# Манна–Вітні: коли дані не нормальні

> Ранговий критерій для скошених метрик, як-от виручка чи тривалість сесії.

- Курс: [Статистика для продакт-менеджерів і маркетологів](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers.md)
- Модуль: Порівняння двох груп
- Урок 7/24, ~41 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/mann-whitney

## Тест із проблемою викиду

**Alex Tutor:** Новий сценарій, та сама продуктова команда Котокорму: ми переробили сторінку товару й виміряли, скільки часу відвідувачі проводять на ній: 6 сесій на старій сторінці, 6 — на новій.

**Sofia:** Чудово, час для t-критерію! У мене вже є середні.

**Alex Tutor:** Не поспішай. Спершу поглянь на самі числа: стара сторінка — 38, 42, 47, 49, 55, 61 секунд. Нова — 58, 60, 65, 68, 72... і 130.

**Sofia:** 130 секунд? Той відвідувач, мабуть, пішов заварювати каву й лишив вкладку відкритою.

![Ноутбук залишено відкритим на сторінці корму поруч із гарячим горнятком, кіт іде геть, а пісочний годинник на столі все ще сиплеться.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/mann-whitney-illustration-2.webp)

**Alex Tutor:** Саме те, що ламає середнє, — пам'ятаєш викиди з першого модуля? Ця одна сесія потягне середнє нової сторінки сильно вгору, і 't' зі звичайного t-критерію тут буде ненадійним.

**Sofia:** То що робити, просто видалити цю сесію й вдати, що її не було?

**Alex Tutor:** Спокусливо, але є чистіше рішення: критерій, якому важливий лише *порядок*, а не саме значення, тож жодне екстремальне число не зможе його перекосити. Знайомся: **U-критерій Манна-Вітні**.

**Alex Tutor:** Швидка перевірка, перш ніж зануримось.

> **Вправа:** Яка ситуація є найяскравішою причиною обрати Манна-Вітні замість класичного t-критерію?

## Ранжування всіх разом

**Alex Tutor:** Крок перший: звалюємо всі 12 сесій в одну купу, сортуємо від найменшої до найбільшої і присвоюємо кожній **ранг** — 1 найкоротшій, 12 найдовшій.

**Усі 12 сесій, відсортовані й проранжовані**

| Ранг | Стара сторінка | Нова сторінка |
| --- | --- | --- |
| 1 | 38 |  |
| 2 | 42 |  |
| 3 | 47 |  |
| 4 | 49 |  |
| 5 | 55 |  |
| 6 |  | 58 |
| 7 |  | 60 |
| 8 | 61 |  |
| 9 |  | 65 |
| 10 |  | 68 |
| 11 |  | 72 |
| 12 |  | 130 |

*Висота стовпця — тривалість сесії; позиція — її ранг (1 = найкоротша). Сесії старої сторінки скупчені на низьких рангах, нової — на високих, окрім одного викиду, який не змінює загальної картини.*

**Sofia:** Нова сторінка здебільшого сидить на високих рангах — окрім однієї сесії старої сторінки на ранзі 8, яка прослизнула вище за дві сесії нової.

**Alex Tutor:** Гарне спостереження. Реальні дані рідко бувають ідеально чистими. Крок другий: додай ранги, що належать кожній групі. Ця сума називається **сумою рангів**.

**Alex Tutor:** Стара сторінка отримала ранги 1, 2, 3, 4, 5, 8 — сума рангів 23. Нова отримала решту шести рангів, у сумі 55. Перевірка: 23 + 55 = 78, і сума від 1 до 12 теж 78. Добре, нічого не загубили.

**Alex Tutor:** Час перетворити ці суми рангів на саму статистику критерію.

> **Вправа:** У тесті сторінки товару Котокорму всі 12 сесій (6 на старій сторінці, 6 на новій) проранжовано від 1 (найкоротша) до 12 (найдовша). Ранги старої сторінки — 1, 2, 3, 4, 5 і 8. Чому дорівнює її сума рангів R₁?

## Від сум рангів до U

$$
U_1 = R_1 - \frac{n_1(n_1+1)}{2}, \quad U_2 = R_2 - \frac{n_2(n_2+1)}{2}, \quad U = \min(U_1, U_2)
$$

*U кожної групи віднімає суму рангів, яку вона мала б, якби ранжувалась сама із собою. Менше з двох значень — це статистика U Манна-Вітні.*

**Sofia:** Цей вираз n(n+1)/2 виглядає знайомим із перевірки суми рангів, яку ми щойно робили.

**Alex Tutor:** Гарне спостереження, це та сама формула — сума рангів від 1 до n. Віднявши її від фактичної суми рангів групи, ти дізнаєшся, наскільки ця група «перевершила» ранжування суто сама із собою.

**Sofia:** Тобто більше U для групи означає, що її значення загалом мали вищі ранги?

**Alex Tutor:** Так — U₁ і U₂ кожне описує виступ лише своєї групи. Статистикою критерію стає лише *менше* з двох. У тебе вже є R₁ = 23 для старої сторінки, при n₁ = 6. Обчисли U₁.

> **Вправа:** Стара сторінка: R₁ = 23, n₁ = 6. Чому дорівнює U₁ = R₁ - n₁(n₁+1)/2?

**Sofia:** U₁ = 2 — крихітне. Це вже каже нам, що стара сторінка ледве «виграє» хоч якесь попарне порівняння з новою?

**Alex Tutor:** Саме ця інтуїція — U буквально приблизно рахує, скільки разів значення з однієї групи перевершує значення з іншої. Тепер дзеркальне відображення: той самий рецепт для нової сторінки.

![Сітка поєдинків один на один: у кожній парі синій і рудий коти стоять на маленьких терезах, і рудий перемагає майже щоразу.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/mann-whitney-illustration-3.webp)

*U рахує, скільки разів значення однієї групи перемагає значення іншої.*

**Sofia:** R₂ = 55, n₂ = 6?

**Alex Tutor:** Саме так. Уперед.

> **Вправа:** Нова сторінка: R₂ = 55, n₂ = 6. Чому дорівнює U₂ = R₂ - n₂(n₂+1)/2?

**Alex Tutor:** Отже, U = min(2, 34) = 2. А ось і несподіванка: для Манна-Вітні саме **мале** U сигналізує про різницю — що воно менше, то менше перетинаються ранги двох груп.

**Sofia:** Це протилежно до t-критерію, де саме *більше* число було вражаючим.

> **Правило рішення діє навпаки**
>
> На відміну від t-критерію, тут ти відхиляєш H0, коли обчислене U *менше або дорівнює* критичному значенню з таблиці, а не більше. Для n₁ = n₂ = 6 двобічне критичне значення при α = 0,05 дорівнює 5.

**Alex Tutor:** Варто повторити, бо це постійно збиває з пантелику: саме мале U, а не велике, тут цікавий результат. Тримай це «навпаки» правило десь на видноті.

**Sofia:** Наше U дорівнює 2, а критичне значення — 5. 2 менше за 5, тож... редизайн сторінки справді щось змінив?

> **Вправа:** При U = min(2, 34) = 2 і двобічному критичному значенні 5 (n₁ = n₂ = 6, α = 0,05), ми відхиляємо нульову гіпотезу про однаковий розподіл тривалості сесії на обох сторінках.

**Alex Tutor:** Так, значуще. А тепер те, що часто плутають у звіті: що саме ми щойно показали?

> **Вправа:** Тест сторінки товару Котокорму (6 сесій на старій сторінці, 6 на новій) дав значущий результат за U-критерієм Манна-Вітні (U = 2 ≤ 5). Яке речення варто написати у звіті?

## Коли варто брати ранговий критерій

**Alex Tutor:** З механікою все вийшло чудово. Перш ніж поговоримо, коли цей критерій виправдовує себе, а коли краще звичайний t-критерій, закріпимо термінологію.

**Sofia:** Не проти, краще не переплутати «ранг» і «сума рангів» на зустрічі.

**Alex Tutor:** Мудро — половина статистичних конфузів — це просто переплутати два схоже названі поняття перед аудиторією.

**Alex Tutor:** Тоді зістав ці ідеї.

> **Вправа:** Зістав кожен термін із його визначенням.

**Alex Tutor:** Манна-Вітні — це **непараметричний критерій**: він не робить жодних припущень про форму розподілу даних, на відміну від t-критерію, який є **параметричним** і спирається на приблизну нормальність.

**Sofia:** То може, варто завжди використовувати Манна-Вітні й узагалі не перейматися нормальністю?

**Alex Tutor:** Спокусливо, але ні — коли дані справді приблизно нормальні без страшних викидів, t-критерій має більшу потужність: краще виявляє реальний ефект на тих самих даних. Ранговий критерій — для випадків, коли асиметрія чи викиди справді заважають.

**Alex Tutor:** Ще один сценарій, де ранги — твій *єдиний* варіант, а не просто безпечніший.

> **Вправа:** Які з цих причин виправдовують вибір Манна-Вітні замість t-критерію? Познач усі, що підходять.

**Alex Tutor:** Ще одна деталь, яка трапиться в реальних даних, перш ніж підсумуємо: два однакові значення. Ось як ранжування дає раду нічиїй.

> **Вправа:** Крихітний тест читання відгуків перед покупкою. Стара сторінка: 10, 14 і 20 секунд. Нова сторінка: 14, 25 і 30 секунд. Проранжуй усі шість разом, давши однаковим значенням середнє їхніх рангів. Чому дорівнює U₁ старої сторінки?

## Підсумок

**Sofia:** Одна річ мене досі непокоїть: чому б просто не прибрати сесію на 130 секунд і не запустити звичайний t-критерій на тому, що лишилось?

**Alex Tutor:** Можна, і іноді так документовано й роблять. Але видаляти незручні дані — слизька звичка, а реальна 130-секундна залучена сесія може бути саме тим типом користувача, для якого й задумувався редизайн.

**Sofia:** Тобто ранжування — це, по суті, спосіб сказати «я довіряю, що це сталося, просто не довіряю точному числу» — це справедливо?

**Alex Tutor:** Чудово сформульовано. Це свідомий обмін: ти жертвуєш точністю (точні секунди), щоб отримати стійкість (несприйнятливість до того одного дикого числа).

![Коти стоять на рівномірних сходинках за розміром; величезний кіт на верхній сходинці лише на одну вищий за сусіда, хоч і набагато більший.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/mann-whitney-illustration-4.webp)

*Ранг зберігає порядок, але не те, наскільки хтось відірвався.*

**Alex Tutor:** У тесті сторінки товару одна сесія на новій сторінці тривала 130 секунд (найімовірніше, вкладку просто залишили відкритою), а решта — приблизно від 40 до 70 секунд. Своїми словами: чому ранжування даних, а не їх видалення чи усереднення, дозволяє чесно залишити цей викид в аналізі?

> **Вправа:** У тесті сторінки товару одна сесія на новій сторінці тривала 130 секунд (найімовірніше, вкладку просто залишили відкритою), а решта — приблизно від 40 до 70 секунд. Своїми словами: чому ранжування даних (а не видалення сесії на 130 секунд чи те, що вона спотворює середнє) дозволяє чесно врахувати цей викид?

**Alex Tutor:** Міцно. Останнє — звіт колеги про Манна-Вітні потребує ще одного погляду, перш ніж потрапити до її керівника.

**Sofia:** Дай вгадаю, вони переплутали правило прийняття рішення?

**Alex Tutor:** Без спойлерів. Прочитай самостійно — так, як тобі хотілося б, щоб хтось перевірив твою роботу.

**Sofia:** Справедливо. Судити чужу математику якось веселіше, ніж власну.

> **Вправа:** Розглянь звіт колеги про U-критерій Манна-Вітні.

- Попередній урок: [t-критерій Стьюдента](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/t-test.md)
- Наступний урок: [p-значення та статистична значущість](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/p-value.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.