# Розкладаємо загальну суму

> Як розкласти загальну суму на частини, що точно складаються: суми квадратів і R², план проти факту як обсяг + мікс + ціна, а зміна заощаджень — як внески + зростання.

- Курс: [Математика для статистики та юніт-економіки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics.md)
- Модуль: Прямі й моделі
- Урок 20/36, ~35 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/math-basics/splitting-a-total

## Частини, що складаються

**Alex Tutor:** Повертаємося до Klasna: місяць закрився з маржинальним доходом на 16 000 грн більшим за план. Leo ставить очевидне питання: чому? Сьогоднішній інструмент відповідає на нього, розкладаючи загальну суму на частини, які складаються **точно**.

**Sofia:** Точно — бо тоді кожна частина отримує свою частку загальної суми й нічого не лишається непоясненим?

**Alex Tutor:** Так. Статистика спершу робить це з розкидом. Шість учнів узяли за місяць 4, 6, 8, 10, 12 і 14 уроків: перші троє вчать англійську, інші троє — математику до іспитів. Середнє — 9.

**Alex Tutor:** **Загальна сума квадратів** — це Σ(x − 9)² = 25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25 = 70. Вона розкладається на дві частини: наскільки середні груп віддалені від 9 і наскільки учні віддалені від середнього своєї групи.

$$
SS_{total} = SS_{between} + SS_{within} \qquad R^2 = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{total}}
$$

*SS — сума квадратів. SS_res — частина, яку модель лишає непоясненою (тут — усередині груп). R² — частка загального розкиду, яку пояснює модель.*

**Sofia:** Середні груп — 6 і 12. Між групами: 3 × 9 + 3 × 9 = 54. Усередині: 4 + 0 + 4 + 4 + 0 + 4 = 16. І 54 + 16 = 70.

**Alex Tutor:** Отже, предмет пояснює 54 із 70, а R² = 1 − 16 ÷ 70 ≈ 0,77. R² регресії — та сама ідея: частка розкиду, яку пояснює пряма.

![Шість учнів беруть від 4 до 14 уроків; загальна сума квадратів 70 розкладається на 54 між групами англійської й математики і 16 усередині них, тож R² ≈ 0,77.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m5-l4-sum-of-squares-uk.png)

*Ті самі 70, розкладені за тим, звідки береться відстань.*

**Alex Tutor:** Спершу перевірмо правило розкладу на інших числах.

> **Вправа:** Дані, поділені на групи, мають загальну суму квадратів 90, а частина між групами — 65. Тоді частина всередині груп — 25.

> **Вправа:** Регресія тижневих реєстрацій на рекламні витрати має SS_total = 120 і лишає непоясненими SS_res = 30. Чому дорівнює R²?

**Alex Tutor:** І перевірмо одне поширене хибне прочитання R².

> **Вправа:** Модель тижневих реєстрацій має R² = 0,77. Отже, прогноз кожного тижня точний у межах 23%.

## План проти факту: обсяг і ставка

**Alex Tutor:** Тепер місяць Leo. План: 8 000 уроків по 180 грн маржинального доходу, разом 1 440 000. Факт: 8 400 уроків у середньому по 173,33, разом 1 456 000.

**Alex Tutor:** Змінилися дві речі: скільки уроків і скільки заробив кожен. **Ефект обсягу** оцінює додаткові уроки за плановою ставкою: (8 400 − 8 000) × 180 = +72 000.

**Sofia:** А решта — **ефект ставки**: фактичні уроки помножити на зміну на урок, 8 400 × (173,33 − 180) ≈ −56 000. І 72 000 − 56 000 = 16 000.

**Alex Tutor:** Зверни увагу на домовленість: обсяг — за плановою ставкою, ставка — за фактичним обсягом. Саме така пара дає частини, які складаються без залишку.

> **Вправа:** Інший місяць: план — 8 000 уроків по 180 грн маржинального доходу; факт — 8 600 уроків. Який ефект обсягу, у гривнях?

**Alex Tutor:** Тепер друга половина відхилення для того місяця.

> **Вправа:** План: 8 000 уроків по 180 грн маржинального доходу. Факт: 8 600 уроків у середньому по 175 грн. Який ефект ставки, фактичні уроки × (фактична ставка − планова), у гривнях?

## Усередині ставки: мікс і ціна

**Sofia:** Але чому кожен урок заробив менше? Жодна ціна так сильно не падала.

**Alex Tutor:** Розклади за предметами. У плані було 6 000 уроків англійської по 190 і 2 000 математики по 150. Факт: 5 600 англійської і 2 800 математики. Більше предмета з тоншою маржею.

**Alex Tutor:** **Ефект міксу** оцінює фактичні уроки за плановою ставкою кожного предмета й віднімає ті самі уроки за плановим середнім: 5 600 × 190 + 2 800 × 150 − 8 400 × 180 = 1 484 000 − 1 512 000 = −28 000.

**Alex Tutor:** **Ефект ціни** — те, що лишилося: англійська заробила 185 замість 190 після акції, тож 5 600 × (185 − 190) = −28 000. Ефекти курсу працюють так само — через доларову вартість уроку.

![Плановий маржинальний дохід 1 440 000 грн зростає на 72 000 через обсяг, падає на 28 000 через мікс і на 28 000 через ціну й доходить до фактичних 1 456 000.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m5-l4-plan-vs-actual-uk.png)

*Кожен стовпчик — одна причина; разом вони з'єднують план і факт.*

> **Вправа:** Klasna продала рівно стільки уроків, скільки планувала, за плановими цінами, але більше математики й менше англійської, ніж у плані. Який ефект ненульовий?

**Alex Tutor:** Порахуймо ефект міксу самостійно — для місяця, де зсув у протилежний бік.

> **Вправа:** План: 6 000 уроків англійської по 190 грн маржинального доходу і 2 000 математики по 150 (8 000 уроків, середнє 180). Факт: 6 300 англійської і 1 700 математики, кожен предмет за плановою ставкою. Який ефект міксу, у гривнях?

## Та сама ідея вдома

**Alex Tutor:** В особистих фінансах зміну заощаджень розкладають так само. Заощадження за рік зросли з 200 000 до 236 000. Скільки з цього — нові гроші, а скільки — зростання?

**Sofia:** Якщо за рік додано 30 000 нових грошей, зростання — 36 000 − 30 000 = 6 000. Здебільшого прогрес дали внески, а не ринок.

**Alex Tutor:** Так, і це тримає в тонусі: вдалий рік на ринку і вдалий рік заощаджень на загальній сумі виглядають однаково.

![Кіт розкладає велику купку корму в три охайні миски різного розміру, які разом уміщують усю купку.](https://productovi.com/courses/math-basics/inline/m5-l4-i1.webp)

*Розклади ціле на частини, які разом знову дають ціле.*

> **Вправа:** Заощадження за рік зросли з 200 000 до 236 000 грн, і за рік додано 30 000 нових грошей. Скільки становило зростання, у гривнях?

## Твоя черга: чому кожен урок заробив менше

**Alex Tutor:** У Hanna питання про місяць зовсім без акцій: планове середнє було 180 на урок, фактичне — 176,67, і жодна ціна не змінилася. Leo підозрює помилку в цінах.

**Sofia:** 5 600 англійської по 190 і 2 800 математики по 150 дають 1 484 000 на 8 400 уроків. Це 176,67.

**Alex Tutor:** Поясни це Leo, щоб він перестав шукати помилку в цінах.

> **Вправа:** Поясни Leo, CEO Klasna, 3–4 реченнями, чому середній маржинальний дохід на урок упав зі 180 до 176,67 грн, хоча жодна ціна не змінилася. План: 6 000 англійської по 190 і 2 000 математики по 150; факт: 5 600 англійської і 2 800 математики.

## Кейс: листопад проти плану

**Alex Tutor:** Остання справа цього модуля. Листопад закрився, і Hanna хоче пояснення відхилення до місячного огляду — у тих самих трьох частинах.

**Sofia:** Обсяг — за плановим середнім, мікс — за плановими ставками, ціна — за фактичними уроками. Потім перевірити, що все складається.

**Alex Tutor:** А потім сказати, що кожне число означає для школи. Числа без пояснення — це лише пів записки.

> **Вправа:** Розклади відхилення факту від плану на обсяг, мікс і ціну та напиши Hanna, фінансовій директорці Klasna, коротку записку.

## Де це знадобиться

> **У підсумку**
>
> - Добрий **розклад** ділить загальну суму на частини, що складаються точно, тож кожна частина має зрозумілу частку.
> - **SS_total = SS_between + SS_within**; **R² = 1 − SS_res ÷ SS_total** — частка розкиду, яку пояснює модель.
> - План проти факту: **обсяг** = (L_факт − L_план) × планове середнє; **мікс** = фактичні уроки за плановими ставками − L_факт × планове середнє; **ціна** = фактичні уроки × (фактична − планова ставка). Разом вони дають відхилення.
> - Зміна заощаджень = **внески + зростання**.

> **Де це використовується**
>
> - [Дисперсійний аналіз (ANOVA): порівняння багатьох груп](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/anova): SS_between проти SS_within.
> - [ANOVA з повторними вимірюваннями](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/repeated-measures): SS_total = SS_subjects + SS_time + SS_error.
> - [Проста лінійна регресія](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/linear-regression): R² = 1 − SS_res ÷ SS_tot.
> - [Кейс: план проти факту](/uk/courses/finance-for-product/plan-vs-actual-case): обсяг, мікс, ціна й курс для реального місяця.
> - [Кейс: фінансовий план на одну сторінку й щорічний перегляд](/uk/courses/personal-finance/money-plan-case): що змінило чисту вартість за рік.

**Alex Tutor:** На цьому модуль про прямі й моделі завершено. Далі — зростання й час, і почнемо з того, чому −50%, а потім +50% не повертають тебе назад.

- Попередній урок: [Кілька змінних](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/several-variables.md)
- Наступний урок: [Складні відсотки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/compounding.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.