# Перетворення формули: знайди те, що потрібно

> Робіть те саме з обома частинами й скасовуйте дії у зворотному порядку: беззбитковість Q = F/c, запас ходу, вільний член регресії, розмір вибірки, дріб у знаменнику і чому «накрутка» ділить на (1 − f).

- Курс: [Математика для статистики та юніт-економіки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics.md)
- Модуль: Мова формул
- Урок 7/36, ~25 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/math-basics/rearranging-a-formula

## Та сама формула, інше питання

**Alex Tutor:** Повертаємося до продуктової команди Klasna: формула з курсу фінансів викликала слушне запитання.

**Sofia:** У курсі фінансів беззбитковість записано як Q = F/c, а мені спершу пояснювали її як прибуток = c·Q − F. Це дві різні формули?

**Alex Tutor:** Одна формула, якій ставлять два питання. Друга відповідає «який прибуток за такого обсягу?», перша — «який обсяг дає нульовий прибуток?». Перетворити одну на іншу — це і є **перетворення формули**.

**Alex Tutor:** Усю роботу робить одне правило: рівняння — це терези, тож що робиш з однією частиною, роби й з іншою. Скасовуй дії навколо невідомого у зворотному порядку, починаючи з зовнішньої.

![Кіт сидить за врівноваженими терезами з помаранчевим кубиком у кожній лапі, щоб додати по одному на кожну шальку.](https://productovi.com/courses/math-basics/inline/m2-l3-i1.webp)

*Що кладеш на одну шальку, клади й на іншу.*

**Alex Tutor:** Спершу найперший крок. Який із них не порушує рівноваги?

> **Вправа:** Потрібно розв'язати 174·Q − 870 000 = 0 щодо Q. Який перший крок правильний?

**Alex Tutor:** Постійні витрати Klasna — F = 870 000 грн на місяць, а кожен урок лишає c = 174 грн. Прирівняй прибуток до нуля: 174·Q − 870 000 = 0. Додай 870 000 до обох частин, потім поділи обидві на 174: Q = 870 000 ÷ 174 = **5 000 уроків**.

![Три кроки: c·Q − F = 0; додай F до обох частин — c·Q = F; поділи обидві частини на c — Q = F/c, тут 870 000 ÷ 174 = 5 000 уроків.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m2-l3-solve-steps-uk.png)

*Кожен крок робить те саме з обома частинами.*

> **Вправа:** Новий предмет має постійні витрати 612 000 грн на місяць і лишає 180 грн з уроку. Розв'яжи 180·Q − 612 000 = 0 щодо Q: скільки уроків на місяць дають беззбитковість?

## Запас ходу, вільні члени й розміри вибірки

**Alex Tutor:** У курсі про бізнес без інвесторів особистий запас ходу — це R = (S − Z)/(E − I): заощадження S мінус подушка Z, якої не торкаються, поділені на місячні витрати E мінус дохід I. А тепер навпаки: скільки треба відкласти на 12 місяців.

**Alex Tutor:** Помнож обидві частини на (E − I), потім додай Z: S = Z + R·(E − I). Якщо E = 45 000, I = 15 000, а Z = 60 000: S = 60 000 + 12 × 30 000 = **420 000 грн**.

**Sofia:** Той самий прийом для регресії? Пряма ŷ = b₀ + b₁x проходить через точку середніх, тож ȳ = b₀ + b₁x̄...

**Alex Tutor:** ...і якщо відняти b₁x̄ від обох частин, вийде **b₀ = ȳ − b₁x̄**. З коренями так само: SE = √(p(1 − p)/n), тож піднеси обидві частини до квадрата й поміняй місцями SE і n: **n = p(1 − p)/SE²**. Так знаходять розмір вибірки для тесту.

> **Вправа:** Потрібно 9 місяців запасу ходу: R = 9. Місячні витрати E = 52 000 грн, дохід I = 20 000, недоторканна подушка Z = 40 000. За формулою S = Z + R·(E − I), скільки треба мати заощаджень у гривнях?

**Alex Tutor:** Тепер вільний член регресії, про який ішлося, — з числами.

> **Вправа:** Регресія місячних уроків на рекламні витрати має нахил b₁ = 25 уроків на тисячу грн. Середні витрати — x̄ = 60 тисяч грн, середня кількість уроків — ȳ = 9 000. Пряма проходить через (x̄, ȳ). Чому дорівнює вільний член b₀ = ȳ − b₁x̄?

> **Вправа:** Конверсія становить приблизно p = 0,10, і потрібно, щоб її стандартна похибка була SE = 0,006. За формулою n = p(1 − p)/SE², скільки користувачів потрібно?

## Дріб у знаменнику

**Alex Tutor:** Ділення на частку — місце, де інтуїція підводить. Інвестор платить X = 3 мільйони гривень за частку s = 15% компанії. Тоді вся компанія коштує post-money = X/s = 3 ÷ 0,15 = **20 мільйонів**.

**Sofia:** Ділення на 0,15 зробило число більшим.

**Alex Tutor:** Ділити на дріб — те саме, що множити на обернене число: ÷ 0,15 — це × 6,67. Так само з кредитом, за яким платять лише відсотки: 3 000 грн на місяць за ставки r = 2% на місяць означають борг 3 000 ÷ 0,02 = 150 000.

> **Вправа:** Інвестор платить 4 мільйони гривень за 16% компанії. Яка оцінка post-money, X/s?

**Alex Tutor:** І кредит, за яким платять лише відсотки, — у зворотному напрямку.

> **Вправа:** За кредитом, де платять лише відсотки, щомісячний платіж — 4 500 грн за ставки 1,5% на місяць. Який розмір боргу?

## Пастка накрутки

**Alex Tutor:** Партнерська платформа залишає собі 20% ціни кожного уроку. Репетитор хоче отримати на руки 400 грн. Якою має бути ціна уроку?

**Sofia:** 400 плюс 20%, тобто 480?

**Alex Tutor:** Перевір: платформа бере 20% від 480, тобто 96, і репетитору лишається 384. Комісія — частка від **ціни**, а не від 400. Запиши рівняння: P·(1 − 0,2) = 400, тож P = 400 ÷ 0,8 = **500**.

![Ціна 500 ділиться на 400 репетитору й 100 комісії 20%. Ціна 480 (400 × 1,2) ділиться на 384 і 96, і репетитору бракує 16.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m2-l3-gross-up-uk.png)

*Комісія від ціни вимагає ÷ (1 − f), а не × (1 + f).*

**Alex Tutor:** Тож «накрутка» — це P = витрата/(1 − f). Множити на (1 + f) правильно лише тоді, коли комісію нараховують зверху на витрату, як націнку. Завжди питай: частка від чого?

> **Вправа:** Платформа лишає 25% ціни уроку. Репетитор хоче 600 грн на руки. Якою має бути ціна?

## Твоя черга: ціна для суми на руки

**Alex Tutor:** Тепер трохи інший випадок: платформа лишає 15%, а репетитор хоче 510 грн за урок на руки.

**Sofia:** Я перевірю й хибний варіант, щоб різницю було видно.

> **Вправа:** Партнерська платформа лишає 15% ціни уроку. Репетитор хоче 510 грн за урок на руки, а колега пропонує ціну 510 × 1,15. Знайди правильну ціну, покажи, скільки репетитор насправді отримає за ціною колеги, і одним реченням поясни помилку.

## Де це знадобиться

> **У підсумку**
>
> - Рівняння — це терези: роби те саме з обома частинами й скасовуй дії навколо невідомого у зворотному порядку.
> - Беззбитковість: c·Q − F = 0 дає **Q = F/c**. Запас ходу R = (S − Z)/(E − I) дає **S = Z + R·(E − I)**.
> - **b₀ = ȳ − b₁x̄**; з SE = √(p(1 − p)/n) виходить **n = p(1 − p)/SE²**.
> - Ділення на частку збільшує число: post-money = **X/s**, борг за виплати лише відсотків = **відсотки/r**.
> - Комісія від ціни: **P = витрата/(1 − f)**, а не витрата × (1 + f).

> **Де це використовується**
>
> - [Беззбитковість і запас міцності](/uk/courses/finance-for-product/break-even): Q_BE = ⌈F/c⌉.
> - [Особистий запас ходу](/uk/courses/bootstrapped-product/personal-runway): R = (S − Z)/(E − I).
> - [Проста лінійна регресія](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/linear-regression): вільний член b₀ = ȳ − b₁x̄.
> - [Статистична потужність і розмір вибірки](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/power-and-sample-size) і [Наскільки великий і наскільки довгий](/uk/courses/product-analytics/test-size): формула, розв'язана щодо n.
> - [Ціна проти обсягу](/uk/courses/finance-for-product/price-vs-volume): обсяг, потрібний знижці, виведений з маржі.
> - [Борг чи капітал](/uk/courses/finance-for-product/debt-vs-equity): post-money = інвестиція ÷ частка.
> - [Збирати без болю: спершу заплати собі](/uk/courses/personal-finance/pay-yourself-first): щомісячна сума, виведена з цілі й дати.

**Alex Tutor:** Наступного разу — нерівності, інтервали й формули з випадками: математичне «якщо так, то інакше».

- Попередній урок: [Знак Σ: суми, межі й накопичені підсумки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/the-sum-sign.md)
- Наступний урок: [Нерівності, інтервали й формули з випадками](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/inequalities-and-intervals.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.