# Стандартизація: z, CV, розмір ефекту і r

> Як поставити різні шкали поруч: z-оцінки, коефіцієнт варіації, t як сигнал на шум, d Коена як ефект в одиницях SD і кореляція як коваріація, зведена до проміжку від −1 до 1.

- Курс: [Математика для статистики та юніт-економіки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics.md)
- Модуль: Квадрати, корені й відстані
- Урок 16/36, ~35 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/math-basics/standardizing

## Одна лінійка для різних шкал

**Alex Tutor:** Повертаємося до продуктової команди Klasna на останній урок модуля, а школа якраз обирає, кого нагородити.

**Sofia:** Klasna хоче обрати «репетитора семестру». Репетиторка англійської має в середньому 4,7, репетитор математики — 4,8. Перемагає математик, так?

**Alex Tutor:** Не поспішай: у різних предметах оцінюють по-різному. Репетитори англійської мають у середньому 4,5 з SD 0,1; математики — 4,6 з SD 0,25. Спитай, наскільки кожен відходить від своїх колег в одиницях їхнього розкиду.

$$
z = \frac{x - \mu}{\sigma}
$$

*x — значення; μ — середнє його групи; σ — SD групи. z рахує, на скільки SD значення вище (+) чи нижче (−) середнього. Для вибірки бери x̄ і s.*

**Alex Tutor:** Англійська: (4,7 − 4,5) ÷ 0,1 = **2,0**. Математика: (4,8 − 4,6) ÷ 0,25 = **0,8**. Репетиторка англійської на два SD вище за колег, математик — менш ніж на один. На спільній лінійці вона виділяється більше.

**Sofia:** А z = 0?

**Alex Tutor:** Рівно середнє для групи. Від'ємне z — нижче середнього: математик із 4,35 мав би (4,35 − 4,6) ÷ 0,25 = **−1,0**.

![Англійська: середнє 4,5, SD 0,1, репетиторка з 4,7 має z = 2,0. Математика: середнє 4,6, SD 0,25, репетитор із 4,8 має z = 0,8. На спільній шкалі z репетиторка англійської відходить далі.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m4-l4-z-scores-uk.png)

*z переносить кожну групу на ту саму лінійку, виміряну в SD.*

**Sofia:** А перевірка на викиди — те саме: z від 3 і більше — підозріло.

> **Вправа:** Учень набрав x = 78 балів у пробному тесті, де середнє μ = 70, а σ = 5. Яка z-оцінка?

**Alex Tutor:** Та сама лінійка, двоє учнів.

> **Вправа:** Учень A набрав 82 у тесті із середнім 75 і SD 10. Учень B набрав 68 у складнішому тесті із середнім 60 і SD 4. Хто впорався краще відносно своєї групи?

## Розкид відносно розміру

**Alex Tutor:** **Коефіцієнт варіації**, CV = s ÷ x̄, порівнює розкид між величинами різного розміру. Репетитори англійської в середньому проводять 40 уроків на тиждень із SD 8: CV = 20%. Програмування — 10 уроків, SD 4: CV = 40%.

**Sofia:** Тобто в програмування SD менше, але відносно свого розміру воно вдвічі непередбачуваніше.

**Alex Tutor:** Саме так. Бери CV лише для величин, що не бувають від'ємними, як-от уроки чи гроші. Для зміни, яка може бути від'ємною, середнє буває близьким до нуля, і CV стає безглуздо великим.

> **Вправа:** Місячні витрати на учня в середньому x̄ = 1 250 грн із SD s = 375 грн. Який коефіцієнт варіації у відсотках?

**Alex Tutor:** Де CV перестає працювати.

> **Вправа:** Коефіцієнт варіації добре показує, наскільки нестабільна тижнева зміна кількості бронювань — число, яке може бути додатним чи від'ємним.

## Сигнал на шум

**Alex Tutor:** Статистики тестів, які ти зустрінеш, теж стандартизовані. **t** = різниця ÷ її стандартна похибка: сигнал, виміряний в одиницях шуму. А **d Коена** = різниця ÷ s_p вимірює ефект в одиницях розкиду між людьми.

**Alex Tutor:** Новий формат домашніх завдань підіймає бали тесту на 6; s_p = 15. Тож d = 6 ÷ 15 = **0,4**: чотири десятих SD. На відміну від t, d не росте з вибіркою, тож він каже, наскільки великий ефект, а не наскільки надійна його оцінка.

**Alex Tutor:** Порахуй один d самостійно.

> **Вправа:** Новий формат домашніх завдань підіймає середній бал тесту на 9; об'єднане SD балів s_p = 20. Чому дорівнює d Коена?

**Sofia:** Тобто величезний тест може зробити крихітний ефект переконливим?

**Alex Tutor:** Так. За достатньої кількості користувачів t стає великим навіть для d = 0,05. Подавай обидва: чи він справжній (t) і чи він великий (d)?

**Alex Tutor:** То яке речення має бути у звіті?

> **Вправа:** Тест зі 100 000 користувачів у групі показує приріст із t ≈ 6,7 і d Коена = 0,03. Що має сказати звіт?

## Кореляція як зведена коваріація

**Alex Tutor:** Коваріація каже, чи рухаються дві метрики разом, але її розмір залежить від одиниць. Поділи на обидва SD — і отримаєш **r**, завжди від −1 до 1. Години домашньої роботи й бали тесту: cov = 24, s_x = 3, s_y = 10, тож r = 24 ÷ 30 = **0,8**.

![Три діаграми розсіювання: точки щільно ростуть (r ≈ 0,8), безформна хмара (r ≈ 0) і точки спадають (r ≈ −0,6). Силу показує |r|, знак — напрям.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m4-l4-correlation-uk.png)

*Знак показує напрям, |r| — силу.*

**Sofia:** Тобто r = −0,6 — сильніший зв'язок, ніж r = 0,4?

**Alex Tutor:** Так: порівнюй |r|, розмір без знака. Мінус лише каже, що одне спадає, коли інше росте.

> **Вправа:** Дні від останнього уроку і ймовірність забронювати наступний мають cov = −18; s_x = 4, s_y = 9. Чому дорівнює r = cov ÷ (s_x · s_y)?

> **Вправа:** Яка кореляція показує найсильніший лінійний зв'язок?

> **Вправа:** Тест A підняв середню оцінку уроку на 0,2 бала (об'єднане SD s_p = 0,5). Тест B збільшив тижневий час практики на 12 хвилин (s_p = 60 хвилин). Порахуй d Коена для кожного й одним-двома реченнями скажи, який ефект більший відносно того, наскільки люди різняться, і чому одиниці виміру на це не відповідають.

## Кейс: репетитор семестру

**Alex Tutor:** Тепер кейс модуля. Троє фіналістів, три предмети й рішення, для якого знадобляться всі інструменти модуля: z, стандартна похибка і відчуття, наскільки надійне кожне число.

**Sofia:** Спершу «сирі» середні, потім спільна лінійка.

> **Вправа:** Порадь репетитора семестру й покажи числа, на яких спирається рішення.

## Де це знадобиться

> **У підсумку**
>
> - **z** = (x − μ) ÷ σ: на скільки SD значення відходить від середнього своєї групи. Ставить різні групи на одну лінійку.
> - **CV** = s ÷ x̄: розкид як частка середнього, без одиниць.
> - **t** = різниця ÷ SE: сигнал на шум. **d Коена** = різниця ÷ s_p: розмір ефекту в одиницях SD, не залежить від розміру вибірки.
> - **r** = cov ÷ (s_x · s_y), від −1 до 1. Для сили порівнюй **|r|**; знак — це напрям.

> **Де це використовується**
>
> - [Розкид](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/spread): коефіцієнт варіації.
> - [Викиди в даних і скошені розподіли](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/outliers-and-skew): (x − x̄)/s, щоб позначити незвичні значення.
> - [Вибірка, генеральна сукупність і нормальний розподіл](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/samples-and-normal-distribution): z = (x − μ)/σ.
> - [t-критерій Стьюдента](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/t-test): t як різниця, поділена на її стандартну похибку.
> - [Коефіцієнт кореляції](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/correlation): r від −1 до 1.
> - [Кластеризація для сегментації клієнтів](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/clustering): стандартизуй ознаки, перш ніж міряти відстані.

**Alex Tutor:** Це був модуль 4. Далі — прямі й моделі. Почнемо з лінійної функції, що стоїть за лініями тренду й беззбитковістю.

- Попередній урок: [Піфагор у статистиці: відстані й похибки в квадратурі](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/pythagoras-in-statistics.md)
- Наступний урок: [Лінійна функція](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/the-linear-function.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.