# Розкид: дисперсія, стандартне відхилення і квартилі

> Дві кур'єрські служби з однаковим середнім часом доставки, і чому обіцянку виконує лише одна: розмах, дисперсія, стандартне відхилення (з розрахунком крок за кроком), квартилі, IQR і коефіцієнт варіації.

- Курс: [Статистика для продакт-менеджерів і маркетологів](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers.md)
- Модуль: Опис даних
- Урок 2/24, ~48 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/spread

## Однакове середнє — дуже різний досвід

Ти й далі в продуктовій команді Котокорму, і сьогодні запитання надходить від операційного відділу: магазин працює з двома кур'єрськими службами. Покупцям обіцяють доставку **протягом 36 годин**, і керівниця операцій хоче відмовитися від однієї служби, щоб спростити договори. Вона бере останні 10 доставок кожної й доповідає: *«Обидві в середньому доставляють рівно за 24 години. Байдуже, яку залишити».*

Зовсім не байдуже. Середнє показує, де зосереджені дані, але нічого не каже про те, **наскільки окремі значення відходять від центру**. Служба, що завжди везе 23–26 годин, і служба, що везе будь-що від 14 до 38 годин, мають однакове середнє, але обіцянку про 36 годин щоразу виконує лише одна з них.

Цей урок — про **міри розкиду** (їх ще називають мірами *мінливості*): розмах, дисперсію, стандартне відхилення, квартилі та міжквартильний розмах, а також коефіцієнт варіації, щоб порівнювати розкид різних метрик. Дорогою ти крок за кроком порахуєш стандартне відхилення. Завантаж доставки й рахуй разом із нами.

![Два кур'єри на скутерах везуть коробки котячого корму до одного будинку: один їде прямою вузькою смугою, інший петляє широкою звивистою дорогою.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/spread-illustration-2.webp)

*В середньому обидва приїжджають вчасно, але передбачуваний лише один.*

**Набір даних (CSV):** [Доставки Котокорму за кур'єрськими службами](https://productovi.com/datasets/statistics-for-pm-and-marketers/spread/catchow-deliveries.csv)

Останні 10 доставок кожної з двох кур'єрських служб. Синтетичні дані, створені для цього курсу.

- `delivery_id`: Номер доставки
- `courier`: Кур'єрська служба: A або B
- `hours`: Години від відправлення до доставки

**Час доставки: служба A і служба B**

| Час доставки, години | Служба A | Служба B |
| --- | --- | --- |
| 12–15 | 0 | 2 |
| 16–19 | 0 | 2 |
| 20–23 | 4 | 0 |
| 24–27 | 6 | 2 |
| 28–31 | 0 | 3 |
| 32–35 | 0 | 0 |
| 36–39 | 0 | 1 |

*Обидві служби зосереджені біля 24 годин. Доставки служби A — щільна група, а доставки служби B розкидані від 14 до 38 годин, і одна порушує обіцянку про 36 годин.*

## Розмах: найшвидший погляд

**Розмах** — це найбільше значення мінус найменше. Служба A: $26 - 21 = 5$ годин. Служба B: $38 - 14 = 24$ години. Різниця вже очевидна.

Розмах легко порахувати й легко пояснити, але він залежить лише від **двох значень** — двох найкрайніших. Одна загублена посилка, що їхала 90 годин, змінила б розмах служби A з 5 на 69, навіть якби решта дев'ять доставок були ідеальними. Використовуй розмах для першого погляду, а не як остаточний висновок.

## Відхилення: наскільки кожне значення далеко від середнього?

Краща ідея — використати **кожне** значення. Для кожної доставки обчислимо її **відхилення**: значення мінус середнє. Для служби B після сортування відхилення від 24 годин такі:

| Години | 14 | 14 | 18 | 18 | 24 | 24 | 30 | 30 | 30 | 38 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Відхилення | −10 | −10 | −6 | −6 | 0 | 0 | +6 | +6 | +6 | +14 |

Чому б просто не усереднити відхилення? Спробуй: у сумі вони дають рівно **нуль**. Це не випадковість. Середнє — точка рівноваги даних, тож від'ємні відхилення завжди компенсують додатні. Щоб виміряти розкид, треба позбутися знаків.

![Дошка на помаранчевій опорі тримає банки корму на різних відстанях з обох боків і стоїть рівно, а знизу визирає кіт.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/spread-illustration-3.webp)

*Середнє — точка рівноваги: відхилення ліворуч і праворуч урівноважують одне одного.*

$$
\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = \sum_{i=1}^{n} x_i - n\bar{x} = 0
$$

*Відхилення від середнього завжди в сумі дають нуль, бо n, помножене на середнє, дорівнює сумі.*

## Дисперсія: середній квадрат відхилення

Стандартний прийом — **піднести** кожне відхилення **до квадрата**: квадрати ніколи не бувають від'ємними, а великі промахи важать значно більше за малі (відхилення 14 перетворюється на 196). Для служби B квадрати відхилень — 100, 100, 36, 36, 0, 0, 36, 36, 36 і 196, у сумі **576**.

Тепер їх усереднюємо, але з нюансом. Коли твої дані — **вибірка** (10 доставок, а не всі доставки, які служба колись зробить), ділять на $n - 1$, а не на $n$. Чому? Вибіркове середнє обчислене з тих самих 10 значень, тож воно трохи ближче до них, ніж справжнє довгострокове середнє. Через це відхилення здаються трохи меншими, ніж є, і ділення на $n - 1$ це компенсує. Отже, **вибіркова дисперсія** дорівнює $576 / 9 = 64$.

Якщо в тебе справді вся генеральна сукупність (скажімо, усі замовлення за всю історію, і цікавлять тебе саме вони), ділять на $n$: $576 / 10 = 57{,}6$. У продуктовій аналітиці майже завжди маємо справу з вибірками, тож $n - 1$ — варіант за замовчуванням.

Є підступ: піднесення до квадрата підносить до квадрата й одиниці виміру. Дисперсія дорівнює **64 години²**, а квадратну годину ніхто не уявить.

$$
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \qquad \sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2
$$

*Ліворуч: вибіркова дисперсія (ділимо на n − 1). Праворуч: дисперсія генеральної сукупності (ділимо на N, відхилення від середнього сукупності μ).*

## Стандартне відхилення: розкид у звичних одиницях

Добудь квадратний корінь із дисперсії, і ти повернешся до початкових одиниць. Це **стандартне відхилення (SD)**: $\sqrt{64} = 8$ годин для служби B. Читай його як *«типова доставка відходить від середнього приблизно на 8 годин»*. Зроби те саме для служби A, і отримаєш значно менше число: це твоє перше запитання в тесті.

Для даних, що утворюють приблизно симетричний «дзвін», є зручна евристика: близько **68%** значень лежать у межах одного SD від середнього, а близько **95%** — у межах двох SD. Для служби B «два SD» — це $24 \pm 16$, тобто від 8 до 40 годин, і обіцянка про 36 годин опиняється всередині цього діапазону. Запізнення тут очікувані, а не випадковість. (Десяти доставок замало, щоб точно довіряти відсоткам, а в модулі 2 ти дізнаєшся, коли таку форму «дзвона» можна припускати.)

Завжди показуй розкид поруч із центром: **«24 ± 8 годин»** каже набагато більше, ніж «у середньому 24 години».

![Дві мішені: на одній стріли щільно скупчилися біля центру, на іншій розкидані широко. Між ними стоїть кіт із луком.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/spread-illustration-4.webp)

$$
s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}
$$

*Вибіркове стандартне відхилення: квадратний корінь із вибіркової дисперсії, в тих самих одиницях, що й дані.*

> **У таблиці**
>
> Вибіркові версії: `=VAR.S(діапазон)` і `=STDEV.S(діапазон)` (у Google Sheets також `VAR` і `STDEV`). Для генеральної сукупності: `=VAR.P(діапазон)` і `=STDEV.P(діапазон)`. Якщо дашборд показує SD, перевір, яке саме; на малих вибірках різниця помітна.

## Як порахувати стандартне відхилення: крок за кроком

Ось увесь розрахунок в одному місці, на 10 доставках служби B. Для будь-якої іншої метрики він такий самий: суми замовлень, тривалість сесій, щоденні реєстрації.

1. **Знайди середнє.** Додай значення й поділи на їхню кількість: $240 / 10 = 24$ години.
2. **Відніми середнє від кожного значення** — отримаєш відхилення: −10, −10, −6, −6, 0, 0, +6, +6, +6, +14.
3. **Піднеси кожне відхилення до квадрата:** 100, 100, 36, 36, 0, 0, 36, 36, 36, 196.
4. **Додай квадрати:** 576.
5. **Поділи на $n - 1$** (тут 9) — це вибіркова дисперсія: $576 / 9 = 64$ години².
6. **Добудь квадратний корінь:** $\sqrt{64} = 8$ годин. Це і є стандартне відхилення.

Якби ці 10 значень були всією генеральною сукупністю, на кроці 5 ділили б на $n = 10$: дисперсія вийшла б 57,6, а стандартне відхилення — приблизно 7,6 години.

**Дисперсія чи стандартне відхилення?** Вони несуть ту саму інформацію: одне — квадрат іншого. Дисперсія зручна для математики всередині тестів і моделей, а у звітах варто показувати стандартне відхилення, бо воно в одиницях самих даних.

## Як знайти квартилі та міжквартильний розмах

Медіана ділить відсортовані дані навпіл. **Квартилі** ділять їх на чверті: нижче Q1 лежить чверть значень, Q2 — це медіана, а нижче Q3 — три чверті. Простий спосіб знайти їх уручну: Q1 — медіана нижньої половини даних, Q3 — медіана верхньої.

Служба B після сортування: 14, 14, 18, 18, 24 | 24, 30, 30, 30, 38. Нижня половина — 14, 14, 18, 18, 24, отже, **Q1 = 18**. Верхня — 24, 30, 30, 30, 38, отже, **Q3 = 30**.

**Міжквартильний розмах (IQR)** дорівнює $Q_3 - Q_1 = 30 - 18 = 12$ годин: це ширина середніх 50% доставок. На відміну від розмаху й SD, IQR повністю ігнорує крайні значення. Та загублена посилка на 90 годин його б не змінила. Тому IQR — природний партнер медіани, а SD — партнер середнього.

Квартилі — окремий випадок **процентилів**: 90-й процентиль — це значення, нижче якого лежать 90% даних. Продуктові команди користуються ними постійно: «p90 часу доставки — 30 годин», «p95 завантаження сторінки — 2,8 секунди». Вони описують досвід найменш щасливих покупців, який середнє приховує.

$$
\text{IQR} = Q_3 - Q_1
$$

*Міжквартильний розмах: розкид середніх 50% даних.*

> **Чому інструменти іноді по-різному рахують квартилі**
>
> Існує кілька визнаних способів рахувати квартилі. `QUARTILE` у Google Sheets і Excel (те саме, що `QUARTILE.INC`) інтерполює між сусідніми значеннями, а описаний вище метод половин — ні. Для наборів даних цього уроку обидва дають однаковий результат, на інших даних можлива невелика різниця. Це нормально. Просто користуйся одним методом, коли порівнюєш групи.

## Порівняння розкиду різних метрик: коефіцієнт варіації

SD у 8 — це багато? Залежить від масштабу. 8 годин — це чимало для доставки за 24 години, але дрібниця для 30-денного циклу підписки. Щоб порівняти розкид метрик із різними одиницями чи масштабами, поділи SD на середнє. Це **коефіцієнт варіації (CV)**, зазвичай у відсотках.

Служба B: $8 / 24 \approx 33\%$. А тепер маркетинговий приклад: денні витрати Котокорму на рекламу в середньому становлять 1 000 дол. із SD 150 дол. (CV 15%), а денні замовлення з реклами — у середньому 30 із SD 9 (CV 30%). Витрати стабільні, а результати коливаються вдвічі сильніше відносно свого розміру. Це підказка, що замовлення визначає щось інше, крім бюджету: день тижня, креативи, відсутність товару на складі.

CV має сенс лише для величин з абсолютним нулем: годин, грошей, кількостей. Не застосовуй його до температури чи NPS, які можуть бути від'ємними.

$$
\text{CV} = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%
$$

*Коефіцієнт варіації: SD як частка від середнього.*

## Міри розкиду: яку обрати і коли

| Міра | Що використовує | Стійка до крайнощів? | Для чого |
|---|---|---|---|
| Розмах | 2 значення | Ні | Перший погляд, «найкращий і найгірший випадок» |
| Дисперсія | Усі значення | Ні | Математика всередині інших методів (зустрінеш її в тестах і ANOVA) |
| Стандартне відхилення | Усі значення | Ні | Розкид поруч із середнім: «24 ± 8 годин» |
| IQR / процентилі | Порядок значень | Так | Скошені дані, SLA, звіти з медіаною |
| CV | SD і середнє | Ні | Порівняння розкиду метрик різного масштабу |

Повернімося до кур'єрів. Служба A: розмах 5 годин, і кожна доставка вкладається в обіцянку. Служба B: розмах 24 години, SD 8 годин, IQR 12 годин, і 1 із 10 доставок запізнилася. Однакове середнє, зовсім різний досвід покупця. У кейсі наприкінці уроку рішення ухвалюєш ти.

## Вправи

Відповідайте на сторінці уроку, щоб отримати відгук.

1. За набором даних **Доставки Котокорму за кур'єрськими службами** обчисли **вибіркове стандартне відхилення** часу доставки служби A.

2. У наборі даних **Доставки Котокорму за кур'єрськими службами** який **міжквартильний розмах** часу доставки служби A?

3. Якщо час доставки вимірюють у годинах, то його дисперсію також вимірюють у годинах.

4. Розташуй кроки обчислення вибіркового стандартного відхилення в правильному порядку.

5. Одна посилка загубилася й приїхала через 90 годин. Які міри розкиду служби A **сильно** зміняться? Обери всі.

6. Денні витрати на рекламу: середнє 2 000 дол., SD 200 дол. Денні реєстрації з реклами: середнє 50, SD 15. Що мінливіше відносно свого розміру?

7. Останні 10 доставок служби B: середнє 24 години, SD 8 годин. Яке речення **правильно** тлумачить SD?

8. Нова реферальна програма Котокорму за перші п'ять тижнів принесла 12, 15, 9, 18 і 6 реєстрацій. Яке **вибіркове стандартне відхилення** тижневих реєстрацій? Округли до сотих.

9. Котокорм хоче метрику доставки, яка показує, скільки чекають **найменш щасливі клієнти**, і не збивається через одну загублену посилку. Що підходить найкраще?

10. Продакт-менеджер доповідає: *«Середній час оформлення замовлення — 40 секунд (SD 35 секунд)»*. Що каже велике SD і яке ще число ти попросиш? Відповідь — 2–4 речення.

11. Яку кур'єрську службу варто залишити Котокорму і чому? Підкріпи відповідь числами з набору даних.

- Попередній урок: [Середнє, медіана і мода: яке значення типове](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/typical-value.md)
- Наступний урок: [Викиди в даних і скошені розподіли](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/outliers-and-skew.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.