# Навіщо квадрат: дисперсія, суми квадратів і n − 1

> Навіщо формули розкиду підносять відхилення до квадрата, дисперсія s² і σ², суми квадратів між групами й усередині, λ як сума квадратів навантажень і ідея n − 1 та ступенів свободи.

- Курс: [Математика для статистики та юніт-економіки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics.md)
- Модуль: Квадрати, корені й відстані
- Урок 13/36, ~28 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/math-basics/why-we-square

## Відхилення, що не компенсуються

**Alex Tutor:** Модуль 4 — про квадрати, корені й відстані. Пам'ятаєш п'ятьох учнів Klasna із 6, 9, 4, 7 і 14 уроками? Їхні відхилення від середнього 8 у сумі давали нуль, тож прямо виміряти розкид ними не можна.

**Sofia:** Тож ми підносимо їх до квадрата. Але чому квадрати, а не просто відкинути мінуси?

**Alex Tutor:** Відкинути знаки теж можна: середнє абсолютне відхилення — (2 + 1 + 4 + 1 + 6) ÷ 5 = 2,8. Квадрати виграють із двох причин: великі відхилення важать більше, а квадратні частини зручно додаються, і на цьому тримається решта статистики.

**Alex Tutor:** Квадрати — 4, 1, 16, 1 і 36. Їхня сума, **сума квадратів**, — 58, і учень із 14 уроками сам дає 36 із неї. Удвічі більше відхилення важить учетверо більше.

![Кіт розкладає в ряд квадратні килимки різного розміру: чотири маленькі й один дуже великий помаранчевий, що вкриває більше підлоги, ніж усі інші разом.](https://productovi.com/courses/math-basics/inline/m4-l1-i1.webp)

*Квадрат дає далеким значенням переважити.*

![Відхилення −2, +1, −4, −1 і +6 намальовані як квадрати з площами 4, 1, 16, 1 і 36; разом 58, і одне +6 дає 36 із них.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m4-l1-squares-uk.png)

*Сума квадратів — це сума площ.*

> **Вправа:** Чому формули розкиду підносять відхилення до квадрата? Вибери усі правильні відповіді.

**Alex Tutor:** Одна швидка перевірка цих плиток, перш ніж щось ділити.

> **Вправа:** У сумі квадратів удвічі більше відхилення додає вдвічі більше.

## Дисперсія і n − 1

**Alex Tutor:** **Дисперсія** — сума квадратів, поділена на n − 1: s² = 58 ÷ 4 = **14,5**. Її одиниці — у квадраті, «уроки в квадраті», тому наступний урок добуває з неї корінь.

$$
s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1} \qquad \sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}
$$

*s² — дисперсія вибірки, ділимо на n − 1. σ² — дисперсія всієї генеральної сукупності навколо справжнього середнього μ, ділимо на N.*

**Sofia:** А коли ділити на N?

**Alex Tutor:** Лише тоді, коли в тебе справді є всі: усі 1 120 активних учнів у березні, а не п'ятеро з них. У продуктовій роботі таке рідко буває. У таблицях є обидві версії: VAR.S ділить на n − 1, VAR.P — на N.

**Alex Tutor:** Спробуймо на справжньому випадку з Klasna.

> **Вправа:** Klasna має кількість уроків за березень для кожного з 1 120 учнів, активних того місяця, — для всіх до одного — і хоче знати розкид саме цієї групи. Яка дисперсія тут підходить?

**Sofia:** Гаразд. Але чому для вибірки n − 1, а не 5?

**Alex Tutor:** Бо відхилення в сумі мусять давати нуль. Коли знаєш чотири з них, −2, +1, −4 і −1, п'яте мусить бути +6. Вільних лише чотири частини. Цю кількість називають **ступенями свободи**.

**Alex Tutor:** Перевірмо ідею вільних частин на інших числах.

> **Вправа:** П'ять відхилень від середнього вибірки в сумі дають нуль, як завжди. Чотири з них: −3, +5, −1 і +2. Яке п'яте?

**Alex Tutor:** Інакше кажучи: x̄ пораховано з тих самих даних, тож дані лежать трохи ближче до x̄, ніж до справжнього μ. Сума квадратів виходить трохи замалою, і ділення на n − 1 замість n це виправляє.

> **Вправа:** Вибірка з чотирьох репетиторів провела 3, 5, 7 і 9 пробних уроків. Чому дорівнює дисперсія вибірки s²? Дай два знаки після коми.

## Ступені свободи на ім'я

**Alex Tutor:** Ступені свободи трапляються в багатьох формулах. Кожні з них — «кількість даних мінус те, що з них оцінили». Одна вибірка: n − 1. Дві вибірки з двома середніми: n₁ + n₂ − 2. Порівняння k груп: k − 1. Таблиця з r рядків і c стовпців: (r − 1)(c − 1).

**Sofia:** Тобто це завжди кількість, а не щось, що рахують зі значень.

> **Вправа:** Двовибірковий t-тест порівнює 12 учнів на одному тарифі з 15 на іншому. Скільки ступенів свободи має тест з об'єднаною дисперсією, n₁ + n₂ − 2?

## Розклад суми квадратів

**Alex Tutor:** Квадрати розкладаються чисто. Оцінки двох репетиторів: A отримав 4 і 6 (середнє 5), B — 8 і 10 (середнє 9); загальне середнє — 7. Загальна сума квадратів навколо 7: 9 + 1 + 1 + 9 = **20**.

**Alex Tutor:** **Між** групами: кожне значення замінюємо середнім його групи, 2 × (5 − 7)² + 2 × (9 − 7)² = 16. **Усередині** груп: кожне значення навколо середнього своєї групи, 1 + 1 + 1 + 1 = 4. І 16 + 4 = 20 точно.

![Оцінки 4 і 6 (середнє 5) та 8 і 10 (середнє 9) навколо загального середнього 7: загальна сума квадратів 20 = між групами 16 + усередині груп 4.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m4-l1-ss-split-uk.png)

*Більшість розкиду тут — між двома репетиторами.*

**Sofia:** То ось що порівнює ANOVA: між проти всередині.

**Alex Tutor:** Так. І факторний аналіз теж використовує квадрати: сила фактора λ = Σa², сума квадратів його навантажень. Навантаження 0,8, 0,7 і 0,6 дають 0,64 + 0,49 + 0,36 = **1,49**.

> **Вправа:** Дві групи по 3 учні мають середні бали 4 і 8; загальне середнє — 6. Чому дорівнює SS_between = Σ nⱼ(x̄ⱼ − x̄)²?

> **Вправа:** Фактор має навантаження 0,9, 0,6 і 0,5 на три питання опитування. Чому дорівнює його λ = Σa²?

## Твоя черга: поясни n − 1

**Alex Tutor:** Колега питає, чому вибіркова дисперсія в таблиці ділить на n − 1, і думає, що це помилка. Поясни простими словами.

**Sofia:** Використаю п'ять відхилень.

> **Вправа:** Поясни колезі трьома-чотирма реченнями, чому вибіркова дисперсія ділить на n − 1, а не на n. Візьми за приклад відхилення −2, +1, −4, −1, +6 від середнього 8.

## Де це знадобиться

> **У підсумку**
>
> - Відхилення компенсуються, тож формули розкиду підносять їх **до квадрата**: квадрати ніколи не від'ємні й надають більшої ваги великим відхиленням.
> - **Сума квадратів** = Σ(xᵢ − x̄)². **Дисперсія** s² = сума квадратів ÷ (n − 1) для вибірки; σ² ділить на N навколо μ. Одиниці — у квадраті.
> - **Ступені свободи** = кількість даних мінус те, що з них оцінили: n − 1, n₁ + n₂ − 2, k − 1, (r − 1)(c − 1).
> - Суми квадратів розкладаються: **загальна = між + усередині**. Сила фактора **λ = Σa²**.

> **Де це використовується**
>
> - [Розкид](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/spread): s² з n − 1 і σ² з N.
> - [t-критерій Стьюдента](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/t-test): n₁ + n₂ − 2 ступенів свободи.
> - [Дисперсійний аналіз (ANOVA)](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/anova): SS_between проти SS_within.
> - [ANOVA з повторними вимірюваннями](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/repeated-measures): загальна сума квадратів, розкладена на три частини.
> - [Факторний аналіз](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/factor-analysis): λ як сума квадратів навантажень.

**Alex Tutor:** Наступного разу — квадратний корінь і √n: вони повертають одиниці й пояснюють, чому більше даних звужує оцінку.

- Попередній урок: [На що ділимо? Пастки знаменника](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/choosing-the-denominator.md)
- Наступний урок: [Квадратні корені і √n: SD і стандартна похибка](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/square-roots-and-root-n.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.