# Проста лінійна регресія

> Проста лінійна регресія: передбачення однієї метрики з іншої прямою лінією та перевірка якості через коефіцієнт детермінації R².

- Курс: [Статистика для продакт-менеджерів і маркетологів](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers.md)
- Модуль: Зв'язки
- Урок 18/24, ~42 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/linear-regression

## Від кореляції до простої лінійної регресії

**Alex Tutor:** Учора ми з'ясували, що рекламні витрати й замовлення Котокорму сильно корелюють, r = 0,95. Сьогодні фінансовий директор хоче від нашої продуктової команди конкретне число: скільки додаткових замовлень купує ще один долар?

**Sofia:** А хіба для цього не можна просто взяти r?

**Alex Tutor:** r лише каже, наскільки щільно крапки прилягають до прямої, а не наскільки та пряма крута. Для конкретного числа потрібна проста лінійна регресія: один предиктор, одна пряма.

**Набір даних (CSV):** [Тижневі рекламні витрати Котокорму та замовлення з реклами](https://productovi.com/datasets/statistics-for-pm-and-marketers/linear-regression/catchow-ad-spend-orders.csv)

Ті самі десять тижнів рекламних витрат і замовлень з уроку про кореляцію, тепер використані для підбору прямої.

- `week`: Номер тижня
- `ad_spend_usd`: Тижневі витрати на рекламу, USD
- `orders_from_ads`: Замовлення, віднесені до реклами того тижня

**Alex Tutor:** Ті самі десять тижнів, що й учора. Цього разу проведемо справжню пряму крізь крапки, а не просто виміряємо, наскільки вони прямі.

**Рекламні витрати й замовлення з реклами за 10 тижнів**

| Рекламні витрати, USD | Замовлення з реклами |
| --- | --- |
| 200 | 20 |
| 300 | 23 |
| 350 | 30 |
| 400 | 28 |
| 450 | 36 |
| 500 | 33 |
| 550 | 42 |
| 600 | 38 |
| 650 | 48 |
| 700 | 44 |

*Та сама діаграма розсіювання з уроку про кореляцію. Мета сьогодні — пряма, яка найкраще їй відповідає.*

**Sofia:** То ми просто проводимо пряму крізь середину крапок?

**Alex Tutor:** Ідея правильна — але «крізь середину» потребує точного правила, інакше кожен аналітик проводив би свою пряму.

> **Вправа:** Що дає лінійна регресія понад те, що дає сама кореляція?

## Найкраща пряма: метод найменших квадратів

**Alex Tutor:** Ось правило для найкращої прямої: обираємо пряму, що мінімізує суму квадратів вертикальних відстаней від кожної крапки до прямої. Це метод найменших квадратів.

**Sofia:** Знову квадрати? Хіба ми вже не робили це для стандартного відхилення?

**Alex Tutor:** Той самий прийом: піднесення до квадрата не дає додатним і від'ємним відстаням скасувати одна одну і сильніше карає за великі промахи, ніж за малі.

![Гранули корму розкидані навколо прямого помаранчевого стрижня, кожна з'єднана з ним вертикальною пружиною; кіт підштовхує стрижень до рівноваги.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/linear-regression-illustration-2.webp)

*Уяви кожен відступ як пружину: найкраща лінія там, де сумарний натяг усіх пружин найменший.*

$$
b_1 = \frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x})^2}, \qquad b_0 = \bar{y} - b_1\bar{x}
$$

*Нахил і вільний член методу найменших квадратів: той самий чисельник і знаменник, що й для r, тепер використані для крутизни прямої.*

**Alex Tutor:** Різниця між фактичним і прогнозованим значенням кожної крапки називається залишком. Якщо додати всі залишки, у сумі завжди вийде рівно нуль.

**Sofia:** Стривай, завжди? Навіть для жахливої прямої?

**Alex Tutor:** Якщо пряма має вільний член і підібрана методом найменших квадратів — так, завжди. Це та сама причина, чому відхилення від середнього в сумі дають нуль.

> **Вправа:** Залишки прямої, підібраної методом найменших квадратів (із вільним членом), завжди в сумі дають рівно нуль.

**Alex Tutor:** Добре. Тепер справді підберімо пряму для наших даних про рекламу.

**Sofia:** Ті самі десять тижнів із набору даних вище?

**Alex Tutor:** Саме так. Функції `SLOPE()` та `INTERCEPT()` у таблиці порахують це за тебе, або можна пройти формулу вручну.

**Sofia:** Погляньмо, скільки насправді замовлень купують ці витрати.

> **Вправа:** За набором даних **Тижневі рекламні витрати Котокорму та замовлення з реклами** обчисли нахил b1 прямої найменших квадратів, що прогнозує orders_from_ads за ad_spend_usd. Дай відповідь як кількість замовлень на кожні 100 дол. додаткових тижневих витрат.

**Alex Tutor:** 5,39 додаткового замовлення на кожні 100 дол. — непогано. Але сам нахил не відповідає на «скільки замовлень наступного тижня», для цього ще потрібен вільний член.

**Sofia:** Так, стартова точка, коли витрати дорівнюють нулю?

**Alex Tutor:** Саме так — $b_0 = \bar y - b_1 \bar x \approx 34{,}2 - 0,0539 \times 470 \approx 8,85$ замовлення за нульових рекламних витрат. Певна кількість органічних замовлень трапляється навіть без реклами.

![Вимкнений сірий мегафон лежить на столі, а кілька котів усе одно самі йдуть до маленької крамниці корму.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/linear-regression-illustration-3.webp)

*Вільний член: замовлення, які надходять навіть у тиждень без жодних витрат на рекламу.*

**Alex Tutor:** Але обережно з тим, як ці 8,85 потраплять у звіт. Під яким із двох речень ти підпишешся?

> **Вправа:** Котокорм підібрав пряму тижневих замовлень із реклами залежно від тижневих рекламних витрат на десяти тижнях із витратами 200–700 дол. Пряма дає вільний член b0 ≈ 8,85 замовлення. Яке речення для фінансового директора тлумачить його **правильно**?

**Sofia:** То тепер можемо прогнозувати будь-який тиждень?

> **Вправа:** Використовуючи $b_0 \approx 8,85$ і $b_1 \approx 0,0539$, спрогнозуй orders_from_ads для тижня з рекламними витратами 550 дол.

**Alex Tutor:** 38,5 прогнозовано, 42 фактично для того тижня — залишок приблизно 3,5. Непогано для прямої лінії крізь неохайні реальні дані.

**Alex Tutor:** Твоя черга. Тиждень 4 — той, що просів: 400 дол. витрат, 28 замовлень. Який залишок там лишає пряма?

> **Вправа:** У тижні 4 рекламні витрати становили 400 дол., а замовлень із реклами було 28. Використовуючи $b_0 \approx 8,85$ і $b_1 \approx 0,0539$, обчисли залишок для тижня 4 (фактичне мінус прогнозоване).

## Коефіцієнт детермінації R²: наскільки добра вся пряма

**Sofia:** А чи є спосіб сказати, наскільки хороша вся пряма, а не лише один тиждень?

**Alex Tutor:** Так — коефіцієнт детермінації, R². Це частка варіації замовлень, яку пояснює пряма, від 0 до 1.

$$
R^2 = 1 - \frac{\sum (y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum (y_i - \bar{y})^2}
$$

*R²: одиниця мінус частка дисперсії, що залишилася в залишках. R² = 1 — ідеальне прилягання; R² = 0 — пряма нічого не пояснює.*

**Sofia:** Для наших даних це просто r у квадраті?

**Alex Tutor:** Для одного предиктора — так, точно: $R^2 = r^2 \approx 0,95^2 \approx 0,90$. Близько 90% тижневих коливань замовлень узгоджуються з рекламними витратами.

**Alex Tutor:** Перевір це й довшим шляхом, через залишки, щоб побачити, звідки береться 0,90.

> **Вправа:** За десять тижнів рекламних витрат і замовлень із реклами Котокорму квадрати відхилень замовлень від їхнього середнього в сумі дають 749,6. Квадрати залишків від підібраної прямої в сумі дають 77,5. Обчисли R².

**Alex Tutor:** Тепер зв'яжи чотири терміни докупи.

> **Вправа:** Зістав кожен термін регресії з його значенням.

**Alex Tutor:** Ще дещо, перш ніж прогнозувати цією прямою наступний квартал.

**Sofia:** Ой.

**Alex Tutor:** Ми тестували витрати лише від 200 дол. до 700 дол. За межами цього діапазону пряма може не діяти — прогноз для 5 000 дол. — це здогад, а не вимірювання.

![Пряма дорога йде твердою землею і тягнеться за край урвища в туман, де маленький кіт піднімає лапу, щоб зупинитися.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/linear-regression-illustration-4.webp)

*Лінію перевірено лише там, де є дані. За цими межами це здогадка, а не вимірювання.*

**Alex Tutor:** І R² = 0,90 усе ще не 1 — залишок у кілька замовлень щотижня — це нормально. Не чекай, що пряма влучить точно в кожен тиждень.

> **Вправа:** Котокорм підібрав пряму тижневих замовлень із реклами залежно від рекламних витрат за десять тижнів із витратами 200–700 дол. (R² = 0,90). Що з переліченого є реальним ризиком, якщо використати її для планування рекламного бюджету наступного кварталу? Обери всі, що підходять.

## Перш ніж узгодити план наступного кварталу

**Alex Tutor:** Гарно підмічено, усі три.

**Sofia:** Наша команда.

**Alex Tutor:** Ще одна навичка діагностики, а потім — записка.

**Alex Tutor:** Поглянь на цей візерунок залишків.

> **Вправа:** Ти будуєш графік залишків проти рекламних витрат, і вони розкидані не випадково: невеликі від'ємні залишки за малих витрат, додатні посередині, знову від'ємні за великих — крива. Що може означати такий візерунок і що варто розглянути далі? Відповідь — 2-4 речення.

**Alex Tutor:** Правильна думка — такий систематичний візерунок означає, що варто шукати викривлення, а не просто шум. Тепер — справжня записка.

**Sofia:** Для фінансового директора, звісно ж без тиску.

**Alex Tutor:** У тебе є пряма, R² і застереження щодо екстраполяції. Об'єднай усе це.

**Alex Tutor:** Ось сценарій.

> **Вправа:** Напиши свою рекомендацію щодо використання цієї прямої для планування рекламного бюджету наступного кварталу.

**Alex Tutor:** Чудова робота. Тепер ти вмієш будувати просту лінійну регресію й розуміти, що вона обіцяє, а що ні. Далі — що робити, коли на замовлення впливає не одна річ одразу: множинна регресія.

- Попередній урок: [Коефіцієнт кореляції: як дві метрики рухаються разом](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/correlation.md)
- Наступний урок: [Множинна лінійна регресія](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/multiple-regression.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.