дисперсія

Середній квадрат відхилення від середнього; вибіркова дисперсія ділиться на n - 1. Вимірюється у квадратних одиницях.

Дисперсія вимірює розкид як середній квадрат відстані від середнього. Беремо відхилення кожного значення від середнього, підносимо до квадрата (тоді від'ємні й додатні відхилення перестають взаємно знищуватися, а великі промахи важать більше за малі) і усереднюємо квадрати.

Є дві версії формули дисперсії, залежно від того, що являють собою ваші дані:

$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}{N} \qquad\qquad s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n - 1}$

Ліворуч — дисперсія генеральної сукупності: у вас є всі значення, і ви знаєте справжнє середнє $\mu$ . Праворуч — вибіркова дисперсія, коли дані є вибіркою з чогось більшого. У продуктовій аналітиці так майже завжди: замовлення за минулий місяць представляють усі замовлення, які ще будуть. Чому $n - 1$ ? Вибіркове середнє $\bar{x}$ обчислене з тих самих значень, тож воно ближче до них, ніж справжнє середнє. Квадрати відхилень виходять трохи заниженими, і ділення на $n - 1$ замість $n$ у середньому це виправляє. Це $n - 1$ називають кількістю ступенів свободи. У Sheets чи Excel: VAR.S для вибірки, VAR.P для генеральної сукупності.

Підступ — в одиницях виміру. Разом із відхиленнями до квадрата підносяться й одиниці, тож дисперсія часу доставки вимірюється в годинах², а виручки — у доларах². Такого ніхто не уявить, тому для звітів добувають квадратний корінь і отримують стандартне відхилення у звичних одиницях.

Навіщо тоді взагалі дисперсія? З нею зручно рахувати: дисперсії незалежних величин просто додаються, а на ній побудовано чимало методів — t-критерій Стьюдента, дисперсійний аналіз, регресію, розрахунок розміру вибірки. Дисперсія — це двигун, а стандартне відхилення — показник на приладовій панелі.

Приклад

Останні 10 доставок однієї кур'єрської служби Котокорму в годинах, після сортування: 14, 14, 18, 18, 24, 24, 30, 30, 30, 38. У сумі 240, тож середнє $\bar{x} = 240 / 10 = 24$ години.

Години	14	14	18	18	24	24	30	30	30	38
Відхилення	−10	−10	−6	−6	0	0	+6	+6	+6	+14
Квадрат	100	100	36	36	0	0	36	36	36	196

Сума квадратів відхилень: $100 + 100 + 36 + 36 + 0 + 0 + 36 + 36 + 36 + 196 = 576$ .

Вибіркова дисперсія (ці 10 доставок представляють усі майбутні): $s^2 = 576 / 9 = 64$ години².
Дисперсія генеральної сукупності (якщо вас цікавлять лише ці 10): $\sigma^2 = 576 / 10 = 57{,}6$ години².
Стандартне відхилення: $s = \sqrt{64} = 8$ годин, тож у звіт іде «24 ± 8 годин».

Зверніть увагу, як квадрат підсилює великі промахи: одна доставка за 38 годин дає 196 із 576, тобто близько 34% суми, хоча це лише одна доставка з десяти.

Типові помилки

Показувати дисперсію стейкхолдерам. «Дисперсія — 64» у годинах² нікому нічого не скаже; наводьте стандартне відхилення (8 годин).
Ділити на $n$ , коли маєте вибірку. Це занижує розкид, і на малих вибірках помітно: 57,6 замість 64 для 10 доставок.
Додавати стандартні відхилення замість дисперсій. Якщо комплектування замовлення має стандартне відхилення 3 години, а незалежна від нього доставка — 4 години, то загальне стандартне відхилення дорівнює $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ годин, а не 7.
Плутати статистичну дисперсію з відхиленням від плану. Англомовні фінансові звіти називають словом variance різницю між фактом і бюджетом. Це різниця, а не міра розкиду.
Забувати, що квадрат підсилює викиди. Одне крайнє значення може домінувати в сумі квадратів, тож перш ніж довіряти дисперсії, подивіться на самі дані.

Вивчити в курсі

Розкид: дисперсія, стандартне відхилення і квартилі · Дві кур'єрські служби з однаковим середнім часом доставки, і чому обіцянку виконує лише одна: розмах, дисперсія, стандартне відхилення (з розрахунком крок за кроком), квартилі, IQR і коефіцієнт варіації.
Дисперсійний аналіз (ANOVA): порівняння багатьох груп · Однофакторний дисперсійний аналіз: перевірка трьох і більше варіантів одночасно без зростання хибнопозитивних результатів.
Факторний аналіз: опитування та драйвери NPS · Як знайти кілька прихованих тем за багатьма запитаннями опитування.
t-критерій Стьюдента · Критерій Стьюдента для двох незалежних вибірок: порівняння середніх двох груп і рішення, чи різниця більша за випадкову.
t-критерій для залежних вибірок: до і після · Порівняння тих самих користувачів до і після зміни: t-критерій для залежних вибірок і T-критерій Вілкоксона.