# Довірчий інтервал: формула і похибка

> Формула довірчого інтервалу і похибка оцінки: як повідомити діапазон правдоподібних значень замість одного числа.

- Курс: [Статистика для продакт-менеджерів і маркетологів](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers.md)
- Модуль: A/B-тестування на практиці
- Урок 9/24, ~40 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/confidence-intervals

## Одне число — це ще не вся історія

**Alex Tutor:** Новий тиждень у Котокормі, і ти знову з цифрами продуктової команди. Що там у тебе?

**Sofia:** Середній чек за минулий тиждень — 50,00 дол. Тобто наш AOV — 50 дол., і крапка?

**Alex Tutor:** Майже. 50,00 дол. — це середнє арифметичне саме цієї вибірки. Інший тиждень дав би трохи інше число, навіть якщо насправді нічого не змінилося.

![Три маленькі миски, набрані з одного великого мішка котячого корму, наповнені трохи по-різному; кіт їх порівнює.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/confidence-intervals-illustration-2.webp)

*Той самий магазин, той самий тиждень, різні вибірки: кожна дає трохи інше середнє.*

**Sofia:** Тобто справжній AOV може бути будь-яким?

**Alex Tutor:** Не будь-яким — а діапазоном правдоподібних значень навколо 50,00 дол. Цей діапазон називають **довірчим інтервалом (ДІ)**: замість одного числа ми повідомляємо інтервал, який, ймовірно, містить справжнє середнє. Сьогодні виведемо формулу довірчого інтервалу для найуживанішого рівня — 95%.

> **Довірчий інтервал (ДІ)**
>
> Діапазон значень, обчислений за вибіркою, який, ймовірно, містить справжній параметр генеральної сукупності (тут — справжній середній чек).

![Кіт закидає широку рибальську сітку у ставок, а одна помаранчева рибка пливе саме в межах сітки.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/confidence-intervals-illustration-3.webp)

*Довірчий інтервал — це сітка, а не гарпун: вона накриває діапазон, у якому найімовірніше є справжнє значення.*

> **Вправа:** 95% довірчий інтервал означає, що є 95% ймовірність того, що справжній середній чек лежить саме в цьому конкретному інтервалі.

## Формула довірчого інтервалу для середнього

**Alex Tutor:** Побудувати його нескладно. Спочатку — **стандартна похибка (SE)**: наскільки вибіркове середнє коливалося б від вибірки до вибірки.

$$
SE = \frac{s}{\sqrt{n}}
$$

*Стандартна похибка середнього: вибіркове стандартне відхилення s, поділене на корінь із обсягу вибірки n.*

**Sofia:** Тобто більша вибірка дає меншу SE?

**Alex Tutor:** Саме так — SE зменшується пропорційно $\sqrt{n}$, а не самому n. Учетверо більша вибірка зменшує SE лише вдвічі.

**Alex Tutor:** Візьмемо 225 замовлень минулого тижня: вибіркове стандартне відхилення 15,00 дол., тож SE = 15,00 дол. / √225 = 15,00 дол. / 15 = 1,00 дол.

> **Вправа:** Цього місяця Котокорм вибрав n = 400 замовлень із вибірковим стандартним відхиленням s = 20,00 дол. Яка стандартна похибка середнього, в доларах?

**Alex Tutor:** Тепер повний інтервал: точкова оцінка ± (критичне значення × SE). Для 95% ДІ критичне значення — приблизно 1,96 (з нормального розподілу).

$$
\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot SE
$$

*95% ДІ для середнього, з критичним значенням нормального розподілу z = 1,96.*

**Alex Tutor:** Повертаємось до минулого тижня: 50,00 дол. ± 1,96 × 1,00 дол. = 50,00 дол. ± 1,96 дол., тобто інтервал — від 48,04 дол. до 51,96 дол.

**Sofia:** Тобто похибка оцінки — це саме та частина 1,96 дол.?

**Alex Tutor:** Так — **похибка оцінки** — це критичне значення × SE. Наводь її поруч із точковою оцінкою: це чесна картина, яка й потрібна керівництву.

> **Вправа:** Використовуючи критичне значення 1,96 і SE = 2,50 дол., яка похибка оцінки, в доларах?

**Alex Tutor:** А тепер склади всі три частини на новій вибірці: SE, похибку оцінки, а тоді сам інтервал.

> **Вправа:** Вибірка з n = 144 замовлень Котокорму має середнє 52,40 дол. і стандартне відхилення s = 24 дол. Яка **нижня** межа 95% довірчого інтервалу для середнього чека, у доларах?

## 95% чи 99%: довірчий рівень проти точності

**Sofia:** А чи не варто завжди брати 99% довірчого рівня — для певності?

**Alex Tutor:** Можна, але інтервал стане ширшим. Вищий довірчий рівень означає більше критичне значення, а отже — більшу похибку оцінки.

**Похибка оцінки зростає з довірчим рівнем (SE = 1,00 дол.)**

| Довірчий рівень | Похибка оцінки (USD) |
| --- | --- |
| 90% | 1.645 |
| 95% | 1.96 |
| 99% | 2.576 |

**Alex Tutor:** При 99% довірчому рівні та сама SE = 1,00 дол. дає похибку ±2,58 дол. замість ±1,96 дол. — тобто ширший, менш точний інтервал.

**Sofia:** Тобто якщо я хочу і високий довірчий рівень, і вузький інтервал...

**Alex Tutor:** ...потрібна більша вибірка. SE зменшується з $\sqrt{n}$, тож вужчий інтервал при тому самому довірчому рівні означає більше даних, а не просто бажання.

> **Вправа:** Щоб звузити 95% ДІ, не знижуючи довірчого рівня, що варто зробити?

**Alex Tutor:** Перевіримо, чи це запам'яталося — які важелі справді звужують ДІ, а які лише здаються такими?

**Sofia:** Деякі речі очевидно звужують інтервал — більший n. А от вища мінливість мене плутає.

**Alex Tutor:** Більша мінливість даних (більший s) збільшує SE, а отже розширює ДІ — це протилежне до того, що потрібно.

**Sofia:** А нерепрезентативна, «підібрана» вибірка?

**Alex Tutor:** Це не просто не звужує ДІ — це робить увесь інтервал безглуздим, бо формула передбачає випадкову вибірку.

![Кіт вибирає з миски змішаного синьо-помаранчевого корму лише помаранчеві шматочки й складає їх в окрему мисочку.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/confidence-intervals-illustration-4.webp)

> **Вправа:** Що з переліченого звужує 95% ДІ за незмінності решти умов? Обери всі правильні варіанти.

## Довірчий інтервал для частки: короткий погляд

**Alex Tutor:** Усе, що ми обговорили, стосувалось *середнього* (доларів). Котокорм також відстежує *частки* — наприклад, коефіцієнт конверсії. Ідея та сама, лише формула SE трохи інша.

$$
SE_p = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}
$$

*Стандартна похибка вибіркової частки p за вибіркою обсягом n.*

**Alex Tutor:** Та сама структура: точкова оцінка ± критичне значення × SE. Повний приклад — разом із перевіркою значущості — розберемо в наступних двох уроках.

**Sofia:** Гаразд, здається, механіку я вловлюю. Можемо потренуватися на порядку кроків?

**Alex Tutor:** Звісно — пройтися кроками не за порядком — гарний спосіб перевірити, чи це справді засвоєно, а не просто завчено.

> **Вправа:** Розташуй кроки побудови довірчого інтервалу в правильному порядку.

**Alex Tutor:** І одна коротка спроба з версією для частки, бо саме про конверсію наступні два уроки.

> **Вправа:** Минулого тижня 2 400 відвідувачів дійшли до сторінки підписки Котокорму, і 4% із них підписалися. Яка стандартна похибка цієї частки, у відсоткових пунктах?

## Як тлумачити довірчий інтервал і звітувати про нього

**Alex Tutor:** Ще одне, перш ніж підеш презентувати це. Керівництво іноді хоче лише одне число — ДІ здається їм зайвим підстрахуванням.

**Sofia:** А хіба одне число — не просто простіше?

**Alex Tutor:** Простіше — так. Чесніше — ні. 50,00 дол. без контексту провокує зайву впевненість: хтось порівняє його з 49,50 дол. наступного місяця і назве це «падінням».

**Sofia:** Хоча 49,50 дол. і так у межах інтервалу цього місяця.

**Alex Tutor:** Саме так. Тому формулювання на слайді важливе. Яке з цих двох речень варто туди поставити?

> **Вправа:** Середній чек минулого тижня — 50,00 дол., 95% ДІ від 48,04 до 51,96 дол. (замовлення коливаються з s = 15 дол.). Яке речення варто поставити на слайд?

**Alex Tutor:** Добре. Тепер твоя черга пояснити це своїми словами тому, хто ніколи не чув про ДІ.

> **Вправа:** Sofia, продакт-менеджерці Котокорму, потрібно пояснити керівнику з маркетингу за 2-3 речення, чому Котокорм має наводити довірчий інтервал для AOV (напр., 48,04-51,96 дол.), а не лише середнє 50,00 дол. Напиши її пояснення.

**Alex Tutor:** Чудово. Ще одна — трохи складніша ситуація для роздумів.

**Sofia:** Наводь.

**Alex Tutor:** Фінансова директорка Котокорму побачила інтервал AOV цього місяця, 48,04-51,96 дол., і минулого місяця, 47,50-50,10 дол., і запитала, чи AOV точно зросло.

**Sofia:** Інтервали, що перетинаються... в цьому й підступ, так?

> **Вправа:** Чи справді зросло AOV Котокорму?

**Alex Tutor:** Гарна інтуїція — помітити перетин, не роблячи зайвих висновків у жоден бік. Саме цю навичку ми й розвиваємо в цьому модулі.

**Sofia:** Далі: а скільки насправді потрібно вибірки, перш ніж узагалі починати тест?

**Alex Tutor:** Саме те питання. Це статистична потужність і обсяг вибірки — наступний урок.

- Попередній урок: [p-значення та статистична значущість](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/p-value.md)
- Наступний урок: [Статистична потужність і обсяг вибірки](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/power-and-sample-size.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.