# t-критерій Стьюдента

> Критерій Стьюдента для двох незалежних вибірок: порівняння середніх двох груп і рішення, чи різниця більша за випадкову.

- Курс: [Статистика для продакт-менеджерів і маркетологів](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers.md)
- Модуль: Порівняння двох груп
- Урок 6/24, ~39 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/t-test

## Віджет і питання

**Alex Tutor:** До продуктової команди Котокорму надійшло нове запитання: команда оформлення замовлення додала для половини нових сесій минулого тижня віджет допродажу («додати драпку?»). Вони хочуть знати: чи змінює це середню суму замовлення?

![Два однакові екрани оформлення замовлення поруч; лише на правому є маленьке вікно з кігтеточкою, над яким зависла котяча лапка.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/t-test-illustration-2.webp)

**Sofia:** Легко — контроль дав у середньому 42,50 дол., варіант — 52,50 дол. Віджет переміг, викочуємо всюди!

**Alex Tutor:** Ой, притримай конфеті. Обидва числа — з вибірок лише по 10 замовлень. Пам'ятаєш минулий урок: вибіркові середні хитаються. Нам потрібен спосіб запитати: «10 дол. — це більше за хитання чи це і є хитання?»

**Sofia:** Тобто не можна просто довіряти тому, яке число більше?

**Alex Tutor:** Не саме собою. Саме на це відповідає **двовибірковий t-критерій** (t-критерій для незалежних вибірок): чи різниця між середніми двох груп більша, ніж могла б правдоподібно дати сама лише випадковість вибірки? Ось повний набір даних.

**Набір даних (CSV):** [A/B-тест віджета оформлення замовлення, один тиждень](https://productovi.com/datasets/statistics-for-pm-and-marketers/t-test/catchow-widget-test.csv)

20 замовлень: 10 сесій без віджета допродажу (контроль) і 10 з ним (варіант). Синтетичні дані, створені для цього курсу.

- `order_id`: Номер замовлення
- `group`: control (без віджета) чи variant (віджет показано)
- `order_value`: Сума замовлення, USD

**Sofia:** Це ж незалежні вибірки, так? Дві різні групи клієнтів, а не та сама людина до і після?

**Alex Tutor:** Так. **Незалежні вибірки** означає, що жодне конкретне контрольне замовлення не пов'язане з конкретним варіантним. Якби це були ті самі клієнти, виміряні двічі, знадобився б критерій для *залежних (парних)* вибірок — про це в одному з наступних уроків.

**Alex Tutor:** Час для швидкої перевірки, коли цей критерій взагалі застосовний.

> **Вправа:** У якому випадку варто застосувати класичний t-критерій (для незалежних вибірок)?

## Як обчислити t-статистику

**Alex Tutor:** Ідея така: беремо різницю між двома середніми, тоді ділимо на те, наскільки ця різниця природно хитається від вибірки до вибірки, — її стандартну похибку.

![Дві миски корму, що ледь хитаються, і помаранчева стрілка між ними, значно ширша за це хитання; кіт міряє відстань рулеткою.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/t-test-illustration-3.webp)

*Чи більший розрив за звичайне хитання?*

$$
t = \frac{\bar{x}_2 - \bar{x}_1}{SE_{\bar{x}_2-\bar{x}_1}}
$$

*t-статистика Стьюдента: різниця між двома вибірковими середніми, поділена на стандартну похибку цієї різниці.*

**Sofia:** А стандартна похибка різниці — це, здогадуюсь, більше за стандартну похибку однієї групи?

**Alex Tutor:** Гарна здогадка. Коли обидві групи мають схожий розкид, ми об'єднуємо їхні дисперсії в одну оцінку, а тоді поєднуємо обидва обсяги вибірок у формулі нижче.

$$
SE_{\bar{x}_2-\bar{x}_1} = \sqrt{s_p^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}, \quad s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}
$$

*Об'єднана стандартна похибка: sp² поєднує дисперсії обох груп, зважені за їхніми ступенями свободи.*

**Alex Tutor:** Для наших даних: контроль має середнє 42,50 дол. і s₁ ≈ 3,03 дол. (n₁ = 10); варіант має середнє 52,50 дол. і s₂ ≈ 3,37 дол. (n₂ = 10). Тепер твоя черга об'єднати їх.

> **Вправа:** Контроль: n₁ = 10, середнє $42,50, s₁ = $3,03. Варіант: n₂ = 10, середнє $52,50, s₂ = $3,37. За формулою об'єднаної дисперсії, яка стандартна похибка різниці двох середніх?

**Alex Tutor:** Маючи стандартну похибку, до самої t-статистики лишається один крок — ділення.

**Sofia:** Уточню: саме 't' — це і є те, що на вступі назвали «статистика критерію», чи це інша істота?

**Alex Tutor:** Та сама істота. Будь-яке одне число, обчислене з вибіркових даних і використане, щоб обрати між H0 і H1, — це **статистика критерію** (test statistic). t — це просто те число, яке використовує саме цей критерій.

**Sofia:** Різниця середніх поділена на стандартну похибку, як і в формулі. Візьму цього разу твою точну СП, щоб не накопичувати округлення.

> **Вправа:** Об'єднана стандартна похибка різниці — 1,4337 дол. Середнє варіанту — 52,50 дол., середнє контролю — 42,50 дол. Яка t-статистика Стьюдента?

## Ступені свободи та вердикт

**Alex Tutor:** Ще один інгредієнт, перш ніж судити про значення t: **ступені свободи (df)**. Для об'єднаного двовибіркового критерію df = n₁ + n₂ - 2 — у нас 10 + 10 - 2 = 18.

**Sofia:** Чому віднімаємо саме 2, а не, скажімо, 1 чи 0?

**Alex Tutor:** Кожне середнє групи «витрачає» один ступінь свободи на оцінку дисперсії цієї групи — дві групи, два середні використано, два ступені втрачено. Та сама логіка, що й у трюку з підрахунком монет для однієї вибірки, лише подвоєна.

**Alex Tutor:** При df = 18 статистична таблиця (чи програма) дає **критичне значення** приблизно 2,101 для двобічного критерію на звичному рівні значущості 5%.

> **Правило прийняття рішення**
>
> Якщо абсолютне значення обчисленого t перевищує критичне значення для обраного рівня значущості й df, ми відхиляємо нульову гіпотезу (H0: середні рівні) на користь альтернативної (H1: вони відрізняються).

**Sofia:** Тобто я порівнюю наше t із 2,101, і це скаже, чи віджет справді щось змінив?

> **Вправа:** При df = 18 і критичному значенні 2,101 на рівні 5%, обчислене t = 6,97 означає, що ми відхиляємо нульову гіпотезу про рівність середніх двох груп.

**Alex Tutor:** Перш ніж до термінів, одна перевірка прочитання. Значуще t легко «перепродати» на нараді.

> **Вправа:** Тест віджета допродажу Котокорму (по 10 замовлень у групі, середня сума замовлення 42,50 дол. без віджета і 52,50 дол. з ним) дав t ≈ 6,97 проти критичного значення 2,101 (df = 18). Який підсумок для команди **правильний**?

**Sofia:** А як формально називають ці 5%? Я на зустрічах кажу «поріг у 5%» і отримую дивні погляди.

**Alex Tutor:** Це **рівень значущості (α)** — significance level, якщо хочеш звучати офіційно. Обирай його *до* того, як подивишся на дані, а не після.

**Sofia:** А якщо реальний ефект таки є, але ми все одно не відхиляємо H0 — скажімо, через замалу вибірку — як називають цю помилку?

**Alex Tutor:** **Помилка другого роду** (type II error): пропустити реальний ефект. Її злий близнюк, помилка першого роду, — стверджувати про різницю, якої насправді немає. Зістав ці останні кілька термінів, перш ніж рухатись далі.

> **Вправа:** Зістав кожен термін із його визначенням.

**Alex Tutor:** Пройдімо весь шлях ще раз на нових числах, від початку до кінця, щоб кроки закріпилися.

> **Вправа:** Другий тест на сторінці ласощів: по 8 сесій у групі, середнє контролю — 30 переглянутих товарів, варіанту — 35, і в обох групах s = 4. Яка t-статистика за об'єднаною формулою?

## Коли класичний t-критерій підводить: критерій Велча і викиди

**Alex Tutor:** Два застереження. Перше: класичний об'єднаний t-критерій припускає приблизно рівні дисперсії обох груп. У нас вони близькі (9,17 проти 11,39) — усе гаразд. Якби вони сильно відрізнялися, ми б використали **t-критерій Велча**, який зменшує df.

**Alex Tutor:** Друге, важливіше застереження: оскільки формула побудована на середніх, одне аномально велике замовлення може повністю її зіпсувати — та сама проблема, яку викиди створюють для будь-якого середнього.

![Перетягування каната: ряд маленьких кошенят тягне мотузку, а один величезний кіт з іншого боку легко перетягує їх усіх.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/t-test-illustration-4.webp)

*Середні й критерії на їх основі дають одному величезному значенню багато ваги.*

**Sofia:** Що робити, якщо ми підозрюємо викиди, або дані просто не схожі на дзвоноподібні?

**Alex Tutor:** Тоді t-критерій — просто не той інструмент, крапка. У наступному уроці — ранговий метод, якому байдужі викиди й форма розподілу.

**Alex Tutor:** Швидка перевірка на розуміння припущень, перш ніж підеш.

> **Вправа:** Які з цих припущень лежать в основі класичного (об'єднаного) t-критерію Стьюдента для незалежних вибірок? Познач усі, що підходять.

**Alex Tutor:** І один випадок, де дисперсії явно не збігаються. Обери правильний інструмент.

> **Вправа:** Контроль: 40 замовлень, s = 8 дол. Варіант (новий преміум-набір): 15 замовлень, s = 25 дол. Потрібно порівняти середню суму замовлення. Який критерій підходить найкраще?

## Підсумок

**Sofia:** Чесно, наше t настільки перевищило 2,101, що це відчувається як перебір для такого очевидного результату.

**Alex Tutor:** Назвімо правильно, що ми щойно зробили: **t-критерій Стьюдента для незалежних вибірок** (Student's t-test), а **t-критерій Велча** — запасний варіант для нерівних дисперсій. Повні назви — для твого наступного звіту.

**Sofia:** Зрозуміло. Тобто навіть щось таке буденне, як середній чек (average order value), заслуговувало на таку строгість, а обсяг вибірки (sample size) був лише по 10 з кожного боку?

**Alex Tutor:** Іноді дані справді такі чисті. Але ти знаєш це саме *тому*, що критерій застосовано — «виглядає очевидно» вже підвело чимало продакт-менеджерів. Сформулюй цей інстинкт словами для мене.

> **Вправа:** У тесті віджета допродажу (10 замовлень у групі, 42,50 дол. проти 52,50 дол., t ≈ 6,97) Sofia, продакт-менеджерка команди, сказала, що результат «і так очевидний» і критерій здається зайвим. У 2-3 реченнях поясни, чому все одно варто було провести t-критерій, навіть якщо висновок виявився однозначним.

**Alex Tutor:** Гарно аргументовано. А тепер складніша версія цієї ж історії, люб'язно надана груповим чатом команди оформлення замовлення.

**Sofia:** Чому в мене відчуття, що мене знову в чомусь звинуватять.

**Alex Tutor:** Цього разу ні — нарешті чужий набір даних доведеться критикувати. Маленька втіха.

**Sofia:** Погоджуюсь.

> **Вправа:** Розглянь заяву команди оформлення замовлення.

- Попередній урок: [Вибірка, генеральна сукупність і нормальний розподіл](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/samples-and-normal-distribution.md)
- Наступний урок: [Манна–Вітні: коли дані не нормальні](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/mann-whitney.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.