Позначення: індекси, риски, «дашки» і грецькі літери

Формули пишуть стенографією, і перший її елемент — маленька літера під рядком, індекс. Візьмімо, скільки уроків узяли в березні п'ятеро учнів Klasna: 6, 9, 4, 7 і 14. Назвімо список x. Індекс каже, яке саме значення мається на увазі: x₁ = 6, x₂ = 9, x₄ = 7, x₅ = 14.

xᵢ означає «i-те значення, будь-яке з них». Так формула говорить про всі значення одразу, не перелічуючи їх. n — скільки всього значень, тут n = 5, тож i пробігає від 1 до n.

Допомагають дві звички. Читай індекс як позицію, а не як розмір: x₄ — четверте значення в порядку збору, а не четверте найменше. І перевіряй, що рахує n: значення у списку, а не їхню суму. Сума цього списку — 40, а n — 5.

Із xᵢ та n уже можна читати чимало статистики: формула каже, що зробити з кожним значенням і скільки їх усього.

Коли індекс стоїть у круглих дужках, значення спершу впорядковують від найменшого до найбільшого. x₍₁₎ — найменше, x₍ₖ₎ — k-те знизу, x₍ₙ₎ — найбільше.

Список 6, 9, 4, 7, 14 після впорядкування — 4, 6, 7, 9, 14. Тож x₂ = 9, друге зібране значення, але x₍₂₎ = 6, друге найменше. Два записи майже однакові на вигляд, а дають різні числа, і саме тому дужки й потрібні.

Упорядковані індекси з'являються там, де порядок важливіший за самі значення: медіана п'яти значень — середнє за порядком, x₍₃₎ = 7; квартилі й процентилі читають за впорядкованими позиціями; усічене середнє відкидає найменші й найбільші x₍ₖ₎.

Побачивши x₍ₖ₎, спершу впорядкуй значення на папері. Більшість помилок — від читання невпорядкованого списку.

Дві позначки над літерою змінюють її зміст.

Риска означає «середнє від». x̄ (читається «ікс із рискою») — середнє списку: (6 + 9 + 4 + 7 + 14) ÷ 5 = 40 ÷ 5 = 8 уроків. В інших курсах трапляється p̄ — середня частка.

«Дашок» означає «оцінене» або «передбачене моделлю». Лінія тренду обіцяла, що травень дасть ŷ = 9 800 уроків; насправді було y = 9 620. Різниця y − ŷ — помилка моделі за цей місяць, залишок: 9 620 − 9 800 = −180 уроків.

Порядок важливий: факт мінус прогноз. Від'ємний залишок означає, що модель переоцінила, додатний — що недооцінила. Залишок вимірюється в одиницях y, тут в уроках, а не у відсотках.

Підказка для пам'яті: риска — це середнє від чогось, «дашок» — здогад про щось.

У формулах різні літери позначають групу, яку розглянуто, і всю групу, яка тебе цікавить.

Ціле — це генеральна сукупність, її розмір — N: у березні Klasna мала N = 1 120 активних учнів. Частина, яку розглянули, — вибірка, її розмір — мала n: п'ятеро учнів, n = 5.

Середнє генеральної сукупності — μ (мю), її розкид — σ (сигма). Їх майже ніколи не видно. За вибіркою рахують x̄ і s та беруть їх як оцінки: x̄ = 8 — найкращий здогад про μ.

Тож сама літера щось стверджує. μ = 4,3 поруч з опитуванням 200 учнів каже, що виміряно всіх; x̄ = 4,3 — що виміряно 200, а решту оцінено. Грецькі літери описують ціле й зазвичай невідомі; латинські рахують за даними, які справді є.

Більшість формул статистики складено з кількох символів. Читай їх як маленький словник:

• x̄ — середнє вибірки, пораховане з твоїх даних;
• μ — середнє всієї генеральної сукупності, зазвичай невідоме;
• ŷ — значення, передбачене моделлю;
• n — кількість значень у вибірці;
• N — розмір генеральної сукупності.

За ними стоїть закономірність: риска — середнє, «дашок» — прогноз, грецькі літери описують ціле, латинські — вибірку, велика N — ціле, мала n — частину.

Коли формула їх поєднує, промов кожен символ словами, перш ніж рахувати. «x̄ мінус μ, поділене на…» стає «наскільки середнє нашої вибірки далеке від справжнього середнього, поділене на…», і зміст усього виразу зазвичай стає зрозумілим.

Деякі грецькі літери не підкоряються правилу «ціле проти вибірки»: їхній зміст задає тема.

• α (альфа) — рівень хибної тривоги, який обирають для тесту до запуску, зазвичай 0,05.
• β (бета) — імовірність пропустити справжній ефект у тесті; у регресії тією самою літерою позначають коефіцієнти моделі.
• λ (лямбда) показує силу фактора у факторному аналізі; деінде може позначати темп.

Тож одна літера в різних уроках може означати різне, і ніхто не чекає, що ти запам'ятаєш всі її значення. Підпис під формулою — це її словник: він каже, що означає кожна літера саме тут. Читай його до розрахунку, а коли пишеш формулу для інших, теж додавай підпис.

Якщо підпису немає, подивися, як літеру введено в тексті поруч, а не вгадуй з іншого курсу.

Δ (дельта) означає «зміна». ΔQ = Q_нове − Q_старе: у березні Klasna провела 7 840 уроків, у травні — 9 620, тож ΔQ = 9 620 − 7 840 = +1 780 уроків. У курсі фінансів ще трапляються Δspend — додаткові гроші на маркетинг — і ΔAR — зміна того, що винні клієнти.

ΔQ% — та сама зміна як частка від старого значення, відносна зміна з модуля 1: 1 780 ÷ 7 840 = 0,2270, тобто +22,70%. Діли на старе значення, а не на нове.

Δ завжди має порядок, нове мінус старе, тож знак показує напрямок: від'ємна Δ — це спад. І Δ зберігає одиниці того, що змінилося: уроки, гривні, а для часток — відсоткові пункти. ΔQ% — відносна версія, у відсотках.

Фігурна дужка під частиною формули з кількома словами під нею — це підпис. Вона називає шматок, щоб читач побачив будову, і нічого не змінює в арифметиці.

CM = (P − 0,025P) − (T + V) із підписом «що лишається Klasna» під першою частиною і «витрати на урок» під другою — той самий маржинальний дохід, що й раніше: 620 − 15,50 − 420 = 184,50 грн для уроку за 620 грн. Порядок дій і далі задають круглі дужки, а не фігурні.

У курсі фінансів фігурні дужки ділять розрив між планом і фактом на частини обсягу, міксу й ціни. Читай кожну дужку як речення: «ця частина — ефект ціни».

Як це складається докупи: індекс каже, яке значення, риска й «дашок» — середнє чи прогноз, грецькі й латинські літери — ціле чи вибірка, Δ — зміна, а фігурні дужки — що це за частина. Наступний урок — Σ, скорочення для «додай усе».