само вгору; ≥ читається «не менше».

Більшість чисел ніколи не потрапляє рівно на межу, тож знак здається прискіпливістю, доки таке не трапиться: оцінка рівно 4,0, p-значення рівно 0,05, продажі рівно 100 000 грн. Тоді результат вирішує лише знак, а правило, яке не каже, на чий бік іде межа, породжує суперечку.

Пишучи правило, віддавай кожну межу рівно одному боку: «від 100 000 включно до 300 000, не включаючи» — це 100 000 ≤ s < 300 000. Читаючи правило, перевіряй знак раніше за число.

±, «плюс-мінус», дає одразу два числа: a ± b означає все від a − b до a + b. Приріст 1,3 в. п. ± 0,9 в. п. — це діапазон від 0,4 до 2,2 в. п.

Як інтервал: [0,4; 2,2]. Квадратні дужки включають кінці, круглі — ні: (0,4; 2,2) — той самий діапазон без кінців. Змішаний запис, як-от [0; 5), включає 0 і не включає 5.

Середина інтервалу ± — це оцінка, а b — її похибка: наскільки далеко в кожен бік може правдоподібно бути справжнє значення. Тож ширина інтервалу — 2b, і зменшення b удвічі вдвічі зменшує непевність.

Дві помилки: прочитати 1,3 ± 0,9 як «від 0,9 до 1,3» і подати похибку у відсотках, коли оцінка — в пунктах. Зберігай одиниці оцінки: приріст у в. п. має похибку у в. п.

Для результату тесту головне питання до інтервалу — чи містить він 0, бо 0 означає «ефекту немає».

• Інтервал повністю вище 0, як [0,4; 2,2], виключає «ефекту немає»: кожне правдоподібне значення — виграш.
• Інтервал, що містить 0, як [−0,3; 1,9], не виключає. Знак ∈ читається «належить»: 0 ∈ [−0,3; 1,9]. ∉ означає «не належить».
• Інтервал повністю нижче 0 вказує на втрату.

Інтервал, що лише торкається 0, як 0,8 ± 0,8 = [0; 1,6], однаково його містить, тож не виключає «ефекту немає».

Стрілка ⇔, «тоді й лише тоді», пов'язує рішення з умовою в обидва боки: «відхиляємо "ефекту немає" ⇔ p < α» означає, що мале p веде до відхилення, а відхилення означає, що p було малим. Третього не дано. Спершу перетвори ± на інтервал — і перевірка на 0 займе один погляд.

Деякі формули розгалужуються: відповідь залежить від того, у якому ти випадку. Фігурна дужка ліворуч перелічує випадки, і в кожного праворуч є умова. Спершу прочитай умову, потім застосуй формулу поруч із нею.

Класичний приклад — медіана. Коли n непарне, це середнє за порядком значення після впорядкування, x₍₍ₙ₊₁₎/₂₎; коли парне, одного серединного немає, тож беруть середнє двох серединних, (x₍ₙ/₂₎ + x₍ₙ/₂₊₁₎)/2. Для 4, 6, 7, 9 (n = 4): (6 + 7) ÷ 2 = 6,5. Для 4, 6, 7, 9, 14 (n = 5): x₍₃₎ = 7.

Так само записують бізнес-правила: бонус, що дорівнює 0 нижче певної оцінки, одна ставка в середній смузі й інша — вище. Випадки мають охопити кожне можливе значення рівно один раз, без прогалин і накладань, і саме тут знадобляться знаки < і ≤.

Більшість помилок — від того, що умову пропускають і беруть першу ліпшу формулу.

Поширене правило для позначення незвичних значень — пара нерівностей, межі викидів. Значення позначають, якщо

x < Q₁ − 1,5·IQR або x > Q₃ + 1,5·IQR,

де Q₁ і Q₃ — нижній і верхній квартилі, а IQR = Q₃ − Q₁ — розкид середньої половини даних.

Якщо Q₁ = 6, а Q₃ = 10 уроків на місяць, IQR = 4, нижня межа — 6 − 6 = 0, верхня — 10 + 6 = 16. Учня з 18 уроками позначать, а з рівно 16 — ні, бо правило використовує строгий знак >.

«Або» важливе: значення позначають, якщо воно порушує хоч одну межу. А позначка — привід придивитися, а не видаляти: 18 уроків може мати справжній, дуже завзятий учень.

max вибирає більше з того, що в дужках, а min — менше. Тому ними коротко записують підлоги й стелі.

• max(0, x − 50) ніколи не падає нижче 0: дорівнює 0, доки x не перейде 50, а потім росте на 1 за кожну одиницю понад. Плата 30 грн за кожну годину понад 50 — це 30 × max(0, h − 50): 0 за 42 години, 30 × 14 = 420 грн за 64 години.
• min(стеля, x) ніколи не перевищує стелі: реферальна винагорода 10% першого платежу, але не більше 500 грн, — це min(500, 0,1 × платіж). Платіж 3 000 грн дає 300, а 7 000 грн — 500.
• max(a, b, c) кількох тривалостей — скільки триває план, коли його напрями йдуть паралельно: 5, 8 і 6 тижнів дають 8.

Щоб знайти, де стеля починає діяти, прирівняй вміст до стелі й розв'яжи: 0,1 × платіж = 500 дає платіж 5 000 грн.

Окупність поєднує накопичений підсумок, як в уроці про Σ, із нерівністю: це перший місяць k, у якому накопичена маржа на учня сягає вартості залучення, Σ від i = 1 до k від mᵢ ≥ CAC.

Важливі і «перший», і «≥». Маржа 140, 120 і 110 грн дає накопичені підсумки 140, 260 і 370. За CAC 300 2-й місяць дає 260 < 300, а 3-й — 370 ≥ 300, тож окупність — 3-й місяць, хоча підсумок росте й далі.

Зі знаком ≥ накопичений підсумок, що рівно дорівнює CAC, уже означає окупність; зі строгим > — ні, і відповідь може зсунутися на місяць. Читай знак у визначенні, яке тобі дали.

Дві помилки: назвати місяць після перетину і шукати місяць, маржа якого сама перевищує CAC, замість накопиченого підсумку.

Ставка за порогами застосовує кожну ставку лише до свого шматка. Klasna платить партнерам із продажу 10% з перших 100 000 грн місячних продажів, 15% з частини від 100 000 до 300 000 і 20% з усього понад 300 000.

Для 380 000: 10% × 100 000 = 10 000; 15% × 200 000 = 30 000; 20% × 80 000 = 16 000. Разом 56 000 грн. Ефективна ставка — сума ÷ база, 56 000 ÷ 380 000 ≈ 14,74%; гранична ставка, з наступної гривні, — 20%. «Ставка 20%» не означає 20% від усього: це було б 76 000, переплата на 20 000.

Коли ставки ростуть від шматка до шматка, ефективна завжди нижча за граничну.

Як це складається докупи: нерівності й інтервали кажуть, на який бік межі потрапляє число; випадки та max/min перетворюють ці боки на правила; пороги застосовують правило шматок за шматком. Наступний модуль — середні й частки від часток.