Складні відсотки

Відносну зміну, тобто зміну у відсотках, завжди рахують від якоїсь бази, як в уроці Відсотки і відсоткові пункти. Коли зміни йдуть одна за одною, кожна стартує від нової бази, тож просто додати їх не можна.

Вихід — множник зростання: зміна на r стає ×(1 + r). +20% — це ×1,2, −20% — ×0,8, −50% — ×0,5. Ланцюжок змін перемножується: загальний множник — це добуток, а загальна зміна — добуток мінус 1.

Приклад: Klasna Club улітку втратив 50% учасників, а у вересні виріс на 50%. 0,5 × 1,5 = 0,75, тож Club на 25% нижче, а не там, де був. Із 1 000 учасників: 500 після літа, 750 після вересня.

Порядок змін не важить (1,5 × 0,5 — теж 0,75), а от бази важать: падіння, за яким іде зростання того самого розміру, завжди закінчується нижче старту, бо зростання рахується від меншого числа.

Типова похибка — додавати відсотки (−50% + 50% = 0) або усереднювати їх. Спершу перетвори кожну зміну на множник, перемнож, і лише тоді переклади назад у відсотки.

За великих коливань різниця між додаванням і множенням стає разючою. +300% — це множник 4 (значення плюс ще три таких), −75% — множник 0,25. Разом: 4 × 0,25 = 1, тож значення точно повертається до старту.

Проте просте середнє цих двох відсотків — (300 − 75) ÷ 2 = +112,5% за період. Звіт із таким середнім описує зростання, якого не було: хто протримався обидва періоди, має рівно те, з чим починав.

Асиметрія працює в один бік. Після падіння, щоб відновитися, потрібне більше зростання: −20% вимагає +25%, −50% — +100%, −75% — +300%. Потрібне зростання після падіння f — це 1 ÷ (1 − f) − 1.

Тож коли низку відсотків підсумовують, питай початкове й кінцеве значення або перемнож множники самостійно. Чесне середнє за період — те, що дає той самий кінець зі складними відсотками: це CAGR, про нього далі в уроці.

Повтори той самий множник зростання n разів — і маєш степінь: FV = PV × (1 + r)ⁿ, де PV — сума сьогодні, r — ставка за період, FV — сума через n періодів. Це складні відсотки: кожен період заробляє і на вже нарахованих відсотках.

Прості відсотки нараховуються лише на початкову суму: FV = PV × (1 + r·n). Вони щоперіоду додають той самий крок, а не множать.

Під 25% на рік на 1 000 000: через два роки прості відсотки дають 1 000 000 × 1,5 = 1 500 000, складні — 1 000 000 × 1,25² = 1 562 500. Різниця 62 500 — це 25% від 250 000 відсотків першого року. Через шість років різниця вже 2 500 000 проти 3 814 697: пряма проти кривої, що загинається вгору.

Більшість депозитів, інвестицій і зростання метрик — складні відсотки; деякі короткі позики й пені за прострочку рахують за простими, як показує урок Простий відсоток, дні й річна ставка. Читай умови, перш ніж рахувати.

Ставка за місяць нараховується дванадцять разів, тож річне зростання — це (1 + r)¹² − 1, а не 12 × r.

За 2% на місяць: 1,02¹² ≈ 1,2682, тож рік додає 26,82%. Множення на 12 дає 24% — на 2,82 відсоткового пункта менше. Ці пункти — зростання на зростанні: з другого місяця кожні 2% рахуються від трохи більшої суми.

Різниця росте зі ставкою і з кількістю періодів. За 1% на місяць рік дає 12,68% (проти 12%), за 5% на місяць — 79,59% (проти 60%). Для малих ставок і кількох періодів n × r — непогана швидка оцінка; для всього, що йде у звіт, рахуй степінь.

Як порахувати: у таблиці =(1+0,02)^12-1, на калькуляторі телефона — 1,02 і клавіша xʸ. Завжди кажи, яке число називаєш: «2% на місяць, близько 26,8% на рік зі складними відсотками».

CAGR, середньорічний темп зростання, — це складні відсотки навпаки: маючи початкове значення V₀, кінцеве Vₙ і n років, він знаходить стабільну річну ставку, що їх поєднує. CAGR = (Vₙ ÷ V₀)^(1/n) − 1.

Степінь 1/n — це корінь n-го степеня: x^(1/2) — квадратний корінь, x^(1/3) — кубічний. Він скасовує степінь: якщо x³ = 1,4, то x = 1,4^(1/3).

Приклад: Klasna провела 8 000 уроків першої весни і 11 200 — через три весни. Загальний множник — 11 200 ÷ 8 000 = 1,4 (+40%). CAGR = 1,4^(1/3) − 1 ≈ 0,1187, тобто 11,87% на рік. Перевірка: 1,1187³ ≈ 1,40.

Типова похибка — поділити загальне зростання на кількість років: 40% ÷ 3 ≈ 13,3%. За три роки зі складними відсотками 13,3% дають 1,133³ ≈ 1,455 — забагато. Ділення завжди завищує річну ставку.

У таблиці: =(кінець/початок)^(1/n)-1. n — це кількість кроків зростання між двома значеннями, а не кількість значень.

Коли річні результати коливаються, їхнє просте середнє завищує зростання, яке насправді було. Чесне середнє — CAGR: стабільна ставка, яка зі складними відсотками дає той самий кінець.

Приклад: накопичувальний фонд за рік виріс на 50%, а наступного впав на 20%. Просте середнє — (50 − 20) ÷ 2 = 15% на рік. Справжній шлях: 1,5 × 0,8 = 1,2, тож за два роки разом +20%, а CAGR = 1,2^(1/2) − 1 ≈ 9,54%. 15% на рік зі складними відсотками дали б 1,15² = 1,3225 — +32% замість справжніх +20%.

Що більші коливання, то більша різниця, бо втрата б'є по більшій базі, ніж зростання після неї. Та сама пастка за двадцять років: у вигаданому ряді річних дохідностей із середнім 6% 100 000 зростають лише до 275 589, а це CAGR 5,2%.

Тож коли називають «середню дохідність», питай, просте це середнє чи складне. Лише складне каже, де гроші опиняться.

Щоб перевести річну ставку в місячну, спитай: який місячний множник, повторений дванадцять разів, дає річний? Це корінь 12-го степеня: місячна ставка = (1 + R)^(1/12) − 1. У зворотний бік: річна ставка = (1 + r)¹² − 1.

Приклад: 25% на рік рівноцінні 1,25^(1/12) − 1 ≈ 1,877% на місяць, а не 25 ÷ 12 ≈ 2,083%. Ділення на 12 завищує місячну ставку, бо 2,083% на місяць за рік дають більше за 25% (1,02083¹² ≈ 1,28).

Те саме правило працює для будь-якого періоду: квартал — корінь 4-го степеня, тиждень — 52-го.

Це важить в обидва боки. Кредит під «3% на місяць» звучить дрібно, але 1,03¹² ≈ 1,426 — приблизно 42,6% на рік; кредитори знають, яка версія звучить краще. А модель, якій потрібна місячна ставка з річної, мусить добувати корінь, інакше кожен місяць трохи з'їжджає.

У таблиці: =(1+R)^(1/12)-1.

Відтік теж нараховується як складні відсотки, тільки вниз. Якщо щомісяця йде частка c учасників, кожен місяць лишає множник (1 − c), і через дванадцять місяців лишається (1 − c)¹². Річний відтік = 1 − (1 − c)¹².

Приклад: Klasna Club щомісяця втрачає 5% учасників. 0,95¹² ≈ 0,5404, тож із 1 000 учасників через рік лишається близько 540, а річний відтік — близько 46%, а не 12 × 5% = 60%. Щомісячні 5% рахуються від дедалі меншої групи.

12 × c завжди завищує річний відтік, і різниця росте з c: за 10% на місяць 12 × c дає 120%, що неможливо, а 1 − 0,9¹² ≈ 72%.

Як це складається докупи: кожна зміна — множник зростання, множники перемножуються, повторення стають степенем, а корені скасовують його для CAGR і місячних ставок. Наступний урок запускає складні відсотки навпаки: скільки гроші з майбутнього варті сьогодні.