# Нахил як граничний показник

> Що додає ще одна одиниця: граничний і середній CAC та витрати, операційний левередж як 1 ÷ запас міцності і цінова еластичність як відношення відносних змін.

- Курс: [Математика для статистики та юніт-економіки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics.md)
- Модуль: Прямі й моделі
- Урок 18/36, ~28 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/math-basics/slope-as-a-marginal-quantity

## Наступний крок, а не вся дорога

**Alex Tutor:** Повертаємося до продуктової команди Klasna: маркетинг перевірив соцмережі на чотирьох бюджетах. 50 000 грн на місяць привели 25 нових родин, 100 000 — 40, 150 000 — 50, а 200 000 — 55.

**Sofia:** За 200 000 це 200 000 ÷ 55 ≈ 3 636 грн за родину. Дешевше, ніж здавалося.

**Alex Tutor:** Це **середній** CAC: усі витрати ÷ усі залучені. А тепер спитай, що купили **останні** 50 000: 55 − 50 = 5 родин. Тобто 50 000 ÷ 5 = 10 000 за родину.

$$
\text{marginal} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \qquad \text{CAC}_{marginal} = \frac{\Delta \text{spend}}{\Delta \text{customers}}
$$

*Δ (дельта) означає «зміна». Граничний показник порівнює дві сусідні точки, а середній ділить загальну суму на загальну кількість.*

**Alex Tutor:** Це **граничний** CAC: нахил між двома сусідніми точками, тільки перевернутий. На прямій через нуль обидва однакові. На кривій, що вирівнюється, граничний дедалі більше відривається від середнього.

![Кількість залучених родин вирівнюється зі зростанням витрат; за 200 000 грн середня ціна — 3 636 за родину, але останні 50 000 купили лише 5 родин, по 10 000.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m5-l2-average-vs-marginal-uk.png)

*Середнє — нахил від нуля; граничне — нахил останнього кроку.*

**Alex Tutor:** Спершу швидка перевірка того, що приховує середнє.

> **Вправа:** Соцмережі Klasna привели 50 нових родин за 150 000 грн на місяць і 55 — за 200 000, тобто середній CAC за 200 000 — близько 3 636 грн. Отже, родини, яких купили останні 50 000, теж коштували близько 3 636 кожна.

> **Вправа:** Соцмережі Klasna привели 40 нових родин за 100 000 грн на місяць і 50 — за 150 000. Який граничний CAC переходу зі 100 000 до 150 000, у гривнях за родину?

**Alex Tutor:** А тепер питання, яке справді ставить власник бюджету. Припустімо, нова родина лишає Klasna 6 000 грн маржинального доходу за весь час навчання.

**Sofia:** Тоді порівнюю 6 000 з тим, скільки коштує родина. Але яку ціну брати: середню чи граничну?

**Alex Tutor:** Спитай, що змінює рішення. Перехід зі 150 000 до 200 000 не зачіпає перших 150 000 — він лише додає останній крок.

**Sofia:** Тобто лише родини, яких приводить цей крок, і лише гроші, яких він коштує.

> **Вправа:** Нова родина приносить Klasna 6 000 грн маржинального доходу. Канал витрачає 150 000 на місяць і приводить 50 родин; за 200 000 привів би 55. Чи варто збільшити бюджет до 200 000?

## Граничні й середні витрати

**Alex Tutor:** Той самий поділ працює і з витратами. Пам'ятаєш власний відеоклас з минулого уроку: 120 000 грн на місяць плюс 8 за урок.

**Sofia:** Кожен додатковий урок коштує 8: це нахил, граничні витрати. Середні — це загальні ÷ уроки, тобто 120 000 ÷ n + 8.

**Alex Tutor:** Так. Середні падають з обсягом, бо постійна частина розмазується тонше, а граничні лишаються 8. А ступінчаста витрата все перевертає: 1 201-й учень приводить цілого нового координатора — 38 000 грн на межі.

**Sofia:** Тож для питання «чи брати ще одного» вирішує граничне число. Середнє — для «як ми впоралися загалом».

> **Вправа:** Власний відеоклас коштує 120 000 грн на місяць плюс 8 грн за урок. Які середні витрати на урок за 6 000 уроків на місяць?

**Alex Tutor:** Тепер ступінчаста витрата, про яку щойно йшлося, — на межі.

> **Вправа:** Координатори підтримки коштують ⌈учні ÷ 400⌉ × 38 000 грн на місяць. За 1 200 учнів це 3 × 38 000 = 114 000 грн, у середньому 95 грн на учня. Скільки витрат на координаторів додає учень номер 1 201?

## Операційний левередж: нахил у відсотках

**Alex Tutor:** Іноді порівнюємо відносні зміни. **Операційний левередж** питає: якщо уроки зростуть на 1%, на скільки відсотків зросте прибуток? У березні він становив 4,15: +10% уроків дали приблизно +41% прибутку.

$$
DOL = \frac{\%\Delta \text{profit}}{\%\Delta \text{volume}} = \frac{\text{contribution}}{\text{profit}} \approx \frac{1}{MoS}
$$

*DOL — ступінь операційного левериджу; MoS — запас міцності, (факт − беззбитковість) ÷ факт.*

**Sofia:** І 1 ÷ 0,2411 ≈ 4,15 — знову запас міцності. Що ближче до беззбитковості, то сильніші коливання.

**Alex Tutor:** Так. Якщо до беззбитковості лише 10%, DOL ≈ 10: падіння уроків на 5% з'їдає половину прибутку.

> **Вправа:** Місяць на 20% вище беззбитковості (запас міцності = 0,20). Приблизно на скільки відсотків зросте прибуток, якщо уроки зростуть на 10%?

## Цінова еластичність

**Alex Tutor:** Те саме відношення відносних змін показує, як покупці реагують на ціну. **Цінова еластичність** = %ΔQ ÷ %ΔP. У курсі фінансів знижка 10% дала на 30% більше пакетів: +30% ÷ −10% = −3.

**Sofia:** Мінус, бо ціна й кількість рухаються в різні боки. А |−3| > 1 означає, що покупці реагують сильно?

**Alex Tutor:** Так, попит **еластичний**, тож виручка зросла: 0,9 × 1,3 = 1,17, тобто +17%. Але маржинальний дохід упав на 12,6%, бо знижка вийшла з тонкої маржі. Еластичність каже про виручку, а для прибутку потрібна ще й маржа.

![Знижка 10% дала на 30% більше пакетів — еластичність −3; виручка зросла на 17%, а маржинальний дохід упав на 12,6%.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m5-l2-elasticity-uk.png)

*Еластичний попит збільшує виручку, але прибуток може й зменшитися.*

> **Вправа:** Klasna піднімає ціну пакета на 5%, і продажі цього пакета падають на 4%. Яка цінова еластичність?

**Alex Tutor:** А що еластичність означає для виручки? Спробуймо підвищення ціни.

> **Вправа:** Klasna піднімає ціну пакета на 10%, і продажі цього пакета падають на 15%. На скільки відсотків змінюється виручка від пакета? Дай один знак після коми, зі знаком мінус для падіння.

## Твоя черга: наступні 50 000

**Alex Tutor:** Leo побачив таблицю каналу й написав: «За 200 000 родина коштує 3 636, а приносить 6 000. Ідемо одразу на 200 000».

**Sofia:** Він дивиться на середнє, а дорогий саме останній крок.

**Alex Tutor:** Тоді запропонуй йому правильний бюджет і покажи числа за ним, крок за кроком.

> **Вправа:** Дай відповідь Leo, CEO Klasna, 3–5 реченнями. Канал: 50 000 → 25 родин, 100 000 → 40, 150 000 → 50, 200 000 → 55; родина приносить 6 000 грн. Який бюджет ти обереш і чому? Використай граничний CAC.

## Де це знадобиться

> **У підсумку**
>
> - **Граничний** показник — це Δy ÷ Δx між двома сусідніми точками; **середній** — загальне ÷ загальне. Вони збігаються лише на прямій через нуль.
> - **Граничний CAC** = Δвитрати ÷ Δклієнти. Купуй наступний крок, поки його граничний CAC нижчий за цінність клієнта.
> - З постійними витратами **середні витрати** падають з обсягом, а **граничні** лишаються рівними нахилу; ступінчаста витрата робить одну одиницю дуже дорогою.
> - **Операційний левередж** = %Δприбутку ÷ %Δобсягу ≈ 1 ÷ запас міцності. **Цінова еластичність** = %ΔQ ÷ %ΔP; |e| > 1 — еластичний попит.

> **Де це використовується**
>
> - [Беззбитковість і запас міцності](/uk/courses/finance-for-product/break-even): операційний левередж 4,15 і 1 ÷ MoS.
> - [Ціна проти обсягу: скільки клієнтів можна втратити на знижці?](/uk/courses/finance-for-product/price-vs-volume): +30% пакетів за −10% ціни.
> - [Кейс: подвоїти маркетинг перед іспитами?](/uk/courses/finance-for-product/marketing-budget-case): граничний CAC других 300 000.
> - [Канали й атрибуція в маркетингу](/uk/courses/product-analytics/channels): граничний CAC кожного каналу проти цінності його користувачів.
> - [Рекомендації і спільнота](/uk/courses/bootstrapped-product/referrals-and-community): вартість додаткового клієнта, а не клієнта взагалі.

**Alex Tutor:** Наступного разу — формули з кількома входами одночасно і як знайти, який вхід важить найбільше.

- Попередній урок: [Лінійна функція](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/the-linear-function.md)
- Наступний урок: [Кілька змінних](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/several-variables.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.