Теорія

Середнє, медіана і мода: яке значення типове

Середнє, медіана, мода й усічене середнє — головні міри центральної тенденції — на правдоподібних замовленнях Котокорму: на яке запитання відповідає кожна міра, як одне оптове замовлення обманює середнє і чому не можна усереднювати середні.

~9 хв читання · 11 вправ · 250 балів

Перед початком

Де ти працюєш

Тепер ти в продуктовій команді Котокорму — невеликого онлайн-магазину кормів, ласощів і наповнювачів для котів із доставкою додому, де працює близько тридцяти людей. Його дашборди повні середніх, показників і графіків, і кожен читає їх по-своєму.

У цьому курсі ти навчишся чесно читати ці числа: описувати дані, порівнювати групи, запускати A/B-тести, яким можна довіряти, і казати, наскільки висновок надійний. Перший урок відповідає на найчастіше запитання на будь-якій зустрічі — що вважати типовим значенням — за допомогою середнього арифметичного, медіани, моди та усіченого середнього.

Середнє чи медіана: що з них типове?

Міра центральної тенденції — це одне число, яке представляє весь набір значень. Дві найуживаніші відповідають на різні запитання.

Середнє арифметичне додає все й ділить порівну. Воно реагує на кожне значення, зокрема на крайні.
Медіана сортує значення й бере те, що посередині. Половина значень менша, половина більша, а кілька крайніх майже її не зсувають.

Більшість продуктових даних має довгий правий хвіст: завантаження сторінок, тривалість сесій, суми замовлень, виручка на користувача. Невелика частка дуже великих значень тягне середнє вгору, а медіана лишається з основною масою даних. Тож коли запитання звучить як «що відчуває типовий користувач?», чесною відповіддю зазвичай буде медіана.

Але крайні значення нікуди не зникають. Якщо 3% завантажень обриваються за тайм-аутом, це заслуговує на окрему метрику, наприклад частку завантажень довших за 5 секунд, а не на те, щоб ховатися в середньому.

Новенького з ноутбуком вітають троє усміхнених колег за столом із коробками котячого корму, а рудий офісний кіт спостерігає зі столу. — Твій перший день у продуктовій команді Котокорму.

Так
«Типова сторінка товару завантажується за 1,4 с (медіана); 3% завантажень обриваються за тайм-аутом».
Медіана для типового випадку, окрема метрика для хвоста.
Не так
«У середньому сторінки завантажуються за 2,3 с, тож зі швидкістю все гаразд».
Середнє і змішує тайм-аути з рештою, і водночас їх ховає.

Коли середнє вище за медіану

Медіана — це середина відсортованих значень: половина даних нижче, половина вище. Тому різницю між середнім і медіаною легко прочитати.

Якщо середнє вище за медіану, кілька великих значень тягнуть середнє вгору. У даних довгий правий хвіст, і більше половини значень лежать нижче за середнє. Тиждень Котокорму — наочний приклад: середнє 45 дол., медіана 32 дол., і 16 із 20 замовлень менші за 45 дол., бо одне оптове замовлення на 284 дол. підняло середнє.

Замовлення минулого тижня за сумоюБільшість замовлень — від 20 дол. до 40 дол. Одне оптове замовлення на 284 дол. стоїть далеко праворуч і тягне середнє вгору до 45 дол., а медіана лишається на рівні 32 дол.

Дані графіка

Сума замовлення, USD	Замовлення
10–19	1
20–29	7
30–39	7
40–49	4
50–279	0

Показати ще 1 рядок

280–289

Набір даних · 20 рядків

Замовлення Котокорму, 14–20 вересня

20 замовлень за один тиждень. Синтетичні дані, створені для цього курсу.

order_id	order_date	order_value
CC-1041	2026-09-14	48
CC-1042	2026-09-14	40
CC-1043	2026-09-14	34
CC-1044	2026-09-15	48
CC-1045	2026-09-15	28

Перші 5 з 20 рядків

Завантажити CSV

Якщо середнє нижче за медіану, усе навпаки: кілька дуже малих значень тягнуть його вниз. Якщо вони близькі, дані приблизно врівноважені, і підійде будь-яке з чисел.

Це дешева перевірка для будь-якого дашборду: постав медіану поруч із середнім. Велика різниця означає «спершу подивися на крайні значення, а тоді довіряй середньому». А ще вона означає, що середнє погано описує типового клієнта, бо більшість клієнтів нижче за нього.

Так
Середнє 45 дол., медіана 32 дол.: «більшість замовлень менші за середнє; кілька великих тягнуть його вгору».
Різницю прочитано як ознаку правого хвоста.
Не так
Середнє 45 дол., медіана 32 дол.: «більшість клієнтів витрачає понад 45 дол.»
Половина замовлень менша за 32 дол., тож це неможливо.

Міра під запитання

Єдиного найкращого «середнього» немає. Кожна міра відповідає на своє запитання, тож починай із запитання:

Середнє арифметичне: скільки разом? Лише середнє пов'язане із сумою (середнє × кількість = сума), тож його беруть для прогнозів виручки й бюджетів. 400 замовлень із середнім 45 дол. — це 18 000 дол.
Медіана: який вигляд має типовий випадок? Її беруть для скошених даних, як-от днів до першого замовлення, коли дехто йде до нього майже рік.
Мода: яка категорія трапляється найчастіше? Це єдина міра для категорій, як-от смаків чи тарифів: «лосось» можна порахувати, але не усереднити.
Зважене середнє: як поєднати показники груп різного розміру? Великі групи мають важити більше.
Усічене середнє: потрібне середнє, яке ігнорує кілька дивних значень з обох країв.

Якщо гістограма має два піки, наприклад домашні господарства й притулки для котів, жодне типове значення не описує жодну з груп. Це підказка розбити дані на сегменти.

Так
«Найпопулярніший смак — лосось (мода, 41% замовлень)».
Для категорії — мода.
Не так
«Виручка наступного місяця = 400 замовлень × медіанне замовлення (32 дол.)».
Медіана не пов'язана із сумою; такий прогноз втрачає великі замовлення.

Як знайти медіану

Медіана вимагає однієї справжньої дії: сортування. Розташуй значення від найменшого до найбільшого й знайди середину.

Коти стоять у ряд від найменшого кошеняти до найбільшого кота; той, що рівно посередині ряду, виділений помаранчевим. — Спершу впорядкуй, потім візьми того, хто посередині.

Якщо значень непарна кількість, середнє значення одне. Для 7 значень це 4-те, для 19 — 10-те.
Якщо парна, посередині два значення, і медіана — їхнє середнє. Для 20 значень це 10-те й 11-те.

\operatorname{Me} = \begin{cases} x_{(k+1)}, & n = 2k + 1 \\[6pt] \dfrac{x_{(k)} + x_{(k+1)}}{2}, & n = 2k \end{cases}

Значення відсортовано від найменшого до найбільшого; x₍ₖ₎ — k-те з них. Верхній рядок — непарне n, нижній — парне.

У відсортованих 20 замовленнях Котокорму на 10-му місці 31 дол., на 11-му — 33 дол., тож медіана — (31 + 33) / 2 = 32 дол. Медіана може не збігатися з жодним реальним замовленням, і це нормально.

У Sheets чи Excel =MEDIAN(діапазон) сортує за тебе. Вручну найчастіше помиляються двічі: беруть середину невідсортованого списку або усереднюють найменше й найбільше значення. Друге — зовсім не медіана, а середина розмаху, і одне крайнє замовлення сильно її зсуває.

Так
Відсортувати 20 замовлень → 10-те = 31, 11-те = 33 → медіана = (31 + 33) / 2 = 32.
Спершу сортування, потім середнє двох серединних значень.
Не так
(18 + 284) / 2 = 151
Це середина розмаху, а не медіана.

Як одне крайнє значення зсуває середнє

Оскільки середнє ділить суму порівну, кожне значення тягне його пропорційно своєму розміру. Щоб побачити, наскільки важить одне значення, прибери його й перерахуй.

Тиждень Котокорму: 900 дол. на 20 замовлень, середнє 45 дол. Якщо прибрати оптове замовлення котячого притулку на 284 дол., змінюються дві речі одразу: сума падає до 900 − 284 = 616 дол., а кількість — до 19. Нове середнє — 616 / 19 ≈ 32,42 дол. Одне замовлення з двадцяти відповідало більш ніж за 12 дол. середнього.

Медіана реагує зовсім інакше: вона зсувається з 32 до 31 дол., бо змінюється лише положення середини. Саме це мають на увазі, коли кажуть, що медіана стійка, а середнє чутливе.

Одне замовлення — дві дуже різні реакції

Ось найнаочніший спосіб побачити різницю. Приберімо замовлення притулку й перерахуймо:

	Усі 20 замовлень	Без CC-1047
Середнє	45,00 дол.	32,42 дол.
Медіана	32 дол.	31 дол.

Одне замовлення з двадцяти зсунуло середнє більш ніж на 12 дол., а медіану — на 1 дол. Кажуть, що медіана стійка (робастна): кілька крайніх значень на неї майже не впливають. Середнє чутливе: воно реагує на кожне значення, зокрема й на дивні.

Жодна з цих поведінок не «краща». Якщо запитання — скільки ми заробили?, то 284 дол. від притулку — справжні гроші, і їх треба врахувати, тобто тобі потрібне середнє. Якщо запитання — що кладе в кошик звичайний покупець?, то притулок не звичайний покупець, і тобі потрібна медіана.

Жодне з них не помилкове. Якщо питання — скільки виручки надійшло, 284 дол. — це реальні гроші, і їм місце в середньому. Якщо питання — який вигляд має звичайний кошик, притулок не є звичайним клієнтом, і правдивішу картину дає середнє без нього або медіана.

Так
(900 − 284) / 19 = 616 / 19 ≈ 32,42
Змінюються і сума, і кількість.
Не так
(900 − 284) / 20 = 30,80
Замовлення прибрано із суми, але ділять досі на 20.

Що може і чого не може середнє

Середнє арифметичне — сума значень, поділена на їхню кількість. Із цього одного визначення випливають чотири властивості.

Кіт із совком рівно розкладає купу корму в ряд однакових синіх мисок, усі заповнені до одного рівня; велика помаранчева торба поповнює купу. — Середнє питає, яким був би кожен шматок, якби загальну суму поділили порівну.

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i

Середнє арифметичне: сума всіх n значень, поділена на n. Позначення читають «ікс із рискою».

Воно враховує кожне значення. Нічого не відкидається, і це сила середнього там, де важить кожне значення, наприклад у виручці.
Воно пов'язане із сумою. Середнє × кількість = сума, завжди. Тому прогнози й бюджети будують на середніх.
Одне крайнє значення може сильно його зсунути. Оскільки кожне значення ділиться порівну, одне замовлення на 284 дол. піднімає середнє Котокорму приблизно з 32 до 45 дол.
Часто воно не є реальним значенням. Середнє — обчислена частка: у середній родині може бути 1,7 кота, а минулого тижня жодне замовлення не було рівно на 45 дол.

І одного воно не вміє: працювати з категоріями. Смаки, тарифи й країни не додаються, тож середнього в них немає. Їх рахують і називають найчастішу — моду. Якщо тобі показують «середній смак», категорії, найімовірніше, закодували числами й помилково усереднили.

Так
«400 замовлень × середнє 45 дол. ≈ 18 000 дол. виручки».
Використано зв'язок середнього із сумою.
Не так
«Середній код смаку — 2,4, тож клієнти схиляються до курки».
Коди категорій — це мітки, а не кількості.

Середнє із середніх: потрібне зважене

Коли поєднують показники чи середні груп різного розміру (каналів, пристроїв, країн, когорт), просте середнє значень груп майже завжди хибне. Мала група отримує таку саму вагу, як велика.

Вихід — зважене середнє: кожна група важить пропорційно своєму розміру. Найпростіше його отримати, повернувшись до сирих кількостей.

Терези: на одній шальці велика купа смартфонів, на іншій кілька ноутбуків; терези схиляються до телефонів, а маленький кіт спостерігає. — Коли об'єднуєш показники, більші групи мають важити більше.

\bar{x}_w = \frac{\sum_{i} w_i x_i}{\sum_{i} w_i}

Зважене середнє: помнож кожне значення на його вагу (наприклад, кількість сесій), додай і поділи на сумарну вагу.

Перетвори кожен показник на кількість: 1 500 сесій × 4% = 60 замовлень; 4 500 × 1% = 45 замовлень.
Додай кількості: 60 + 45 = 105 замовлень із 1 500 + 4 500 = 6 000 сесій.
Поділи: 105 / 6 000 = 1,75%.

Просте середнє, 2,5%, завищує результат, бо малий канал із високою конверсією отримує половину ваги. Зважена відповідь завжди ближча до показника більшої групи.

Та сама пастка трапляється із середнім чеком за країнами, оцінками за товарами чи утриманням за когортами. Коли сегменти різного розміру, зважуй їх або просто додай чисельники й знаменники й поділи.

Так
(60 + 45) / (1 500 + 4 500) = 105 / 6 000 = 1,75%
Усі замовлення на всі сесії.
Не так
(4% + 1%) / 2 = 2,5%
Малий канал важить стільки ж, скільки канал із утричі більшим трафіком.

Як написати типове значення у звіті

Речення у звіті — це місце, де вибір міри перетворюється на твердження. «Типовий клієнт витрачає 45 дол.» звучить безневинно, але якщо 45 дол. — це середнє, роздуте кількома великими замовленнями, воно описує майже нікого.

Надійний шаблон має три частини:

Типове значення, для грошей і часу зазвичай медіана: «типове замовлення — близько 32 дол.».
Середнє, якщо важать суми, із чітко названою роллю: «середнє замовлення — 45 дол., саме воно визначає виручку».
Причина великої різниці: «кілька великих замовлень, як-от одне замовлення притулку на 284 дол., тягнуть середнє вгору».

Так обидва числа лишаються чесними. Медіана каже продукту й маркетингу, який вигляд має звичайний кошик; середнє каже фінансам, якою буде сума.

Стеж і за словами. «Середній» у побуті зазвичай означає «типовий», а в інструментах і дашбордах майже завжди означає середнє арифметичне. Якщо маєш на увазі медіану, так і пиши — «медіана» чи «типове» — і називай міру поруч із кожним числом.

Так
«Типове замовлення 32 дол. (медіана); середнє 45 дол., його підняло оптове замовлення на 284 дол.»
Обидва числа, кожне зі своєю роллю.
Не так
«Наші клієнти зазвичай витрачають близько 45 дол.»
Середнє названо «звичайним», хоча більшість замовлень менші.

Усічене середнє

Усічене середнє — компроміс між середнім і медіаною. Воно поводиться як середнє, але не дає кільком крайнім значенням усе вирішувати.

Відсортуй значення.
Відкинь однакову частку з кожного краю, часто 5–10%.
Візьми звичайне середнє того, що лишилося.

\bar{x}_{[k]} = \frac{1}{n - 2k}\sum_{i=k+1}^{n-k} x_{(i)}

Усічене середнє: відсортуй значення, відкинь по k з кожного краю, усередни решту n − 2k.

Якщо замовлень 10, а усікання 10%, відкидають одне замовлення знизу й одне згори. Для 12, 20, 22, 25, 27, 30, 31, 35, 40 і 190 дол. лишається 8 замовлень на 230 дол., тож усічене середнє — 28,75 дол. Звичайне середнє — 43,20 дол., його підтягує замовлення на 190 дол.; медіана — 28,50 дол.

Усічене середнє опиняється поруч із медіаною, але використовує реальні значення більшості замовлень, а не лише одне-два серединні. У Sheets чи Excel це робить =TRIMMEAN(діапазон; 0,2); зверни увагу, що функція приймає загальну частку, тож 0,2 означає по 10% з кожного краю.

Усікання лише одного краю — це вже інше: воно зсуває результат в один бік.

Так
Відкинути 12 і 190 дол. → 230 / 8 = 28,75
Однакова частка з кожного краю.
Не так
Відкинути лише 190 дол. → 242 / 9 ≈ 26,89
Усікання одного краю тягне результат униз.

Готові потренуватися?

Виконайте вправи уроку й отримайте 250 балів, коли пройдете його вперше.

Розпочати вправи