# Кілька змінних

> Формули з кількома входами: ŷ = b₀ + Σ bⱼxⱼ, змінні 0/1 і взаємодії, прогноз від драйверів, чутливість ±10% і сценарії.

- Курс: [Математика для статистики та юніт-економіки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics.md)
- Модуль: Прямі й моделі
- Урок 19/36, ~28 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/math-basics/several-variables

## Один вихід, кілька входів

**Alex Tutor:** Ти й далі в продуктовій команді Klasna. Маркетинг побудував модель нових родин на місяць: ŷ = 40 + 0,15·витрати + 25·іспит. Витрати — у тисячах гривень; іспит дорівнює 1 у місяці іспитів і 0 в інші.

**Sofia:** Це як пряма з минулого уроку, тільки з двома x. Що означає кожне число?

$$
\hat{y} = b_0 + b_1 x_1 + b_2 x_2 + \dots + b_k x_k = b_0 + \sum_{j=1}^{k} b_j x_j
$$

*ŷ (ігрек із дашком) — прогноз моделі; b₀ — значення, коли всі x дорівнюють 0; bⱼ — на скільки змінюється ŷ, коли xⱼ зростає на 1, а інші x лишаються тими самими.*

**Alex Tutor:** b₀ = 40 — це старт. Кожен коефіцієнт — нахил для свого входу **за незмінних інших**: ще тисяча гривень витрат додає 0,15 родини, хоч би який був місяць.

**Alex Tutor:** Іспит — це **змінна 0/1**: вона або ввімкнена, або вимкнена. Коли вона 1, додає 25 родин за тих самих витрат. Коли 0, її доданок зникає.

**Alex Tutor:** Перш ніж щось рахувати, прочитаймо один коефіцієнт.

> **Вправа:** Модель Klasna для нових родин на місяць: ŷ = 40 + 0,15·витрати + 25·іспит, де витрати — у тисячах гривень, а іспит = 1 у місяці іспитів і 0 в інші. Що означає 0,15?

> **Вправа:** За моделлю ŷ = 40 + 0,15·витрати + 25·іспит скільки нових родин прогнозується в місяць іспитів із витратами 120 тис. грн?

**Sofia:** А 40 означає 40 родин зовсім без витрат, поза сезоном іспитів?

**Alex Tutor:** Так це читається, але обережно: у кожному місяці в даних були якісь витрати, тож нуль — поза тим, що модель бачила. Часто b₀ просто закріплює пряму.

**Sofia:** А 0,15 звучить як дуже малий коефіцієнт.

**Alex Tutor:** Він на тисячу гривень: ще 100 тисяч приводять 15 родин. Завжди читай коефіцієнт разом з одиницею його входу.

> **Вправа:** Що означає 25 у моделі ŷ = 40 + 0,15·витрати + 25·іспит?

## Коли два входи діють разом

**Sofia:** Але в сезон іспитів батьки сильніше реагують на рекламу, хіба ні? Та сама тисяча мала б приводити більше родин у квітні.

**Alex Tutor:** Тоді моделі потрібна **взаємодія**: доданок, що перемножує два входи, + 0,10·витрати·іспит. В інші місяці він нульовий. У місяці іспитів кожна тисяча приводить 0,15 + 0,10 = 0,25 родини.

**Alex Tutor:** Без неї дві прямі паралельні: місяці іспитів просто на 25 вищі. З нею пряма іспитів крутіша, і розрив росте з витратами.

![Без взаємодії пряма місяців іспитів на 25 родин вища за іншу за будь-яких витрат; із взаємодією вона крутіша, і розрив зростає з 25 до 45 на 200 тис.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m5-l3-dummy-interaction-uk.png)

*Змінна 0/1 зсуває пряму, а взаємодія ще й нахиляє її.*

**Sofia:** Тож у моделі із взаємодіями в «ефекту витрат» немає однієї відповіді. Він залежить від місяця.

> **Вправа:** Тепер модель ŷ = 40 + 0,15·витрати + 25·іспит + 0,10·витрати·іспит. Що вона прогнозує для місяця іспитів із витратами 200 тис. грн?

## Прогноз із драйверів

**Alex Tutor:** Фінанси використовують ту саму ідею для грошей. **Прогноз від драйверів** для операційного прибутку місяця перемножує те, що його спричиняє:

$$
OP = L \cdot (0.975\,P - T - V \cdot FX) - F
$$

*L — уроки; P — ціна; 0,975 — те, що лишається після комісії 2,5%; T — виплата репетитору; V — відео й ШІ на урок у доларах; FX — курс долара; F — постійні витрати.*

**Sofia:** Спершу дужки: 0,975 × 650 − 415 − 0,75 × 42 = 633,75 − 415 − 31,50 = 187,25 за урок. Потім помножити на уроки й відняти постійні витрати.

**Alex Tutor:** Порахуймо дужки для іншого уроку, перш ніж переходити до місяця.

> **Вправа:** У формулі OP = L · (0,975·P − T − V·FX) − F візьмімо преміум-урок із ціною P = 700 грн, виплатою репетитору T = 430 грн, відео й ШІ V = 0,75 долара і курсом FX = 42. Який маржинальний дохід на урок, тобто значення дужок, у гривнях?

**Alex Tutor:** А саме L — це учні × уроки на учня. У жовтні це 1 010 × 6,5 = 6 565 уроків; з 1 062 000 постійних витрат місяць лишає 167 296,25 грн.

> **Вправа:** У місяці 1 000 учнів, кожен бере 6,5 уроку, маржинальний дохід — 187,25 грн за урок, постійні витрати — 1 062 000 грн. Який операційний прибуток, у гривнях?

## Який вхід важить найбільше?

**Alex Tutor:** Щоб це з'ясувати, проведи тест **чутливості**: зміни один драйвер на 10%, решту залиш, і запиши, наскільки зрушився прибуток. Потім упорядкуй.

**Sofia:** Ціна +10% — це на 65 більше, 63,375 після комісії, помножити на 6 565: приблизно +416 057. Це більш ніж удвічі більше за весь прибуток місяця.

**Alex Tutor:** Бо ціна зачіпає кожен урок, а маржа тонка: з 650 лишається 187,25. Курс долара +10% коштує лише 3,15 на урок, приблизно −20 680.

![Жовтневий прибуток 167 296 грн змінюється на +416 057 при ціні +10%, −272 448 при виплаті +10%, +122 930 при +10% уроків, −106 200 при постійних витратах +10% і −20 680 при курсі долара +10%.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m5-l3-tornado-uk.png)

*По одному драйверу, той самий крок 10%, упорядковано за впливом.*

**Alex Tutor:** **Сценарії** інші: вони рухають кілька драйверів разом в одну узгоджену історію, наприклад слабкий рік із меншою кількістю учнів і нижчою ціною. Чутливість каже, куди дивитися; сценарії — що може статися.

> **Вправа:** Упорядкуй драйвери жовтня від найбільшого до найменшого впливу на прибуток, коли кожен змінюється на 10%.

**Alex Tutor:** Ще одне розрізнення перед твоїм завданням.

> **Вправа:** Що з цього — сценарій, а не тест чутливості?

## Твоя черга: на що витратити тиждень

**Alex Tutor:** Leo хоче точніший прогноз і пропонує: «Давайте наступного тижня якнайточніше спрогнозуємо курс долара».

**Sofia:** А торнадо каже, що долар — найменша смуга.

**Alex Tutor:** Тоді скажи йому, на що краще витратити тиждень, і наведи числа.

> **Вправа:** Дай відповідь Leo, CEO Klasna, 3–4 реченнями: чи варто витратити тиждень на прогноз курсу долара? Прибуток жовтня — 167 296 грн, а зміна на 10% зсуває його приблизно на 416 057 для ціни, 272 448 для виплати викладачам, 122 930 для кількості уроків, 106 200 для постійних витрат і 20 680 для курсу долара. Використай ці числа і скажи, які драйвери варті цієї роботи.

## Де це знадобиться

> **У підсумку**
>
> - **ŷ = b₀ + Σ bⱼxⱼ**: b₀ — значення, коли всі x дорівнюють 0; кожен bⱼ — зміна ŷ на +1 у xⱼ за незмінних інших входів.
> - **Змінна 0/1**, коли дорівнює 1, зсуває прогноз на свій коефіцієнт. **Взаємодія** (b·x₁·x₂) змінює нахил одного входу залежно від іншого.
> - **Прогноз від драйверів**: OP = L · (0,975P − T − V·FX) − F, де L = учні × уроки на учня.
> - **Чутливість**: зміни один драйвер на той самий крок (±10%), решту залиш, упорядкуй за зміною результату. **Сценарії** рухають кілька драйверів разом.

> **Де це використовується**
>
> - [Множинна лінійна регресія](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/multiple-regression): ŷ = b₀ + b₁x₁ + … + bₖxₖ, коефіцієнт за коефіцієнтом.
> - [Двофакторний дисперсійний аналіз і взаємодії](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/multifactor-anova): коли ефект одного чинника залежить від іншого.
> - [Прогноз від драйверів](/uk/courses/finance-for-product/driver-based-forecast): цілий рік, побудований із драйверів.
> - [Сценарії й чутливість](/uk/courses/finance-for-product/scenarios-and-sensitivity): кожен драйвер, змінений на 10%, поруч з іншими.

**Alex Tutor:** Наступного разу — як розкласти загальну суму на частини: від сум квадратів до плану проти факту.

- Попередній урок: [Нахил як граничний показник](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/slope-as-a-marginal-quantity.md)
- Наступний урок: [Розкладаємо загальну суму](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/splitting-a-total.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.