# Вибірка, генеральна сукупність і нормальний розподіл

> Вибірка і генеральна сукупність: чому ми вивчаємо вибірки, щоб дізнатися про всіх користувачів, чому нормальний розподіл трапляється всюди і як їх пов'язує центральна гранична теорема.

- Курс: [Статистика для продакт-менеджерів і маркетологів](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers.md)
- Модуль: Порівняння двох груп
- Урок 5/24, ~39 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/samples-and-normal-distribution

## Вибірка і генеральна сукупність: у чому різниця

**Alex Tutor:** Доброго ранку і з поверненням до продуктової команди Котокорму. Перш ніж порівнювати дві групи, домовимось, про що взагалі йде мова: що таке вибірка, а що — генеральна сукупність. Бери каву, це коротко, але тут спотикаються всі.

**Sofia:** Звісно. Ми ж вимірюємо замовлення Котокорму? Я вже маю в таблиці 500 замовлень за минулий місяць.

**Alex Tutor:** Ці 500 — це **вибірка**: те, на що ми справді подивилися. **Генеральна сукупність** — це всі замовлення, які взагалі є чи можуть бути, усі клієнти, що колись купували чи ще куплять.

**Sofia:** Тобто генеральна сукупність практично нескінченна, і ми ніколи не зможемо виміряти її повністю?

**Alex Tutor:** Практично так — майбутні клієнти ще навіть не з'явилися. Тож ми використовуємо вибірку, щоб робити обґрунтовані здогади про сукупність. Головне — щоб вибірка справді її репрезентувала.

![Кіт-кухар куштує одну ложку з величезної каструлі юшки, щоб оцінити всю каструлю.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/samples-and-normal-distribution-illustration-2.webp)

*Одна ложка розповість про всю каструлю, якщо її добре перемішати.*

**Sofia:** А що тут може піти не так? У мене просто останні 500 замовлень.

**Alex Tutor:** Це якраз нормально, якщо замовлення надходять без певної закономірності. Але вибірка лише із замовлень нашого застосунку пропустила б усіх, хто купує з комп'ютера. Це **зміщення вибірки**: коли одні одиниці мають більше шансів потрапити у вибірку, ніж інші.

> **Вправа:** Команда даних Котокорму хоче опитати випадкові 10% усіх, хто замовляв за останній рік, і використати результат, щоб описати задоволеність *усіх* клієнтів, які замовлятимуть цього року. Середній бал, обчислений із відповідей, — це...

**Alex Tutor:** Добре. Ще два слова, які ти будеш чути постійно: число, що описує всю генеральну сукупність (наприклад, справжня середня сума витрат кожного клієнта Котокорму), — це **параметр**. Він зазвичай невідомий: ніхто не виміряв кожного клієнта.

**Sofia:** А число, яке ми обчислюємо з наших 500 замовлень, — це...

**Alex Tutor:** **Статистика (оцінка)**. Та сама ідея, інше джерело: обчислюється з вибірки, щоб *оцінити* параметр. Статистики обожнюють давати два імені одному поняттю залежно від того, звідки воно взялося.

**Sofia:** Тобто наше вибіркове середнє в 45 дол. — це статистика, а «справжній» середній чек (середня сума замовлення) кожного клієнта Котокорму назавжди — це параметр, який ми ніколи не дізнаємось точно.

**Alex Tutor:** Саме так. Перш ніж рухатись далі, зістав ці чотири терміни з визначеннями — на цій лексиці тримається весь модуль.

> **Вправа:** Зістав кожен термін із його визначенням.

## Що таке нормальний розподіл

**Alex Tutor:** Тепер про те, чому всі постійно малюють цю дзвоноподібну криву. Побудуй графік сум замовлень тисяч незалежних клієнтів — і напрочуд часто отримаєш симетричний горб: **нормальний розподіл**.

**Sofia:** А чому суми замовлень раптом мають утворювати форму дзвона?

**Alex Tutor:** Приблизно так: на кожну суму замовлення впливає багато дрібних незалежних факторів — настрій, наявність товару, купони, апетит кота. Склади багато дрібних випадкових поштовхів навколо типового значення — і зазвичай виникає дзвоноподібна крива.

![Гранули корму падають з лійки крізь ряди кілочків, відскакують ліворуч і праворуч і складаються в симетричну купку-дзвін, а кіт спостерігає.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/samples-and-normal-distribution-illustration-3.webp)

*Багато дрібних випадкових поштовхів разом дають форму дзвона.*

**Alex Tutor:** У досконалій нормальній кривій середнє, медіана й мода збігаються в одній точці — точно посередині, а крива симетрична з обох боків.

**Стандартна нормальна крива**

| z-оцінка | Щільність |
| --- | --- |
| -3 | 0.004 |
| -2.5 | 0.018 |
| -2 | 0.054 |
| -1.5 | 0.13 |
| -1 | 0.242 |
| -0.5 | 0.352 |
| 0 | 0.399 |
| 0.5 | 0.352 |
| 1 | 0.242 |
| 1.5 | 0.13 |
| 2 | 0.054 |
| 2.5 | 0.018 |
| 3 | 0.004 |

*Нормальний розподіл із середнім 0 і стандартним відхиленням 1. Близько 95% площі лежить між z = -2 і z = 2.*

**Sofia:** Це те правило 68-95-99,7, яке мені десь траплялося у виносці?

> **Емпіричне правило**
>
> У нормальному розподілі приблизно 68% значень лежать у межах 1 стандартного відхилення від середнього, приблизно 95% — у межах 2, а приблизно 99,7% — у межах 3.

**Alex Tutor:** Час для «правда чи ні», а тоді поставимо число на «скільки стандартних відхилень від середнього».

> **Вправа:** Емпіричне правило каже, що в нормальному розподілі приблизно 95% значень лежать у межах 2 стандартних відхилень від середнього.

**Sofia:** До речі, який спосіб вибірки дав би нам викривлену картину задоволеності клієнтів? Хочу не повторити свою помилку з вибіркою лише через застосунок.

**Alex Tutor:** Слушне запитання — похибка закрадається щоразу, коли *шанс потрапити у вибірку* пов'язаний із тим, що ти вимірюєш. Іноді це очевидно, іноді ховається в чомусь такому невинному, як час.

**Sofia:** Наведи приклад прихованого варіанту?

**Alex Tutor:** Опитування лише тих, хто щойно звертався в підтримку: ти переоціниш частку незадоволених і недооціниш мовчазну більшість задоволених. Гарний інстинкт — перевіряти. Познач усі викривлені варіанти нижче, їх може бути кілька.

> **Вправа:** Які з цих способів вибірки дали б Котокорму викривлену картину задоволеності клієнтів? Познач усі, що підходять.

## z-оцінки

**Alex Tutor:** Повертаємось до дзвоноподібної кривої. **z-оцінка** каже, на скільки стандартних відхилень окреме значення відстоїть від середнього. Вона переводить будь-яку нормальну змінну в один універсальний масштаб.

$$
z = \frac{x - \mu}{\sigma}
$$

*z-оцінка: відніми від значення x середнє генеральної сукупності μ, тоді поділи на стандартне відхилення генеральної сукупності σ.*

**Sofia:** Тобто z-оцінка 0 означає «рівно середнє», а z-оцінка 2 — «на два стандартні відхилення вище за середнє»?

**Alex Tutor:** Саме так. Від'ємні z-оцінки — нижче за середнє. Поєднай z-оцінку з емпіричним правилом — і одразу приблизно зрозумієш, наскільки значення незвичайне.

**Alex Tutor:** Скажімо, вся генеральна сукупність замовлень Котокорму має середнє $\mu = 50$ дол. і стандартне відхилення $\sigma = 12$ дол. Де опиниться замовлення на 74 дол.?

> **Вправа:** Уся генеральна сукупність замовлень Котокорму має середнє $\mu = 50$ дол. і стандартне відхилення $\sigma = 12$ дол. Яка z-оцінка замовлення на 74 дол.?

## Розподіли вибірок і центральна гранична теорема

**Alex Tutor:** Ось частина, через яку взагалі працюють статистичні критерії. Уяви, що ти береш тисячі *різних* вибірок по 40 замовлень і рахуєш середнє для кожної.

**Sofia:** Гадаю, ці середні трохи відрізнялися б одне від одного?

**Alex Tutor:** Так — цей розкид вибіркових середніх називають **вибірковим розподілом** середнього. І ось найкрасивіше: якою б не була форма самих замовлень, розподіл середніх наближається до нормального зі збільшенням обсягу вибірки.

**Sofia:** Навіть якщо самі суми замовлень скошені, з довгим хвостом великих оптових замовлень?

**Alex Tutor:** Навіть тоді. Це і є **центральна гранична теорема** (ЦГТ): вибіркові середні стають приблизно нормальними зі зростанням $n$, незалежно від форми самої генеральної сукупності. Саме тому із середніми так зручно працювати.

![Кіт набирає багато совків із перекошеної купи корму і за кожен совок кладе кульку в лоток, де кульки складаються в симетричний дзвін.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/samples-and-normal-distribution-illustration-4.webp)

*Середні багатьох вибірок складаються в дзвін, навіть коли самі дані перекошені.*

> **Вправа:** Центральна гранична теорема каже, що вибірковий розподіл середнього стає приблизно нормальним зі зростанням обсягу вибірки, навіть якщо сама генеральна сукупність скошена.

## Стандартна похибка

**Alex Tutor:** Ще одна деталь. Розкид цього вибіркового розподілу має власну назву: **стандартна похибка (СП)**. Не плутай її зі стандартним відхиленням самих даних.

$$
SE_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}}
$$

*Стандартна похибка середнього: вибіркове стандартне відхилення s, поділене на корінь квадратний з обсягу вибірки n.*

**Sofia:** Тобто СП зменшується, коли вибірка більшає? Схоже на «більше даних — менше невизначеності щодо середнього».

**Alex Tutor:** Саме так — і через корінь квадратний тобі потрібно вчетверо більше даних, щоб зменшити СП удвічі, а не вдвічі більше. Спадна віддача від обсягу вибірки — варто пам'ятати, перш ніж просити «просто більшу вибірку».

**Alex Tutor:** Ще кілька чисел, а тоді підсумуємо.

> **Вправа:** Вибірка з n = 36 замовлень має вибіркове стандартне відхилення s = 18 дол. Яка стандартна похибка середнього?

**Alex Tutor:** А тепер навпаки. Припустімо, 3 дол. — недостатньо точно, і ти хочеш зменшити стандартну похибку вдвічі. Згадай про корінь.

> **Вправа:** Твоя вибірка з n = 36 замовлень має s = 18 дол., тож стандартна похибка — 3 дол. Якщо s лишиться приблизно таким самим, скільки замовлень потрібно, щоб зменшити стандартну похибку до 1,50 дол.?

**Alex Tutor:** Останнє перед підсумком, і це помилка, яку я найчастіше бачу у звітах: читати стандартну похибку так, ніби вона описує окремі замовлення.

> **Вправа:** Вибірка з 36 замовлень має середнє 45 дол., s = 18 дол. і стандартну похибку 3 дол. Яке речення **правильно** тлумачить стандартну похибку?

## Підсумок

**Alex Tutor:** Підсумуємо: генеральна сукупність і вибірка, параметр і статистика, нормальна крива, z-оцінки, і тепер стандартна похибка. Це весь набір інструментів для решти модуля.

**Sofia:** Це багато термінів як для одного ранку. Можемо перевірити на чомусь реальному, поки все не вилетіло з голови?

**Alex Tutor:** Залюбки. Наш керівник із росту сьогодні проходив повз мій стіл і сказав щось, від чого я скривився.

**Alex Tutor:** Він сказав: «Вибіркове середнє — 45 дол., отже, справжнє середнє для кожного клієнта — теж 45 дол.». Своїми словами: що не так у цьому реченні?

> **Вправа:** Керівник із росту сказав: «Вибіркове середнє — 45 дол., отже, справжня середня сума замовлення кожного клієнта — теж 45 дол.». У 2-3 реченнях: що тут не так, і що варто сказати натомість?

**Alex Tutor:** Гарно сформульовано. Тепер у тебе є термінологія — подивимось, як ти застосуєш її до чогось складнішого за одну цитату.

**Sofia:** Складнішого як? Тільки не кажи, що це знову одне з моїх власних рішень повертається переслідувати мене.

**Alex Tutor:** Цікаво, що саме про це зайшла мова. Пам'ятаєш твій редизайн оформлення замовлення, запущений минулого тижня?

**Sofia:** О ні.

> **Вправа:** Розглянь заяву, яку Sofia зробила в день запуску.

- Попередній урок: [Типи графіків: як обрати правильний](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/charts.md)
- Наступний урок: [t-критерій Стьюдента](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/t-test.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.