# Лінійна функція

> Як читати y = a + bx у бізнес-формулах: прибуток = c·n − F, лінії тренду, податок із фіксованою частиною, ефект дизайну, де перетинаються дві прямі, і дві залежності, які не є прямими.

- Курс: [Математика для статистики та юніт-економіки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics.md)
- Модуль: Прямі й моделі
- Урок 17/36, ~26 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/math-basics/the-linear-function

## Пряму задають два числа

**Alex Tutor:** Ти й далі в продуктовій команді Klasna, і сьогоднішні формули мають одну форму. Модель Hanna для операційного прибутку за місяць: прибуток = 174,48·n − 1 038 000, де n — кількість проведених уроків.

**Sofia:** Числа знайомі: маржинальний дохід на урок і постійні витрати місяця. А яке загальне правило?

$$
y = a + b \cdot x
$$

*a — вільний член, значення y при x = 0; b — нахил, на скільки змінюється y, коли x зростає на 1.*

**Alex Tutor:** Кожна **лінійна функція** має вигляд y = a + b·x. **Вільний член** a — це старт при x = 0: навіть без жодного уроку витрати становлять 1 038 000, тож a = −1 038 000. **Нахил** b — те, що додає кожна наступна одиниця: +174,48 за урок.

**Alex Tutor:** Перш ніж іти далі, перевірмо, що означає кожне число в моделі прибутку.

> **Вправа:** У моделі Klasna прибуток = 174,48·n − 1 038 000, де n — кількість проведених за місяць уроків, що означає −1 038 000?

**Alex Tutor:** Пряма перетинає нуль там, де a + b·x = 0, тобто x = −a ÷ b: 1 038 000 ÷ 174,48 ≈ 5 949,1. З округленням угору — 5 950 уроків: та сама точка беззбитковості, що й у курсі фінансів.

![Прибуток = 174,48·n − 1 038 000 починається з −1 038 000 без уроків, зростає на 174,48 за урок і перетинає нуль приблизно на 5 950 уроках — у точці беззбитковості.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m5-l1-profit-line-uk.png)

*Вільний член — де пряма починається, нахил — наскільки круто вона піднімається.*

> **Вправа:** За моделлю прибуток = 174,48·n − 1 038 000 який операційний прибуток дасть місяць із 7 000 уроків, у гривнях?

**Alex Tutor:** Тепер знайдімо точку нуля, про яку ми говорили, для іншої прямої.

> **Вправа:** Групове заняття приносить Klasna 273·n − 560 грн, де n — кількість учнів на ньому. За якої найменшої цілої кількості учнів заняття не збиткове?

## Та сама форма всюди

**Alex Tutor:** Коли вже бачиш a + b·x, знаходиш його в багатьох курсах. Лінія тренду: активні учні ≈ 820 + 50·t, де t — місяці від вересня 2025 року. Старт — 820, плюс 50 учнів щомісяця.

**Alex Tutor:** Податкове правило з фіксованою частиною. Репетитор чи репетиторка, що працює як ФОП, щокварталу платить 6% доходу плюс фіксований соціальний внесок 5 707,02 грн: податок = 5 707,02 + 0,06·дохід.

**Alex Tutor:** І **ефект дизайну** з продуктової аналітики: DE = 1 + (m − 1)·ICC. Тут x — це m − 1, інші люди в групі, вільний член дорівнює 1, а нахил — ICC, наскільки схожі між собою учасники групи.

**Sofia:** Тобто для групових уроків по 6 осіб з ICC 0,1 маємо DE = 1 + 5 × 0,1 = 1,5. У тест знадобиться в півтора раза більше учнів.

> **Вправа:** Зістав кожну формулу з тим, що кажуть її вільний член і нахил.

## Пряма — не пропорція

**Sofia:** Із податковою прямою частка доходу, яку платиш, лишається 6%, так? Нахил же сталий.

**Alex Tutor:** Нахил сталий, а частка — ні. **Ефективна ставка** — це податок ÷ дохід. У літньому кварталі з доходом 69 000 грн: 5 707,02 + 4 140 = 9 847,02, тобто 14,27% доходу. Що менший дохід, то більше важить фіксована частина.

**Alex Tutor:** Лише пряма через нуль, y = b·x, — це **пропорція**: подвоїш x — подвоїться y. Будь-який вільний член це ламає: у податку, у прибутку, будь-де.

**Alex Tutor:** Перевірмо ідею пропорції на податковій прямій.

> **Вправа:** Квартальний податок репетитора — 5 707,02 + 0,06·дохід грн. Якщо дохід подвоїться зі 100 000 до 200 000 грн, податок теж подвоїться.

> **Вправа:** Квартал приніс 150 000 грн доходу. За правилом податок = 5 707,02 + 0,06·дохід яка ефективна ставка податку у відсотках, із двома знаками після коми?

## Де перетинаються дві прямі

**Alex Tutor:** Часто порівнюєш два варіанти, і кожен — пряма. У курсі фінансів засновникам лишається 0,80·(X − 1 200 000) від прибутку X з кредитом і 0,70·X з інвестором. Що краще, залежить від X.

**Alex Tutor:** Прирівняй і розв'яжи: 0,80·X − 960 000 = 0,70·X, тож 0,10·X = 960 000 і X = 9 600 000. Загалом a₁ + b₁x = a₂ + b₂x дає x = (a₂ − a₁) ÷ (b₁ − b₂).

![Пряма кредиту 0,80·(X − 1 200 000) починається нижче, але зростає швидше за пряму інвестора 0,70·X; вони перетинаються при прибутку 9,6 млн грн.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m5-l1-two-lines-uk.png)

*Ліворуч від перетину виграє пологіша пряма, праворуч — крутіша.*

**Sofia:** Тобто пряма, що стартує нижче, але росте швидше, виграє лише після перетину.

> **Вправа:** Відео для уроків коштує Klasna 30 грн за урок. Власний відеоклас коштував би 120 000 грн на місяць плюс 8 грн за урок. За скількох уроків на місяць обидва варіанти коштують однаково? Округли до цілого уроку.

## Не кожна залежність — пряма

**Alex Tutor:** Дві форми схожі на прямі, але ними не є. Координатори підтримки коштують ⌈учні ÷ 400⌉ × 38 000: рівно, а потім стрибок на цілу зарплату. Це сходи, а не рампа.

![Кіт піднімається сходами сходинка за сходинкою, а поруч рівно здіймається гладка рампа.](https://productovi.com/courses/math-basics/inline/m5-l1-i1.webp)

*Ступінчаста витрата росте стрибками, змінна — рівномірно.*

**Alex Tutor:** Друга: робота на 24 людино-дні, поділена між n людьми, займає 24 ÷ n днів, але кожна додаткова людина додає день на узгодження: час = 24 ÷ n + (n − 1). Перша частина спадає, друга росте.

**Sofia:** Тож десь посередині сума найменша. Далі більше людей уже не допомагає.

> **Вправа:** Час = 24 ÷ n + (n − 1) днів. Яка кількість людей дає найкоротший час?

## Твоя черга: удвічі більше уроків

**Alex Tutor:** Leo прочитав модель прибутку й написав у чат: «Прибуток — пряма від n. Тож якщо подвоїмо уроки з 7 000 до 14 000, прибуток теж подвоїться».

**Sofia:** Пряма, так. Але не через нуль.

**Alex Tutor:** Тоді покажи йому на числах і додай ще одну причину, чому на 14 000 сама модель перестає бути правдивою.

> **Вправа:** Дай відповідь Leo, CEO Klasna, 3–4 реченнями: чи подвоїть зростання уроків із 7 000 до 14 000 прибуток за моделлю 174,48·n − 1 038 000? Наведи числа й назви одну причину, чому сама пряма може не діяти на 14 000.

## Де це знадобиться

> **У підсумку**
>
> - **Лінійна функція** — це y = a + b·x: **вільний член** a — значення при x = 0, **нахил** b — зміна на одиницю x.
> - Вона перетинає нуль при x = −a ÷ b (беззбитковість); дві прямі перетинаються при x = (a₂ − a₁) ÷ (b₁ − b₂).
> - Лише y = b·x — **пропорція**. З вільним членом **ефективна ставка** y ÷ x змінюється разом з x: фіксована частина податку важча для малого доходу.
> - Ступінчасті витрати (⌈n ÷ 400⌉ × зарплата) і «робота ÷ n + узгодження» — не прямі; у другої є мінімум.

> **Де це використовується**
>
> - [Проста лінійна регресія](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/linear-regression): ŷ = b₀ + b₁x, підібрана за даними.
> - [Моделі та прогнозування](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/models-and-forecasts): лінія тренду y = 185 + 15·тиждень.
> - [Постійні, змінні й ступінчасті витрати](/uk/courses/finance-for-product/fixed-variable-and-step-costs): сходи координаторів.
> - [Кейс: чи запускати Klasna групові уроки?](/uk/courses/finance-for-product/group-lessons-case): прибуток заняття 273n − 560.
> - [Борг чи капітал: левередж, розмивання й ризик](/uk/courses/finance-for-product/debt-vs-equity): де перетинаються прямі кредиту й інвестора.
> - [Хто потрапляє в тест: тригери й кластерна рандомізація](/uk/courses/product-analytics/who-is-in-the-test): DE = 1 + (m − 1)·ICC.
> - [Спершу податки: відкладаємо як ФОП](/uk/courses/personal-finance/taxes-first): відсоток плюс фіксований внесок.
> - [Кейс: план Dana на 12 місяців](/uk/courses/personal-finance/twelve-month-plan-case): ефективна ставка в бідних і багатих кварталах.

**Alex Tutor:** Наступного разу — сам нахил: що додає ще одна одиниця і чому це не те саме, що середнє.

- Попередній урок: [Стандартизація: z, CV, розмір ефекту і r](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/standardizing.md)
- Наступний урок: [Нахил як граничний показник](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/slope-as-a-marginal-quantity.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.