натуральний логарифм (ln)

Також називають: ln, логарифм

Степінь, до якого треба піднести e ≈ 2,718, щоб отримати число: ln(eˣ) = x. Він перетворює степені на добутки, ln(aᵗ) = t·ln a, тож знаходить час: з aᵗ = b маємо t = ln b ÷ ln a.

Натуральний логарифм, ln, скасовує степінь e: ln(eˣ) = x, де e ≈ 2,718 — множник зростання за безперервного нарахування. Саме e потрібне рідко; потрібне те, що ln робить зі степенями:

$\ln(a^t) = t \cdot \ln a \qquad a^t = b \;\Rightarrow\; t = \frac{\ln b}{\ln a}$

Так знаходять час у задачах на зростання: за скільки гроші подвояться, когорта окупиться, баланс дійде до цілі. Додавання всередині ln — це множення ззовні, тому логістичні моделі підсумовують логарифми шансів, а коефіцієнти стають множниками шансів eᵇ.

У таблиці функція — =LN(x); =EXP(x) дає eˣ.

Приклад

Подвоєння під 25% на рік: t = ln 2 ÷ ln 1,25 = 0,6931 ÷ 0,2231 ≈ 3,1 року.
Окупність із відтоком: маржа 200 на місяць, відтік 5%, CAC 1 500: t = ln(1 − 1 500 × 0,05 ÷ 200) ÷ ln 0,95 = ln 0,625 ÷ ln 0,95 ≈ 9,2 місяця.

Типові помилки

ln від нуля чи від'ємного числа. Його не існує; у формулах окупності це означає «ніколи».
Змішувати основи логарифмів. ln b ÷ ln a працює з будь-якою основою, але обидва логарифми мають бути з однаковою.
Читати eᵇ як зміну ймовірності. У логістичних моделях він множить шанси.

Вивчити в курсі

e, ln, шанси й сигмоїда · ln скасовує степінь, тож розв'язує рівняння для часу; шанси = p ÷ (1 − p), логарифм шансів і сигмоїда p = 1 ÷ (1 + e⁻ᶻ), eᵇ як множник шансів і окупність із відтоком.
Позики й амортизація · Як платіж ділиться на відсотки й тіло позики, скільки місяців до погашення, плоска комісія проти відсотків на залишок і реальна річна вартість позики як її внутрішня ставка.
Геометричні ряди · Суми, що щоразу зменшуються на той самий множник: seed ÷ (1 − k) для рекомендацій, LTV ≈ маржа ÷ відтік і час життя 1 ÷ відтік, скінченна сума для ануїтетів, обмежений LTV і пенсійний рахунок.