Математичне очікування: середня угода

Математичне очікування (expectancy) — середній результат однієї угоди після витрат: загальний чистий результат набору угод, поділений на кількість угод. Воно відповідає на питання, на яке частка виграшів відповісти не може: чи в середньому угода за цим планом додає гроші, чи забирає?

Демо-журнал Marc у Pebble містить 40 угод, кожна з ризиком близько 100 доларів (1 % його рахунку на 10 000) до стопу. Усі 40 разом дають +800,41 після 218,36 комісій, тож його математичне очікування — 800,41 ÷ 40 = +20,01 на угоду.

Будь-який рядок можна перевірити: угода 3 — довга позиція, (40,94 − 37,24) × 54 − 4,16 = 195,64, рівно як у журналі. Ця звичка важлива, бо один хибний рядок зсуває середнє.

Додатне математичне очікування деякі трейдери називають перевагою (edge). У цьому курсі це слово означає лише середній прибуток на угоду після витрат, більший за нуль на достатній кількості угод. Додатне число — перший іспит для плану, а не доказ, що план працює.

Математичне очікування можна зібрати й із чисел, знайомих з уроку Частка виграшів і співвідношення прибутку до ризику:

математичне очікування = частка виграшів × середній виграш − частка збитків × середній збиток

Тут частка збитків = 1 − частка виграшів, а середній збиток беруть без знака мінус.

Для Marc: 0,40 × 208,91 − 0,60 × 105,92 = 83,56 − 63,55 = 20,01 — те саме, що його підсумок, поділений на 40. Для плану на HRB, що виграє 35 % із виграшами по 150 і збитками по 60: 0,35 × 150 − 0,65 × 60 = 52,50 − 39,00 = +13,50 на угоду.

Формула показує, чому число додатне чи від'ємне і який важіль його рухає: трохи більше виграшів, трохи більші виграші чи трохи менші збитки. Вона також пов'язана з беззбитковим відсотком виграшів: математичне очікування рівно нуль, коли частка виграшів стоїть на цій лінії. Бери середні після витрат, інакше результат буде числом до витрат, і його треба так і підписати.

Математичне очікування в доларах залежить від того, скільки ризикує кожна угода. Щоб чесно порівняти плани, поділи його на запланований ризик на угоду. Вийде математичне очікування в ризикових одиницях (risk units), де одна ризикова одиниця — це те, що угода планує втратити, якщо дійде до стопу: 100 доларів для рахунку на 10 000 при 1 %, тобто ризик на угоду з модуля 3.

Marc заробляє +20,01 на угоду при ризику 100, тобто близько +0,2 ризикової одиниці: у середньому кожна угода повертає п'яту частину того, що ставить під ризик.

Тепер два плани. A на NWF дає +20 на угоду при ризику 100, тобто +0,2 одиниці. B на BFE дає +30 при ризику 300, тобто +0,1 одиниці. B показує більше доларів лише тому, що ставить утричі більше. На долар ризику A вдвічі кращий, а його серії збитків коштують утричі менше.

Ризикові одиниці ще й тримають арифметику стабільною, коли рахунок росте чи меншає: якість плану живе в одиницях, а долари просто йдуть за розміром.

Кожне математичне очікування має дві версії. До витрат — із доданими назад комісіями, спредом і прослизанням (Куди йдуть гроші: спред, комісії та прослизання); після витрат — те, що справді дійшло до рахунку. Лише число після витрат каже, чи план заробляє.

40 угод Marc дали +800,41 після 218,36 комісій. До витрат це 800,41 + 218,36 = 1 018,77, тобто 25,47 на угоду. Витрати забрали 5,46 із кожних 25,47 — понад п'яту частину результату до витрат.

Витрати стягуються з кожної угоди, виграшної чи збиткової, тож найбільше шкодять, коли середнє тонке, а угод багато. За 40 угод комісії Marc склали понад чверть його чистого результату; за кілька сотень угод вони можуть вирішити, чи план узагалі працює.

Правило коротке: називай математичне очікування після витрат, а будь-яке число до витрат підписуй «до витрат». План, що працює лише до витрат, не працює.

Мале додатне математичне очікування до витрат може стати від'ємним після них, бо витрати стягуються з кожної угоди, хоч би яким був її результат.

Візьми план на LUM/CRN, що дає в середньому +4,00 на угоду до витрат, із комісіями і спредом 5,46 на угоду. Після витрат: 4,00 − 5,46 = −1,46 на угоду. За 200 угод це −292. Угоди часто вгадували напрямок, а рахунок усе одно меншав.

Тому плани, побудовані на багатьох крихітних рухах, крихкі: середній прибуток на угоду малий, а витрати на угоду ті самі. Часта торгівля множить витрати так само швидко, як прибуток, тож тонку перевагу не рятує, а зростання витрат на долар-два може її стерти.

Оцінюючи план, став поруч його математичне очікування до витрат і витрати на угоду. Якщо ці числа близькі, план майже не має права на помилку.

Математичне очікування, пораховане на кількох угодах, сильно хитається через везіння. Перші 10 угод Marc — 2 виграші і 8 збитків, разом −405,17: математичне очікування −405,17 ÷ 10 = −40,52 на угоду. Той самий план на всіх 40 угодах: +20,01. Десять угод розповіли протилежне до сорока.

Між 10-ю і 40-ю угодою в плані нічого не змінилося. Вісім збитків із десяти цілком можливі для плану, який працює, а серія виграшів так само можлива для плану, який не працює. Короткі вибірки міряють здебільшого везіння.

Із цього є практичний висновок: поки угоди збираються, ризик на угоду не змінюють. Marc тримав 1 % і під час поганого старту. Якби він подвоїв ризик, «щоб відігратися», ранні збитки стали б значно більшими, ніж задумав план, а пізніше середнє вже не описувало б один план. Якими довгими бувають серії збитків, розповідає окремий урок далі в курсі, Серія збитків — це нормально.

Цей курс тримається простого правила: перш ніж вірити математичному очікуванню чи частці виграшів, збери щонайменше 30 угод, а краще більше. Менше ніж 30 — чесна позначка «замало, щоб судити».

Тридцять — не чарівне число. Це нижня межа, де середнє перестає так сильно стрибати, а не точка, де воно стає певним. Навіть 40 угод Marc — перше читання: наступні 40 можуть вийти і вищими, і нижчими.

Тож коли в журналі 30 чи 40 угод із додатним математичним очікуванням, висновок — «варто тестувати далі», а не «доведено». А тоді шукай, що з ним може бути не так:

• угоди взято з одного відрізка ринку, а спокійний період може не повторитися;
• план виконували в кожній угоді, і якщо його гнути, рядки описуватимуть уже інше;
• витрати в рядках відповідають тому, скільки коштувала б справжня торгівля.

Математичне очікування перетворює журнал на одне число, але чогось варта лише чесна його версія. Чотири умови:

1. Після витрат. Число до витрат треба так і підписати.
2. На достатній кількості угод. Менше ніж 30 — «замало, щоб судити» в обидва боки: перші десять угод Marc (−40,52 на угоду) не довели, що план зламаний, а сорок (+20,01) не доводять, що він працює.
3. При сталому ризику на угоду, щоб середнє описувало один план, а не суміш малих і великих ставок.
4. З приміткою про те, що може бути не так: один відрізок ринку, дисципліна плану, справжні витрати.

Число, якому бракує хоч однієї умови, — настрій, а не вимірювання.

Як це складається докупи: частка виграшів, виграш до збитку й лінія беззбитковості з минулого уроку складаються в математичне очікування, яке має сенс лише після витрат і на достатній кількості угод. Наступний урок, Просадка: чому збитки б'ють сильніше за прибуток, покаже, як розмір кожної угоди може зруйнувати навіть додатне математичне очікування.