# ANOVA з повторними вимірюваннями

> Відстеження тих самих користувачів у кількох точках часу: дисперсійний аналіз із повторними вимірюваннями і критерій Фрідмана.

- Курс: [Статистика для продакт-менеджерів і маркетологів](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers.md)
- Модуль: Багато груп і до/після
- Урок 16/24, ~41 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/repeated-measures

## Ті самі користувачі, три контрольні точки: повторні вимірювання

**Alex Tutor:** Та сама програма лояльності, та сама продуктова команда Котокорму: ми відстежуємо місячну кількість замовлень для тих самих 5 підписників програми лояльності у трьох контрольних точках: тиждень реєстрації, 4-й тиждень і 8-й тиждень.

**Sofia:** То це як аналіз «до/після», тільки з трьома точками часу замість двох?

**Alex Tutor:** Той самий підхід, тільки розширений. Коли тих самих суб'єктів вимірюють понад двічі, це називають дизайном із повторними вимірюваннями.

![Той самий кіт на трьох зупинках уздовж стежки, а поруч стос пакунків із кормом, що з кожною зупинкою стає вищим.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/repeated-measures-illustration-2.webp)

**Sofia:** А можна просто зробити три t-критерії для залежних вибірок: Тиждень0–Тиждень4, Тиждень4–Тиждень8, Тиждень0–Тиждень8?

**Alex Tutor:** Можна, але ти зіткнешся з тією самою проблемою множинних порівнянь, що й при трьох t-критеріях замість однофакторного ANOVA.

**Alex Tutor:** Дисперсійний аналіз із повторними вимірюваннями робить для багатьох точок часу те саме, що t-критерій для залежних вибірок робив для двох: один критерій, одна чесна частка помилок.

> **Вправа:** Чому не провести просто три окремі t-критерії для залежних вибірок (Тиждень0–Тиждень4, Тиждень4–Тиждень8, Тиждень0–Тиждень8) замість одного дисперсійного аналізу з повторними вимірюваннями?

## Той самий фокус, що й раніше: прибираємо суб'єкта

**Alex Tutor:** Місячна кількість замовлень на підписника: U1 2, 6, 10; U2 6, 7, 11; U3 7, 11, 12; U4 8, 13, 15; U5 12, 13, 17 (тиждень 0, тиждень 4, тиждень 8).

**Місячна кількість замовлень на підписника в часі**

| Контрольна точка | U1 | U2 | U3 | U4 | U5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Week 0 | 2 | 6 | 7 | 8 | 12 |
| Week 4 | 6 | 7 | 11 | 13 | 13 |
| Week 8 | 10 | 11 | 12 | 15 | 17 |

*Кожен підписник починає з іншого рівня, але всі п'ятеро зростають приблизно однаково від точки до точки.*

**Alex Tutor:** Базовий рівень кожного підписника свідомо різний (у середньому 6, 8, 10, 12, 14), але кожен зростає за час приблизно однаково.

**Alex Tutor:** Дисперсійний аналіз із повторними вимірюваннями розкладає загальну мінливість на три частини, а не дві: Суб'єкти, Час і Похибку, замість Між/Всередині в однофакторному ANOVA.

$$
SS_{total} = SS_{subjects} + SS_{time} + SS_{error}
$$

*Загальна сума квадратів розкладається на мінливість між суб'єктами, ефект часу і те, що лишилося.*

**Sofia:** Тобто це однофакторний ANOVA плюс додатковий шматок «Суб'єкти», вирізаний із похибки?

![Кругле тістечко, розрізане на три шматки — великий, середній і тоненький; кіт збирається забрати великий шматок.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/repeated-measures-illustration-3.webp)

*Винеси відмінності між підписниками в окремий шматок, і залишковий шум стане значно меншим.*

> **Вправа:** Дисперсійний аналіз із повторними вимірюваннями розкладає загальну мінливість на три частини: міжсуб'єктну мінливість, ефект часу і залишкову похибку, замість двочастинного розкладу Між/Всередині в однофакторному ANOVA.

## Приклад ANOVA з повторними вимірюваннями

**Alex Tutor:** Загальне середнє — 10. Середні суб'єктів — 6, 8, 10, 12, 14. Середні за часом (тиждень 0, 4, 8) — 7, 10, 13.

**Alex Tutor:** Сума квадратів відхилень від 10 за всіма 15 числами дає SS_total = 220.

**Alex Tutor:** За середніми суб'єктів: SS_subjects = 120. За середніми за часом: SS_time = 90.

> **Вправа:** Котокорм відстежує місячні замовлення тих самих 5 підписників програми лояльності у 3 точках. Для цього дизайну з повторними вимірюваннями SS_total = 220, SS_subjects = 120, SS_time = 90. Обчисли SS_error (залишок).

**Alex Tutor:** Ступені свободи: суб'єкти 5 − 1 = 4, час 3 − 1 = 2, похибка (5 − 1)(3 − 1) = 8. MS_time = 90 / 2 = 45. MS_error = 10 / 8 = 1,25.

**Alex Tutor:** Порівняй ці 8 ступенів свободи похибки з 15 − 3 = 12, які отримали б, помилково вважаючи всі 15 чисел одним дизайном незалежних груп лише за тижнем.

**Sofia:** Здається, більше ступенів свободи мало б бути краще, хіба ні?

**Alex Tutor:** Більше ступенів свободи не допоможе, якщо сама похибка роздута тим самим міжсуб'єктним розкидом, який ми щойно вирізали в окремий шматок.

> **Вправа:** Маючи SS_time = 90 (df = 2) і SS_error = 10 (df = 8), обчисли F-статистику для ефекту часу.

## Виграш: значно більша потужність

**Alex Tutor:** Щоб побачити виграш, спершу зроби це неправильно: уяви, що кожного тижня були різні люди.

> **Вправа:** Котокорм відстежив місячні замовлення тих самих 5 підписників програми лояльності у 3 точках: 15 чисел, SS_total = 220. Проігноруй, хто є хто, і розглянь 15 чисел як три незалежні групи за тижнями: SS_time = 90 (df = 2), а похибка — SS_total − SS_time = 220 − 90 = 130 на 12 ступенях свободи. Обчисли цю наївну F (два знаки після коми).

**Alex Tutor:** Якщо ігнорувати, хто є хто, SS похибки становила б SS_total − SS_time = 220 − 90 = 130 на 12 ступенях свободи: MS_error ≈ 10,83, що дає F ≈ 4,15.

**Alex Tutor:** Правильно спарувавши за суб'єктом, ті самі дані дають F = 36 — величезний виграш у потужності на тих самих 15 числах.

![Кіт дивиться на той самий корм крізь дві лінзи: крізь мутну нічого не видно, крізь чисту чітко проступає помаранчевий слід угору.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/repeated-measures-illustration-4.webp)

**Sofia:** Ті самі дані, а F зовсім інший. Трохи бентежить.

**Alex Tutor:** Це та сама перевага, яку t-критерій Стьюдента для залежних вибірок мав над t-критерієм для незалежних вибірок, лише поширена на три і більше точок часу.

> **Вправа:** Зістав кожен термін із тим, що він означає.

## Дані недостатньо нормальні? Критерій Фрідмана

**Alex Tutor:** Дисперсійний аналіз із повторними вимірюваннями припускає приблизно нормальні, схоже розкидані різниці між точками часу.

**Alex Tutor:** Коли це під сумнівом або вибірка крихітна, запасний варіант — критерій Фрідмана: він ранжує власні вимірювання кожного суб'єкта і порівнює суми рангів між точками часу.

**Sofia:** Знову ранги? Здається, увесь цей курс зводиться до «якщо сумніваєшся, ранжуй».

**Alex Tutor:** Не так далеко від істини. Ранги обмінюють трохи потужності на значну стійкість до викидів і скошених даних.

**Alex Tutor:** Проведімо його для наших п’яти підписників. Ранжування тут просте, бо всі стабільно зростають.

> **Вправа:** Критерій Фрідмана для місячних замовлень 5 підписників програми лояльності Котокорму у 3 точках: у межах кожного підписника проранжуй три точки від 1 до 3. Кожен підписник стабільно зростає, тож суми рангів — 5, 10 і 15. Обчисли статистику Фрідмана: Q = 12 / (n·k·(k + 1)) × ΣR² − 3n(k + 1), де n = 5 підписників, k = 3 точки.

> **Вправа:** Які твердження про дизайни з повторними вимірюваннями правильні? Обери всі.

## Підсумок

**Alex Tutor:** Ті самі суб'єкти, кілька контрольних точок: вирізаємо міжсуб'єктну мінливість в окремий шматок, і реальний ефект часу стає набагато помітнішим.

**Alex Tutor:** Навіть за F = 36 усе одно перевіряй реальний розмір зміни на підписника, а не лише F-статистику, перш ніж називати це перемогою бізнесу.

**Alex Tutor:** То як це подати команді? Два чернеткові варіанти.

> **Вправа:** Дисперсійний аналіз із повторними вимірюваннями для когорти програми лояльності Котокорму (ті самі 5 підписників у тиждень реєстрації, на 4-му і 8-му тижні): у середньому 7 → 10 → 13 замовлень на місяць, F(2, 8) = 36, p ≈ 0,0001. Який підсумок правильний?

**Sofia:** Зрозуміло: ті самі суб'єкти, вирізаний шматок «Суб'єкти», а тоді оцінюємо тренд за власними заслугами.

**Alex Tutor:** Лишилося два завдання: поясни своїми словами цей стрибок F, а тоді розбери кейс із крихітною й перекошеною вибіркою повторних вимірювань.

> **Вправа:** Котокорм відстежив місячні замовлення тих самих 5 підписників програми лояльності у 3 точках. У 2–4 реченнях поясни, чому ці 15 вимірювань дали F ≈ 4,15 як дизайн незалежних груп за тижнем, але F = 36 як правильний аналіз повторних вимірювань.

**Alex Tutor:** Тепер кейс: NPS відстежують у трьох контрольних точках для тих самих 5 активних користувачів після нової функції.

**Alex Tutor:** У чотирьох користувачів тренд гарно зростає, але в одного оцінка різко падає на останній точці після непов'язаної помилки білінгу.

**Sofia:** Поїхали.

**Alex Tutor:** Уперед.

> **Вправа:** Який критерій ти обереш і як упораєшся з викидом?

- Попередній урок: [t-критерій для залежних вибірок: до і після](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/paired-tests.md)
- Наступний урок: [Коефіцієнт кореляції: як дві метрики рухаються разом](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/correlation.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.