# Дисперсійний аналіз (ANOVA): порівняння багатьох груп

> Однофакторний дисперсійний аналіз: перевірка трьох і більше варіантів одночасно без зростання хибнопозитивних результатів.

- Курс: [Статистика для продакт-менеджерів і маркетологів](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers.md)
- Модуль: Багато груп і до/після
- Урок 13/24, ~40 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/anova

## Три варіанти: ANOVA чи кілька t-критеріїв

**Alex Tutor:** Ти й далі в продуктовій команді Котокорму, і ось тест, який треба прочитати. Маркетинг написав три версії вітального листа для нових користувачів і нарешті протестував їх: кожен новачок отримав Класичний, Грайливий або Знижковий варіант.

![Три конверти летять із ноутбука до котячої поштової скриньки: простий, у відбитках лапок і з помаранчевою біркою.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/anova-illustration-2.webp)

**Sofia:** І Знижковий явно переміг, так? Люди ж люблять знижки.

**Alex Tutor:** Можливо. Ми виміряли витрати за перший місяць у 5 нових користувачів на кожен варіант. Перш ніж порівнювати середні, потрібен тест саме для трьох груп одночасно, а не для двох.

**Sofia:** А чому б просто не зробити t-критерій для кожної пари: Класичний проти Грайливого, Грайливий проти Знижкового, Класичний проти Знижкового?

**Alex Tutor:** Кожен t-критерій сам по собі має 5% ризик хибної тривоги. Зроби три, і ймовірність, що хоча б один випадково «закричить: значущо!», стає значно вищою за 5%.

> **Вправа:** Котокорм протестував три листи для нових користувачів на 5 людях кожен і хоче порівняти середні витрати за перший місяць між усіма трьома. Чому проводити три окремі t-критерії (по одному на пару) — погана ідея?

## Як однофакторний ANOVA розкладає дисперсію

**Alex Tutor:** Однофакторний дисперсійний аналіз (ANOVA) — один критерій одразу для трьох груп; «однофакторний» означає один фактор, тут це варіант листа. Він запитує: чи розкид *між* середніми груп великий порівняно з розкидом *всередині* кожної групи?

$$
F = \dfrac{MS_{between}}{MS_{within}}
$$

*F-статистика: міжгруповий середній квадрат, поділений на внутрішньогруповий.*

**Alex Tutor:** Міжгрупова дисперсія показує, наскільки середні трьох варіантів відрізняються від загального середнього. Великі відмінності між варіантами піднімають її.

**Alex Tutor:** Внутрішньогрупова дисперсія — це шум: наскільки користувачі *всередині* одного варіанта відрізняються від середнього своєї групи. Її видно, навіть коли ефекту немає взагалі.

![Три маленькі гурти котів, кожен щільно скупчився біля своєї миски, а між гуртами — широкий порожній простір.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/anova-illustration-3.webp)

*ANOVA питає, чи великі відстані між групами порівняно з розкидом усередині кожної групи.*

**Sofia:** Тобто великий F означає, що варіанти якось відрізняються?

**Alex Tutor:** Правильна думка. Нульова гіпотеза (H0) ANOVA каже, що всі три середні генеральної сукупності рівні. Великий F — це доказ проти неї, але він ще не каже, який саме варіант відрізняється.

> **Вправа:** Нульова гіпотеза однофакторного ANOVA стверджує, що принаймні одне середнє групи відрізняється від решти.

## Приклад ANOVA: рахуємо F

**Alex Tutor:** Ось витрати за перший місяць у USD для 5 користувачів кожного варіанта: Класичний 18, 19, 20, 21, 22; Грайливий 23, 24, 25, 26, 27; Знижковий 28, 29, 30, 31, 32.

**Середні витрати за перший місяць за варіантом**

| Варіант листа | Середні витрати |
| --- | --- |
| Classic | 20 |
| Playful | 25 |
| Discount-first | 30 |

*Середні трьох варіантів рівномірно віддалені одне від одного на 5 дол., а користувачі всередині кожного варіанта відрізняються лише на пару доларів.*

**Alex Tutor:** Загальне середнє за всіма 15 користувачами: (20 + 25 + 30) / 3 = 25 дол. Середнє кожного варіанта відхиляється від нього рівно на 5 дол.

$$
SS_{between} = n\sum_{j=1}^{k}(\bar{x}_j - \bar{x})^2
$$

*Міжгрупова сума квадратів: n користувачів у групі, помножене на квадрат відстані середнього кожної групи від загального середнього.*

**Alex Tutor:** За n = 5 у кожній групі: SS_between = 5 × ((20−25)² + (25−25)² + (30−25)²) = 5 × (25 + 0 + 25) = 250.

**Alex Tutor:** Внутрішньогрупова SS підсумовує квадрати відхилень кожного користувача від середнього своєї групи: 10 + 10 + 10 = 30. Три групи лишають 15 − 3 = 12 ступенів свободи для неї.

> **Вправа:** Маючи SS_between = 250 (df = 2) і SS_within = 30 (df = 12) з тесту листів Котокорму, обчисли F-статистику.

**Alex Tutor:** F = 50 — це величезне значення. Для df(2, 12) такий екстремальний результат трапився б випадково значно рідше, ніж 1 раз на 1000, якби варіанти насправді працювали однаково.

**Alex Tutor:** Повтори весь розрахунок ще раз на менших числах, щоб кроки запам’яталися: три макети оформлення, по 4 користувачі.

> **Вправа:** Ще один тест Котокорму: три макети оформлення замовлення, по 4 користувачі, середні суми замовлення 40, 44 і 48 дол. SS_within = 54. Обчисли F-статистику (два знаки після коми).

**Sofia:** Тобто все вирішено: Знижковий переміг, і ми викочуємо його всюди?

**Alex Tutor:** Перш ніж відповім, обери підсумок, який справді варто надіслати маркетингу.

> **Вправа:** Котокорм протестував три вітальні листи: Класичний, Грайливий і Знижковий (середні витрати за перший місяць 20, 25 і 30 дол.). ANOVA дав F = 50, p < 0,001. Який підсумок варто надіслати маркетингу?

**Alex Tutor:** Ще ні. ANOVA лише каже, що три середні не рівні між собою. Вона не каже, чи Знижковий перевершує Грайливий, чи ледь випереджає лише Класичний.

**Alex Tutor:** Щоб безпечно порівняти всі пари, потрібна поправка Бонферроні: поділи α на кількість порівнянь, щоб утримати загальний ризик біля 5%.

> **Вправа:** Ти плануєш порівняти всі 3 пари варіантів (Класичний–Грайливий, Грайливий–Знижковий, Класичний–Знижковий) після значущого ANOVA, застосувавши поправку Бонферроні, щоб утримати загальну частку помилок на рівні 0,05. Який поріг значущості (α) слід використати для кожного попарного тесту?

## Апостеріорні (post hoc) критерії: які групи відрізняються?

**Alex Tutor:** Таке безпечне попарне порівняння після значущого ANOVA називають апостеріорним (post hoc) критерієм. Поширений вибір для однакових за розміром груп — критерій Тьюкі (HSD).

**Sofia:** HSD... звучить драматично. А що він насправді робить?

**Alex Tutor:** Він порівнює кожну пару середніх груп за одним спільним порогом, побудованим на внутрішньогруповій дисперсії, тож загальна частка хибнопозитивних результатів по всіх парах лишається біля 5%.

![Кіт однією мірною лінійкою порівнює три миски попарно, а дуги з'єднують кожну пару мисок.](https://productovi.com/courses/statistics-for-pm-and-marketers/inline/anova-illustration-4.webp)

**Alex Tutor:** У нашому випадку Знижковий переважає і Класичний, і Грайливий, а Грайливий переважає Класичний. Усі три відрізняються один від одного, що узгоджується з тим, наскільки далеко стояли їхні середні.

> **Апостеріорний (post hoc) критерій**
>
> Попарне порівняння після значущого дисперсійного аналізу з вбудованим контролем множинних порівнянь (Тьюкі, Бонферроні, Геймса-Ховелла).

> **Вправа:** Зістав кожен термін ANOVA з тим, що він означає.

## Припущення ANOVA і критерій Краскела-Уолліса

**Alex Tutor:** ANOVA припускає приблизно нормальні дані й схожі дисперсії в кожній групі — ті самі припущення, що й у t-критерію.

**Alex Tutor:** Коли вони суттєво порушені (крихітні вибірки, дикі викиди), використовуй H-критерій Краскела-Уолліса: ту саму ідею, що й у Манна-Вітні, поширену на три і більше груп.

**Sofia:** Знову ранжування, як ми робили для двох груп?

**Alex Tutor:** Той самий підхід: перетворюємо кожне значення з усіх груп на ранг, а тоді порівнюємо суми рангів замість середніх. Це трохи менша потужність в обмін на стійкість до викидів.

**Alex Tutor:** Ось складніші дані від команди лояльності. Який критерій тут підійде?

> **Вправа:** Котокорм порівнює витрати за перший місяць для трьох пропозицій лояльності, по 6 користувачів. В одній групі двоє гуртових покупців витратили понад 400 дол., а решта — від 15 до 40 дол. Який критерій підходить найкраще?

> **Вправа:** Які твердження про однофакторний ANOVA та його F-статистику правильні? Обери всі.

## Підсумок

**Alex Tutor:** Один ANOVA кращий за три t-критерії: одна чесна частка хибнопозитивних результатів, одна F-статистика і внутрішньогруповий шум як база для порівняння.

**Sofia:** Тобто наступного разу, коли маркетинг скаже «третій варіант очевидно переміг», я можу запитати «очевидно, чи F-статистично»?

**Alex Tutor:** Майже. Ще дивися на самі середні груп і на графік, а не лише на F. Величезний F за мізерної, незначущої для бізнесу різниці в доларах — це не перемога.

**Alex Tutor:** Лишилося два завдання: поясни своїми словами, навіщо потрібен апостеріорний крок, а тоді дай пораду щодо трохи складнішого тесту Котокорму.

> **Вправа:** У 2–4 реченнях поясни, чому значущий результат однофакторного ANOVA сам по собі не каже Котокорму, який варіант листа для нових користувачів обрати.

**Alex Tutor:** Гарні міркування. Перевіримо їх на складнішому, справжньому кейсі Котокорму.

**Alex Tutor:** Цього разу не буде акуратного F = 50 — результат стоїть якраз на межі.

**Sofia:** Чудово, тобто цього разу справді доведеться думати, а не просто читати F-статистику?

**Alex Tutor:** Саме так. У цьому й уся суть статистичної грамотності для продакт-менеджерів.

> **Вправа:** Що ти скажеш маркетингу і що робитимеш далі?

- Попередній урок: [Пастки: підглядання, множинні порівняння, ефект новизни](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/ab-testing-pitfalls.md)
- Наступний урок: [Двофакторний дисперсійний аналіз і взаємодії](https://productovi.com/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/multifactor-anova.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.