# Знак Σ: суми, межі й накопичені підсумки

> Як читати Σ з межами, чому відхилення від середнього в сумі дають нуль, суми добутків, накопичені підсумки й подвійні індекси, а також два скорочення: n(n + 1)/2 і k(k − 1)/2.

- Курс: [Математика для статистики та юніт-економіки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics.md)
- Модуль: Мова формул
- Урок 6/36, ~26 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/math-basics/the-sum-sign

## Σ означає «додай усе»

**Alex Tutor:** Ти досі в продуктовій команді Klasna і вчишся читати формули. Сьогоднішній знак статистика використовує найчастіше.

**Sofia:** Майже в кожній формулі статистики є велика Σ. Що саме вона просить зробити?

**Alex Tutor:** Додати. Σ — велика грецька сигма, від слова «сума». Те, що стоїть після неї, каже, **що** додавати, а позначки внизу й угорі — **які саме**: почни з i = 1 і зупинись на n.

$$
\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + x_2 + \dots + x_n \qquad \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
$$

*i = 1 унизу — перший доданок; n угорі — останній; xᵢ — що додаємо щоразу. Середнє — ця сума, поділена на n.*

**Alex Tutor:** Наші п'ятеро учнів з минулого разу взяли 6, 9, 4, 7 і 14 уроків. Σxᵢ = 40, а x̄ = 40 ÷ 5 = 8. Формула середнього — це просто «додай усе й поділи на кількість».

**Sofia:** А якщо межі інші, скажімо від 2 до 4?

**Alex Tutor:** Тоді додай лише x₂, x₃ і x₄: 9 + 4 + 7 = 20. Межі — це фільтр за індексом. Коли у формулі їх немає і написано просто Σx, мається на увазі «усі».

> **Вправа:** Значення — 3, 8, 5, 12 і 10, саме в такому порядку. Порахуй суму від i = 2 до 4: x₂ + x₃ + x₄.

## Відхилення в сумі завжди дають нуль

**Alex Tutor:** Тепер сума, яку ти побачиш у кожній формулі розкиду: Σ(xᵢ − x̄). Спершу відніми середнє від кожного значення, потім додай. Для нашого списку: −2, +1, −4, −1 і +6.

**Sofia:** Це... нуль.

**Alex Tutor:** Завжди, для будь-якого списку. Середнє — точка рівноваги: те, що нижче, точно врівноважує те, що вище. Тому розкид не можна виміряти як середнє відхилення, і тому статистика спершу підносить відхилення до квадрата.

**Alex Tutor:** Перевір це твердження загалом, а не лише для нашого списку.

> **Вправа:** Для будь-якого списку чисел відхилення від середнього в сумі дають нуль: Σ(xᵢ − x̄) = 0.

![На числовій прямій значення 4, 6, 7, 9 і 14 розташовані навколо середнього 8: відхилення нижче дають −7, вище +7, тож їхня сума — 0.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m2-l2-deviations-uk.png)

*Середнє — точка рівноваги списку.*

**Alex Tutor:** І ще про порядок. Σxᵢ² означає піднести кожне значення до квадрата, потім додати: 36 + 81 + 16 + 49 + 196 = 378. (Σxᵢ)² — спершу додати, потім піднести: 40² = 1 600. Вирішують дужки.

> **Вправа:** Для значень 2, 3 і 5 чому дорівнює Σxᵢ²?

## Суми добутків

**Alex Tutor:** Часто доданок — це добуток. У березні Klasna продала уроки англійської в трьох пакетах: 1 200 уроків по 650 грн, 3 400 по 620 і 2 000 по 580. Дохід — це Σ qᵢ · pᵢ, кількість на ціну, пакет за пакетом.

**Alex Tutor:** 780 000 + 2 108 000 + 1 160 000 = **4 048 000 грн**. Спершу множення в кожному доданку, потім додаємо доданки — як у порядку дій з модуля 1.

**Sofia:** А якщо поділити на Σqᵢ = 6 600 уроків, вийде середня ціна приблизно 613,33 грн.

**Alex Tutor:** Так, і це середнє зважене за кількістю. На ньому побудовано модуль 3. Кореляція в статистиці — теж сума добутків: Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ).

> **Вправа:** За тиждень діяли три ставки репетиторів: 40 уроків по 390 грн, 25 по 430 і 10 по 500. Порахуй загальну виплату Σ qᵢ · pᵢ у гривнях.

## Накопичені підсумки й два індекси

**Alex Tutor:** Коли верхня межа рухається, виходить **накопичений підсумок**: Sₖ = x₁ + … + xₖ. Когорта учнів приносить 120, 100, 90 і 80 грн маржі на учня в місяці з 1-го по 4-й. Накопичені підсумки — 120, 220, 310 і 390.

**Sofia:** Це те, що малює крива LTV, так?

**Alex Tutor:** Так. А окупність — перший місяць, коли накопичений підсумок сягає вартості залучення учня. Знайди його.

> **Вправа:** Когорта приносить 120, 100, 90 і 80 грн маржі на учня в місяці з 1-го по 4-й. Залучення учня коштувало 300 грн. У якому місяці накопичений підсумок уперше сягає цієї суми?

**Alex Tutor:** Тепер два індекси. Щоб спрогнозувати активних користувачів, продуктова аналітика додає когорти: MAUₜ = Σ N_c · r₍ₜ₋c₎.

**Alex Tutor:** N_c — скільки людей прийшло в місяці c; r₍ₜ₋c₎ — частка тих, хто ще активний через t − c місяців. У січні–березні прийшли когорти 400, 500 і 600; утримання — 100%, 50% і 40% у віці 0, 1 і 2. Березень: 400 × 0,4 + 500 × 0,5 + 600 × 1 = **1 010**.

![Когортна таблиця: січень 400 → 200 → 160, лютий 500 → 250, березень 600. Сума березневого стовпця — 160 + 250 + 600 = 1 010 активних учнів.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m2-l2-cohort-sum-uk.png)

*Один індекс іде вниз по когортах, другий — уздовж місяців.*

> **Вправа:** У квітні, травні й червні прийшли когорти з 300, 450 і 500 учнів. Утримання — 100% у віці 0, 60% у віці 1 і 45% у віці 2. За формулою MAUₜ = Σ N_c · r₍ₜ₋c₎, скільки учнів активні в червні?

## Два скорочення

**Alex Tutor:** Перше: 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2. Склади перше число з останнім: 1 + 10, 2 + 9 і так далі; кожна пара дає n + 1, а пар — n/2. Тож 1 + … + 10 = 10 × 11 ÷ 2 = 55. Це сума рангів у тесті Манна–Вітні.

**Alex Tutor:** Застосуй трюк із парами до довшого списку.

> **Вправа:** Двадцять користувачів тесту проранжовано від 1 до 20. Яка сума всіх рангів, 1 + 2 + … + 20?

**Alex Tutor:** Друге: скільки пар можна скласти з k об'єктів? Кожен із k може утворити пару з k − 1 іншими, але так кожну пару пораховано двічі, тож k(k − 1)/2. Чотири варіанти тесту дають 4 × 3 ÷ 2 = 6 попарних порівнянь.

**Sofia:** Тобто пари ростуть набагато швидше за варіанти.

> **Вправа:** В A/B/n-тесті 6 варіантів. Скільки різних пар варіантів можна порівняти?

## Твоя черга: розкид, що завжди дорівнює нулю

**Alex Tutor:** Колега пропонує простий показник того, наскільки різниться кількість уроків: «середнє xᵢ − x̄ по учнях». Поясни, що вийде.

**Sofia:** Я вже здогадуюся, яка буде відповідь для будь-якого списку.

> **Вправа:** Колега хоче виміряти, наскільки різниться кількість уроків, через (1/n) Σ (xᵢ − x̄). Який результат це дасть для будь-якого списку, чому і що натомість роблять формули статистики? Покажи на списку 6, 9, 4, 7, 14.

## Де це знадобиться

> **У підсумку**
>
> - **Σ** додає те, що стоїть після неї; межі внизу й угорі кажуть, які доданки. Без меж — усі.
> - **Σ(xᵢ − x̄) = 0** для будь-якого списку, тому формули розкиду підносять відхилення до квадрата.
> - **Σxᵢ²** — спершу квадрати, потім сума; **(Σxᵢ)²** — спершу сума, потім квадрат.
> - **Σ qᵢ · pᵢ** — множення в кожному доданку, потім додавання. Рухома верхня межа дає **накопичений підсумок**.
> - Два індекси, як у **Σ N_c · r₍ₜ₋c₎**, проходять водночас по когортах і за віком.
> - **1 + … + n = n(n + 1)/2**; **з k об'єктів виходить k(k − 1)/2 пар**.

> **Де це використовується**
>
> - [Розкид](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/spread): Σ(x − x̄)² усередині дисперсії.
> - [Манна–Вітні](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/mann-whitney): U = R − n(n + 1)/2.
> - [Дисперсійний аналіз (ANOVA)](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/anova): суми квадратів і 6 пар серед 4 варіантів.
> - [Коефіцієнт кореляції](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/correlation): сума добутків відхилень.
> - [Крива LTV](/uk/courses/product-analytics/ltv-curve): накопичений підсумок, поділений на користувачів когорти.
> - [Прогноз активних користувачів](/uk/courses/product-analytics/forecasting): MAUₜ = Σ N_c × r₍ₜ₋c₎.
> - [Касовий план на 12 місяців](/uk/courses/finance-for-product/twelve-month-cash-plan): залишок, що накопичується місяць за місяцем.

**Alex Tutor:** Наступного разу — як перетворювати формулу, щоб знайти саме те число, яке потрібне.

- Попередній урок: [Позначення: індекси, риски, «дашки» і грецькі літери](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/formula-notation.md)
- Наступний урок: [Перетворення формули: знайди те, що потрібно](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/rearranging-a-formula.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.