# Логістична регресія та класифікація

> Логістична регресія для результатів «так/ні», як-от відтік чи конверсія: шанси, відношення шансів, поріг рішення та оцінка якості прогнозів.

- Курс: [Статистика для продакт-менеджерів і маркетологів](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers.md)
- Модуль: Зв'язки
- Урок 20/24, ~40 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/logistic-regression

## Логістична регресія: коли результат — «так» чи «ні»

**Alex Tutor:** Досі в продуктовій команді Котокорму ми прогнозували число: замовлення, виручку. Але відтік — це «так» чи «ні». Чи можна й тут використати пряму лінію?

**Sofia:** Звісно, просто підбираємо пряму, де y = 1 для тих, хто пішов, і 0 для тих, хто лишився?

**Alex Tutor:** Спробуй — і пряма спокійно прогнозує щось на кшталт 1,3 або -0,2. Це не ймовірності, і зв'язок біля країв узагалі не прямолінійний.

**Sofia:** То що використовувати натомість?

**Alex Tutor:** S-подібну криву, яка завжди затиснута між 0 і 1, — логістичну регресію.

![Кіт у дверях крамниці між повною мискою всередині та вулицею надворі, над ним круглий індикатор зі стрілкою посередині шкали.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/logistic-regression-illustration-2.webp)

*Клієнт або лишається, або йде, але модель видає ймовірність між цими двома крайнощами.*

> **Вправа:** У чому головна проблема, якщо підібрати звичайну лінійну регресію для результату «так/ні», закодованого як 0 і 1?

## Від ймовірності до шансів і логарифма шансів

**Alex Tutor:** Щоб побудувати цю криву, спершу потрібен прийом, який перетворює ймовірність на щось, що може набувати значень від мінус до плюс нескінченності.

**Alex Tutor:** Почнемо із шансів: імовірність події, поділена на ймовірність того, що вона не станеться.

$$
\text{odds} = \frac{p}{1-p}
$$

*Шанси перетворюють ймовірність від 0 до 1 на число від 0 до нескінченності: у скільки разів подія ймовірніша за протилежну.*

**Sofia:** То якщо 80% схожих клієнтів ідуть, шанси... 4?

**Alex Tutor:** Точно — 0,8 / 0,2 = 4. Шанси 4 означають, що відтік учетверо ймовірніший за те, що клієнт лишиться.

> **Вправа:** Якщо ймовірність відтоку клієнта дорівнює 0,8, які шанси відтоку?

**Alex Tutor:** Шанси все ще від 0 до нескінченності. Береш натуральний логарифм шансів — і тепер вони центровані на нулі й необмежені в обидва боки.

$$
\ln(\text{odds}) = b_0 + b_1 x
$$

*Логарифм шансів (логіт): саме цю лінійну частину й підбирає логістична регресія.*

**Sofia:** І саме цей логарифм шансів прогнозує регресія?

**Alex Tutor:** Так. Підбираємо його так само, як лінійну регресію, а потім пропускаємо крізь формулу, яка стискає його назад в ймовірність від 0 до 1.

$$
p = \frac{1}{1 + e^{-(b_0 + b_1 x)}}
$$

*Логістична (сигмоїдна) функція: крута посередині, пласка біля 0 і 1.*

**Alex Tutor:** Ось увесь фокус: пряма лінія в просторі логарифмів шансів перетворюється на плавну S-подібну криву в просторі ймовірностей.

![Кіт з'їжджає S-подібною гіркою, пологою внизу й нагорі та крутою посередині.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/logistic-regression-illustration-3.webp)

*S-крива ніколи не опускається нижче підлоги й не піднімається вище стелі, як і ймовірність.*

**Sofia:** Спробуймо на справжній моделі відтоку.

> **Вправа:** Модель відтоку Котокорму: $\ln(\text{шанси}) = -2 + 0,8 \times \text{місяців\_від\_останньої\_покупки}$. Спрогнозуй ймовірність відтоку для клієнта з 3 місяцями від останньої покупки.

## Як читати відношення шансів

**Alex Tutor:** Приблизно 60% ризику відтоку через три місяці мовчання. Поговорімо, що насправді означає той коефіцієнт 0,8.

**Sofia:** Кожен додатковий місяць додає 0,8 до чогось, так?

**Alex Tutor:** До логарифма шансів — так. Скасувавши логарифм, отримаємо: кожен додатковий місяць множить шанси відтоку приблизно на $e^{0,8} \approx 2,23$ — не саму ймовірність.

> **Відношення шансів**
>
> У скільки разів змінюються шанси результату на одиницю зростання предиктора: експонента коефіцієнта логістичної регресії для цього предиктора.

**Sofia:** А хіба це не те саме, що сказати, що ймовірність зростає у 2,23 раза?

**Alex Tutor:** Ні — і ця плутанина настільки поширена, що стане твоїм наступним запитанням.

> **Вправа:** Відношення шансів 2,23 для предиктора означає, що кожна додаткова одиниця предиктора приблизно подвоює прогнозовану *ймовірність* результату.

**Alex Tutor:** Подивімося в числах. Візьми клієнта на трьох місяцях і додай ще місяць мовчання.

> **Вправа:** Для $\ln(\text{шанси}) = -2 + 0,8 \times \text{місяці}$ клієнт, який мовчить 3 місяці, має ймовірність відтоку приблизно 0,60 (шанси ≈ 1,49). Ще один місяць множить шанси на $e^{0,8} \approx 2,23$. Яка ймовірність відтоку через 4 місяці?

## Від ймовірності до рішення

**Alex Tutor:** Ймовірність — це число. Щоб реально діяти — надіслати пропозицію утримання чи ні — потрібен поріг «так/ні».

**Sofia:** 0,5, очевидно? Якщо ймовірніше «так», ніж «ні» — значить «так»?

**Alex Tutor:** Це типовий вибір, але не завжди найрозумніший. Якщо пропозиція утримання дешева, а втрачений клієнт дорогий, можна позначати будь-кого з ймовірністю понад 0,2.

> **Поріг класифікації**
>
> Прогнозована ймовірність, вище за яку спостереження вважають позитивним. Часто за замовчуванням 0,5, але добирають з огляду на вартість хибнопозитивних і хибнонегативних результатів.

**Sofia:** То поріг — це бізнес-рішення, а не статистичне?

**Alex Tutor:** І те, і те — статистика дає ймовірність, а бізнес вирішує, наскільки обережним бути з нею.

## Матриця помилок, точність і повнота

**Alex Tutor:** Хоч який поріг буде обрано, захочеться оцінити, наскільки хороші підсумкові рішення «так/ні».

**Alex Tutor:** Кожен прогноз потрапляє в одну з чотирьох клітинок, порівняно з тим, що сталося насправді.

> **Матриця помилок**
>
> Таблиця 2x2: істинно позитивний (прогноз — відтік, і справді пішов), хибнопозитивний (прогноз — відтік, але лишився), хибнонегативний (прогноз — лишиться, але пішов), істинно негативний (прогноз — лишиться, і справді лишився).

> **Вправа:** Зістав кожну клітинку матриці помилок з її значенням для моделі відтоку.

**Alex Tutor:** Добре. З цієї таблиці одразу випливають два корисні показники: точність і повнота.

**Alex Tutor:** Точність: із усіх, кого позначено як тих, хто піде, яка частка справді пішла. Повнота: із усіх, хто справді пішов, яку частку вдалося впіймати.

**Sofia:** А чому б просто не взяти влучність — частку всіх правильних прогнозів?

**Alex Tutor:** Бо відтік трапляється рідко. Модель, яка просто каже «ніхто не піде», може мати 95% влучності, не впіймавши жодного реального клієнта, що пішов.

**Sofia:** Ой — тобто сама влучність може обманювати.

**Alex Tutor:** Саме так. Перш ніж щось рахувати, переконайся, що можеш пояснити чому.

> **Вправа:** За місяць іде лише 5% передплатників Котокорму. «Модель», яка прогнозує «ніхто не піде», має 95% влучності. Який висновок **правильний**?

**Alex Tutor:** Тепер точність для моделі, яка справді когось позначає.

> **Вправа:** Матриця помилок моделі відтоку: 40 істинно позитивних, 10 хибнопозитивних, 20 хибнонегативних, 130 істинно негативних. Обчисли точність.

**Alex Tutor:** Гарно пораховано. А тепер частина, на якій усі спотикаються: точність і повнота тягнуть у протилежні боки.

**Sofia:** А чи не можна максимізувати обидва одразу?

**Alex Tutor:** Рідко. Знизь поріг — і позначатимеш більше людей: повнота зростає, але точність зазвичай падає, бо з'являється більше хибних тривог.

**Alex Tutor:** Для дешевого листа про утримання цей обмін часто виправданий — Котокорм краще напише кільком людям, які б і так лишилися, ніж пропустить реальних клієнтів, що йдуть.

![Два коти рибалять: у малому сачку кілька помаранчевих рибок, у широкому багато рибок і ще кілька бляшанок.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/logistic-regression-illustration-4.webp)

*Ширший сачок ловить більше справжніх відтоків, а разом із ними й більше хибних тривог.*

> **Вправа:** Ти знижуєш поріг класифікації моделі відтоку (позначаєш більше клієнтів як ризикових). Що з переліченого зазвичай відбувається? Обери всі, що підходять.

## Перш ніж встановити поріг

**Alex Tutor:** Час сформулювати це словами.

**Sofia:** Що я цього разу пояснюю?

**Alex Tutor:** Швидкий компроміс щодо витрат.

**Sofia:** Поїхали.

> **Вправа:** Модель відтоку Котокорму позначає клієнтів вище порогу для листа про утримання вартістю 5 дол. Клієнт, що пішов, у середньому коштує близько 150 дол. втраченої довічної цінності. Тобі потрібен вищий чи нижчий поріг класифікації, і чому? Відповідь — 2-4 речення.

**Alex Tutor:** Гарна інтуїція. Тепер повний кейс, востаннє в цьому модулі.

**Sofia:** Останній?

**Alex Tutor:** Останній — модель відтоку, матриця помилок і справжнє рішення, яке треба порекомендувати.

**Alex Tutor:** Ось сценарій.

> **Вправа:** Порадь, чи варто Котокорму знизити поріг класифікації моделі відтоку.

**Alex Tutor:** Чудова робота. Від однієї діаграми розсіювання — до повноцінної моделі відтоку з обґрунтованим порогом. Далі — модуль 6: перетворення моделей на прогнози й пошук сегментів клієнтів.

- Попередній урок: [Множинна лінійна регресія](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/multiple-regression.md)
- Наступний урок: [Моделі та прогнозування](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/models-and-forecasts.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.