# Нормальна крива

> Площа як імовірність, правило 68–95–99,7, звідки береться 1,96, однобічні й двобічні p-значення і z для α та потужності.

- Курс: [Математика для статистики та юніт-економіки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics.md)
- Модуль: Імовірність і розподіли
- Урок 29/36, ~25 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/math-basics/the-normal-curve

## Площа — це ймовірність

**Alex Tutor:** Знову в продуктовій команді Klasna, де щовесни проводять пробний іспит з математики. Торік бали мали форму дзвона: більшість учнів біля 150, а до країв — дедалі менше. Середнє — 150, стандартне відхилення — 15.

**Sofia:** А крива — це згладжена версія тієї гістограми?

**Alex Tutor:** Так, **нормальна крива**. Її головна властивість: площа під нею між двома точками — це частка учнів у цьому проміжку, або ймовірність, що випадковий учень туди потрапить. Уся площа дорівнює 1.

**Alex Tutor:** Спершу переконаймося, що ідея «площа як частка» закріпилася.

> **Вправа:** Бали пробного іспиту Klasna лягають на нормальну криву із середнім 150 і SD 15. Площа під кривою між 140 і 160 — 0,495. Що означає це число?

**Alex Tutor:** Три площі варто пам’ятати. У межах 1 SD від середнього — приблизно 68%: тут від 135 до 165. У межах 2 SD — приблизно 95%: від 120 до 180. У межах 3 SD — 99,7%: від 105 до 195.

![Бали із середнім 150 і SD 15: приблизно 68% між 135 і 165, 95% між 120 і 180, 99,7% між 105 і 195.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m7-l5-68-95-997-uk.png)

*Правило 68–95–99,7: частки площі, а не ширини.*

**Sofia:** Тобто те, що поза 2 SD, ділиться між двома краями?

**Alex Tutor:** Порівну, бо крива симетрична. 100% − 95% = 5% назовні, тож 2,5% вище за 180 і 2,5% нижче за 120.

**Sofia:** Чи кожна метрика має форму такого дзвона?

**Alex Tutor:** Ні. Дохід з учня чи тривалість уроку скошені, з довгим хвостом з одного боку. Крива найважливіша для середніх і часток, виміряних на багатьох людях: вони мають форму дзвона, навіть коли окремі значення її не мають. Тому тести на неї й спираються.

> **Вправа:** Бали пробного іспиту приблизно нормальні із середнім 150 і SD 15. За правилом 68–95–99,7 яка приблизно частка учнів набирає понад 165, у відсотках?

**Alex Tutor:** Ще одна перевірка: коли дзвін — правильна картинка.

> **Вправа:** Дохід з учня в Klasna має довгий правий хвіст: більшість платить за один пакет, дехто — за багато. Із середнім 9 000 грн і SD 6 000 грн правило 68–95–99,7 каже, що приблизно 95% учнів платять від −3 000 до 21 000 грн.

## Звідки береться 1,96

**Alex Tutor:** Щоб застосовувати криву до будь-яких даних, міряй відстань від середнього в SD: z = (x − середнє) ÷ SD. Бал 180 — це z = (180 − 150) ÷ 15 = 2. Тоді одна таблиця підходить для всього.

**Alex Tutor:** Швидка вправа на z, перш ніж дійдемо до 1,96.

> **Вправа:** Бали пробного іспиту мають середнє 150 і SD 15. Учень набрав 171. Яке z цього бала, тобто відстань від середнього в SD?

**Sofia:** А 1,96 — це просто точніша версія 2?

**Alex Tutor:** Саме так. «95% у межах 2 SD» — заокруглення. Точне z, що лишає 95% посередині й по 2,5% у кожному хвості, — **1,96**. Тому інтервали й тести на рівні 5% використовують 1,96.

> **Вправа:** Чому 95% довірчий інтервал використовує 1,96?

**Alex Tutor:** Тоді довірчий інтервал — це просто x̄ ± 1,96 × SE. Візьмімо пробні уроки з попереднього прикладу: купили 30%, SE ≈ 2,3 в. п. 30% ± 1,96 × 2,3 = 30% ± 4,5, тобто від 25,5% до 34,5%.

> **Вправа:** Опитування показує, що 42% батьків хочуть уроки у вихідні, стандартна похибка — 3 в. п. Яка верхня межа 95% інтервалу x̄ + 1,96 × SE у відсотках, з одним знаком після коми?

## Один хвіст чи два

**Alex Tutor:** Тепер тест. Нове нагадування про урок підвищило відвідуваність, і статистика z вийшла 1,87. Площа за 1,87 з одного боку — 0,031.

**Alex Tutor:** Звичне запитання — «чи нагадування інше, краще чи гірше?». Тоді рахуються крайні результати з обох боків: p = P(|Z| ≥ 1,87) = 0,031 + 0,031 = 0,062, це більше за 0,05. Якщо питати лише «чи краще?», p = 0,031.

![Для z = 1,87 двобічне p рахує обидва хвости: 0,031 + 0,031 = 0,062; однобічне — один, 0,031. Двобічна межа для 5% — 1,96.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m7-l5-tails-uk.png)

*Те саме z, два різні p-значення.*

**Sofia:** Тобто можна просто обрати однобічний і отримати значущість?

**Alex Tutor:** Лише якщо це вирішено ще до того, як з’явилися дані, і падіння справді нічого б не змінило. Перемикання постфактум подвоює справжню частку хибних тривог. Більшість продуктових тестів — двобічні.

> **Вправа:** Тест дає z = −2,10, а площа за 2,10 з одного боку — 0,018. Яке двобічне p-значення?

## z для α і для потужності

**Alex Tutor:** Формули розміру вибірки використовують два значення z. z_{α/2} = 1,96 для двобічного тесту на рівні 5%. z_β = 0,84 для потужності 80%: 80% кривої лежить нижче за 0,84. Разом (1,96 + 0,84)² = 2,8² = 7,84.

$$
n \propto (z_{\alpha/2} + z_{\beta})^2
$$

*Розмір вибірки росте з квадратом суми двох значень z.*

> **Вправа:** Для потужності 90% z_β = 1,28. Якщо підняти потужність із 80% до 90% за інших рівних, потрібна вибірка зросте приблизно на третину.

## Твоя черга

**Alex Tutor:** Тест нагадування з попереднього прикладу: z = 1,87. Колега пише: «Однобічне p — 0,031, отже, значуще. Запускаймо».

> **Вправа:** Нове нагадування про урок підвищило відвідуваність із z = 1,87; площа за 1,87 з одного боку — 0,031. Колега пише: «Однобічне p — 0,031, отже, значуще. Запускаймо». Двома-трьома реченнями дай відповідь колезі: чи результат значущий на рівні 5% і коли однобічне p було б прийнятним?

## Де це знадобиться

> **У підсумку**
>
> - Під **нормальною кривою** площа = ймовірність; уся площа дорівнює 1.
> - **68–95–99,7:** частки в межах 1, 2 і 3 SD від середнього.
> - z = (x − середнє) ÷ SD. ±**1,96** лишає 95% посередині й по 2,5% у хвостах; інтервал x̄ ± 1,96 × SE.
> - **Двобічне** p рахує обидва хвости (0,062 для z = 1,87); однобічне — один (0,031). Обирай до даних.
> - Розмір вибірки: (z_{α/2} + z_β)² = (1,96 + 0,84)² = 7,84 для 5% і потужності 80%.

> **Де це використовується**
>
> - [Вибірка, генеральна сукупність і нормальний розподіл](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/samples-and-normal-distribution): z і правило 68–95–99,7.
> - [p-значення та статистична значущість](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/p-value): однобічні й двобічні p-значення.
> - [Довірчий інтервал: формула і похибка](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/confidence-intervals): x̄ ± 1,96 × SE.
> - [Статистична потужність і розмір вибірки](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/power-and-sample-size): z_{α/2} і z_β.
> - [Наскільки великий і наскільки довгий](/uk/courses/product-analytics/test-size): (1,96 + 0,84)² = 7,84 у формулі користувачів на варіант.
> - [Кейс: читаємо завершений тест](/uk/courses/product-analytics/reading-a-test): інтервал для ефекту.

**Alex Tutor:** Наступного разу — інші криві: t, хі-квадрат і F, і як порахувати потужність тесту.

- Попередній урок: [Багато тестів одразу](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/many-tests-at-once.md)
- Наступний урок: [Інші криві й потужність](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/other-curves-and-power.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.