# Квадратні корені і √n: SD і стандартна похибка

> Стандартне відхилення як √s², стандартна похибка s/√n і чому вчетверо більше даних зменшує її вдвічі, похибка частки, мінімальний помітний ефект, парний t і поправка на скінченну сукупність.

- Курс: [Математика для статистики та юніт-економіки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics.md)
- Модуль: Квадрати, корені й відстані
- Урок 14/36, ~25 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/math-basics/square-roots-and-root-n

## Назад до початкових одиниць

**Alex Tutor:** Знову в Klasna з даними учнів із минулого уроку: дисперсію пораховано, але для звіту вона ще не готова.

**Sofia:** Минулого разу дисперсія вийшла 14,5 «уроку в квадраті». Ніхто не мислить уроками в квадраті. Що подавати у звіті?

**Alex Tutor:** Добудь квадратний корінь: s = √14,5 ≈ **3,81 уроку**. Це **стандартне відхилення**, знову в початкових одиницях. Уяви дисперсію як площу квадрата, а SD — його сторону.

![Квадрат площею 14,5 уроку в квадраті має сторону √14,5 ≈ 3,81 уроку: стандартне відхилення — сторона квадрата дисперсії.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m4-l2-area-side-uk.png)

*Квадратний корінь перетворює площу назад на довжину.*

**Alex Tutor:** Читай SD як типову відстань учня від середнього 8: більшість учнів — у межах кількох уроків від нього, приблизно 4 в обидва боки.

**Sofia:** Тобто список можна описати як 8 ± 3,81 уроку?

**Alex Tutor:** Як опис — так: середнє ± SD. Тільки не плутай це з довірчим інтервалом, де стоїть інше число — стандартна похибка. Про неї далі.

> **Вправа:** Вибірка тижневої кількості уроків має дисперсію s² = 20,25. Чому дорівнює стандартне відхилення s?

**Alex Tutor:** Перш ніж іти далі, перевірмо одне твердження.

> **Вправа:** Звіт описує п'ятьох учнів як «8 ± 3,81 уроку» (середнє ± SD). Цей діапазон — довірчий інтервал для справжньої середньої кількості уроків.

## Стандартна похибка і √n

**Alex Tutor:** Тепер інше питання: не наскільки різняться учні, а наскільки коливалося б **середнє** вибірки, якби взяти іншу вибірку. Це **стандартна похибка**: SE = s ÷ √n.

**Sofia:** Чому √n, а не просто n?

**Alex Tutor:** Бо випадкові похибки частково компенсуються: одні учні вище середнього, інші нижче. Ця компенсація росте як √n, а не як n. Якщо s = 3,81 і n = 5, SE = 3,81 ÷ 2,24 ≈ 1,70. Якщо n = 20, SE ≈ 0,85.

**Alex Tutor:** Тож учетверо більше даних лише **вдвічі** зменшує похибку, бо √4 = 2. Щоб зменшити похибку вдесятеро, потрібно всоте більше даних.

**Sofia:** Тобто перша сотня користувачів дає багато, а кожна наступна партія — менше.

**Alex Tutor:** Саме так. Від 100 до 400 користувачів похибка зменшується вдвічі; від 400 до 1 600 — ще вдвічі, але вчетверо дорожче.

![Стандартна похибка падає як 1/√n: при s = 10 вона 1,0 при n = 100, 0,5 при n = 400 і 0,25 при n = 1 600; кожне збільшення n учетверо зменшує її вдвічі.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m4-l2-root-n-uk.png)

*Більше даних допомагає, але щораз менше.*

> **Вправа:** Оцінки уроків мають стандартне відхилення s = 12 балів, і ти усереднюєш n = 36 оцінок. Чому дорівнює стандартна похибка середнього, s ÷ √n?

> **Вправа:** Стандартна похибка тесту завелика. У скільки разів більше даних потрібно, щоб зменшити її вдвічі?

## Частки й розміри тестів

**Alex Tutor:** Для частки окремого s немає: розкид випливає з самого p. SE_p = √(p(1 − p) ÷ n). Якщо p = 5%, а n = 1 900: √(0,0475 ÷ 1 900) = √0,000025 = **0,005**, тобто 0,5 в. п.

**Sofia:** Це формула розміру вибірки з модуля 2, тільки навпаки.

**Alex Tutor:** Так. А найменший ефект, який тест може надійно помітити, — **MDE** — становить приблизно 2,8 стандартної похибки (чому — покаже модуль 7). Тож правило те саме: з 2 000 користувачів у групі видно 2 в. п.; щоб побачити 1 в. п., потрібно 8 000.

> **Вправа:** Конверсію p = 0,20 виміряно на n = 400 користувачах. Чому дорівнює її стандартна похибка SE_p = √(p(1 − p) ÷ n) у відсоткових пунктах?

**Alex Tutor:** А тепер MDE в числах.

> **Вправа:** Стандартна похибка різниці між двома групами тесту — 0,7 в. п. За правилом MDE ≈ 2,8 × SE, який приблизно найменший приріст тест може надійно помітити, у відсоткових пунктах?

## Парні тести й малі сукупності

**Alex Tutor:** Парний тест застосовує ту саму ідею до різниць. 16 репетиторів оцінили до й після навчання; середня зміна d̄ = 0,3 бала, s_d = 0,4. SE = 0,4 ÷ √16 = 0,1, тож t = d̄ ÷ SE = **3**: зміна на три стандартні похибки від нуля.

**Alex Tutor:** Ще одна поправка: якщо вибірка — велика частина малої сукупності, SE зменшується. Якщо опитати 400 із 1 120 учнів Klasna, помнож на √((N − n) ÷ (N − 1)) = √(720 ÷ 1 119) ≈ 0,80.

**Sofia:** А якщо опитати 400 з мільйона, множник майже 1.

> **Вправа:** 36 учнів написали тест до й після курсу. Середнє покращення d̄ = 0,5 бала, s_d = 1,2. Чому дорівнює парний t = d̄ ÷ (s_d ÷ √n)?

**Alex Tutor:** Тепер поправочний множник у числах.

> **Вправа:** Klasna опитує 500 із 1 000 батьків, які продовжили навчання цього семестру. Чому дорівнює поправка на скінченну сукупність √((N − n) ÷ (N − 1))? Дай два знаки після коми.

## Твоя черга: ціна меншого ефекту

**Alex Tutor:** Leo питає: «Тест на 2 000 користувачів у групі помічає приріст на 2 в. п. Подвоймо до 4 000 — і помічатимемо 1 в. п.». Дай йому відповідь.

> **Вправа:** Leo, CEO Klasna, каже: «З 2 000 користувачів у групі тест помічає приріст 2 в. п. Якщо подвоїти до 4 000 у групі, він помічатиме 1 в. п.». Чи правий він? Назви правильну кількість користувачів у групі для 1 в. п. і що насправді помітить тест на 4 000 у групі, і поясни чому одним реченням.

## Де це знадобиться

> **У підсумку**
>
> - **SD** s = √s²: сторона квадрата дисперсії, знову в початкових одиницях.
> - **SE** = s ÷ √n: наскільки коливалося б середнє вибірки. Учетверо більше даних зменшує її вдвічі; усоте більше — удесятеро.
> - Для частки **SE_p** = √(p(1 − p) ÷ n). **MDE** пропорційний SE, тож щоб зменшити його вдвічі, потрібно вчетверо більше користувачів.
> - **Парний t** = d̄ ÷ (s_d ÷ √n). Велика вибірка з малої сукупності: помнож SE на **√((N − n) ÷ (N − 1))**.

> **Де це використовується**
>
> - [Розкид](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/spread): s як квадратний корінь із дисперсії.
> - [Вибірка, генеральна сукупність і нормальний розподіл](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/samples-and-normal-distribution): SE = s/√n.
> - [Довірчий інтервал](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/confidence-intervals): SE і SE_p усередині інтервалу.
> - [Парний t-тест](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/paired-tests): t = d̄ / (s_d/√n).
> - [Наскільки великий і наскільки довгий](/uk/courses/product-analytics/test-size): менший ефект потребує набагато більше користувачів.

**Alex Tutor:** Наступного разу — Піфагор у статистиці: похибки й відстані додаються як квадрати.

- Попередній урок: [Навіщо квадрат: дисперсія, суми квадратів і n − 1](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/why-we-square.md)
- Наступний урок: [Піфагор у статистиці: відстані й похибки в квадратурі](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/pythagoras-in-statistics.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.