геометричний ряд

Також називають: геометрична сума, геометрична прогресія

Сума, у якій кожен член — попередній, помножений на той самий множник q: a + aq + aq² + … За |q| < 1 нескінченна сума дорівнює a ÷ (1 − q); перші n членів у сумі дають a(1 − qⁿ) ÷ (1 − q).

Геометричний ряд додає члени, що щоразу зменшуються (або зростають) на той самий множник q:

$a + aq + aq^2 + \dots = \frac{a}{1 - q} \quad (|q| < 1) \qquad a + aq + \dots + aq^{n-1} = a \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$

Він стоїть за кількома продуктовими й фінансовими формулами. Рекомендації: кожен новий користувач приводить ще k, тож seed виростає до seed ÷ (1 − k). Час життя: за місячного відтоку c клієнт у середньому лишається 1 + (1 − c) + (1 − c)² + … = 1 ÷ c місяців, тож LTV ≈ маржа ÷ відтік. Дисконтування: платежі, варті 0,8, 0,64, 0,512… своєї номінальної суми, складаються в коефіцієнт ануїтету.

Скінченна версія дає обмежені значення (LTV за 12 місяців), а з q = 1 + r — накопичувальний рахунок P × ((1 + r)ⁿ − 1) ÷ r.

Приклад

Учасник Club лишає 200 грн на місяць; місячний відтік — 5%, тож q = 0,95.

Без кінця: 200 ÷ 0,05 = 4 000 грн (у середньому 20 місяців).
За 12 місяців: 200 × (1 − 0,95¹²) ÷ 0,05 ≈ 1 839 грн.
Рекомендації з k = 0,3: 100 родин із реклами стають 100 ÷ 0,7 ≈ 142,9.

Типові помилки

Брати a ÷ (1 − q) за q ≥ 1. Сума не має межі; формула дає нісенітницю.
Довіряти нескінченній сумі. LTV = маржа ÷ відтік припускає, що відтік ніколи не змінюється, і ігнорує дисконтування.
Помилки на один член. Перевір, чи перший член — a чи aq (рахується перший місяць чи ні).

Вивчити в курсі

Геометричні ряди · Суми, що щоразу зменшуються на той самий множник: seed ÷ (1 − k) для рекомендацій, LTV ≈ маржа ÷ відтік і час життя 1 ÷ відтік, скінченна сума для ануїтетів, обмежений LTV і пенсійний рахунок.