# Реальні й номінальні ставки

> Інфляція й купівельна спроможність, реальна ставка як відношення множників зростання, чому n − i лише наближення, дефлювання майбутньої суми й курсова різниця.

- Курс: [Математика для статистики та юніт-економіки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics.md)
- Модуль: Гроші в часі
- Урок 35/36, ~26 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/math-basics/real-and-nominal-rates

## Багатші на скільки?

**Alex Tutor:** Dana, репетиторка англійської в Klasna, збирає 150 000 грн на нову кухню через два роки. Депозит дає 14% річних; після податку, про який наступний урок, це 10,78%. За два роки: 150 000 × 1,1078² = 184 083 грн.

**Sofia:** Тобто на 34 083 більше. Це на 34 083 більше кухні?

**Alex Tutor:** Ні, бо кухня теж дорожчає. Станом на серпень 2026 року інфляція в Україні була близько 8% на рік. Ціна росте, як депозит: за n років вона p × (1 + i)ⁿ. Кухня коштуватиме 150 000 × 1,08² = 174 960.

**Alex Tutor:** Спершу коротка перевірка, що означає «багатша».

> **Вправа:** 150 000 грн Dana за два роки виростають до 184 083 грн, а кухня, на яку вона збирає, дорожчає зі 150 000 до 174 960 грн. Отже, через два роки вона зможе купити на 34 083 грн більше кухні, ніж сьогодні.

> **Вправа:** Пакет на 32 уроки сьогодні коштує 20 000 грн. Якщо ціни ростуть на 8% на рік, скільки він коштуватиме через три роки, з точністю до гривні?

## Реальна ставка

**Alex Tutor:** Тож порівнюй зростання зі зростанням. Щороку гроші ростуть ×1,1078, а ціни ×1,08. Те, що можна купити, росте в їхньому відношенні: 1,1078 ÷ 1,08 = 1,0257. Це **реальна ставка** 2,57% на рік.

$$
r_{real} = \frac{1 + n}{1 + i} - 1
$$

*n — номінальна ставка, яку тобі платять; i — інфляція за той самий період.*

![Депозит росте зі 150 000 до 184 083, а ціна кухні — до 174 960; у сьогоднішніх грошах заощадження — 157 821, реальний виграш 5,2% за два роки.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m9-l3-money-vs-prices-uk.png)

*Реальне зростання — це різниця між двома драбинами.*

**Sofia:** Чому не просто 10,78 − 8 = 2,78%?

**Alex Tutor:** Це наближення n − i, і тут воно помиляється лише на 0,2 в. п. Але воно завжди завищує, і різниця росте разом з інфляцією. За 30% номінальних і 25% інфляції наближення каже 5%, а насправді 1,30 ÷ 1,25 − 1 = 4%.

![Наближення n − i завжди вище за точну реальну ставку: 2,78% проти 2,57%, 8% проти 7,41%, 5% проти 4,00%, 10% проти 7,69%; різниця росте з інфляцією.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m9-l3-shortcut-error-uk.png)

*Годиться для швидкої оцінки за низької інфляції; коли важливо, діли.*

> **Вправа:** Державна облігація без податку дає 16% річних, інфляція — 8%. Яка точна реальна ставка у відсотках, з одним знаком після коми?

> **Вправа:** За номінальної ставки 40% та інфляції 30% реальна ставка — 10%.

**Sofia:** А реальна ставка може бути від’ємною?

**Alex Tutor:** Легко. Депозит під 6% за інфляції 8% дає 1,06 ÷ 1,08 − 1 = −1,85%. Залишок щомісяця росте, а те, що на нього можна купити, зменшується. Така звичайна доля грошей на картці чи під матрацом.

**Alex Tutor:** Дай число цій долі грошей на картці чи під матрацом.

> **Вправа:** Депозит дає 6% річних, інфляція — 8%. Яка точна реальна ставка у відсотках, з двома знаками після коми? Якщо вона від’ємна, постав мінус.

## Назад до сьогоднішніх грошей

**Alex Tutor:** Те саме можна сказати інакше: переведи майбутню суму в сьогоднішні гроші, поділивши на інфляцію. Це **дефлювання**: 184 083 ÷ 1,08² = 157 821. У сьогоднішніх цінах Dana матиме 157 821, а не 184 083.

**Sofia:** Це дисконтування з модуля 6, де ставкою є інфляція.

**Alex Tutor:** Той самий крок. А 157 821 ÷ 150 000 = 1,052: реальний виграш 5,2% за два роки, тобто 1,0257². Обидва шляхи збігаються, як і мають.

> **Вправа:** Через два роки на депозиті Dana буде 184 083 грн. За інфляції 8% щороку скільки це в сьогоднішніх грошах, з точністю до гривні?

![Кіт із маленьким гаманцем сидить між двома кошиками: лівий повний помаранчевих рибок, у правому їх менше.](https://productovi.com/courses/math-basics/inline/m9-l3-i1.webp)

*Той самий гаманець купує менше, коли ціни ростуть.*

## Обмін валюти

**Alex Tutor:** Родини з ЄС платять Klasna в євро, а відео й ШІ коштують у доларах, тож валюта — теж «ціна». Обмінник може купувати долари по 41,20 грн і продавати по 41,80. Різниця — це **спред**: 1 − купівля ÷ продаж.

> **Вправа:** Обмінник купує долари по 41,20 грн і продає по 41,80. Яка частка грошей втрачається, якщо купити долари й одразу продати назад, у відсотках, з двома знаками після коми?

**Sofia:** Тобто спред — це комісія, захована в курсі.

**Alex Tutor:** Так. Купівля й продаж назад забирають 1,44%, навіть якщо долар зовсім не зрушить. Будь-який план зі зміною валюти стартує з мінусом 1,44%.

**Alex Tutor:** Заощадження в іншій валюті — те саме порівняння, що й реальна ставка. Гривневий депозит під 10,78% після податку виграє в доларового під 1,5%, якщо долар за рік не подорожчає понад 41,5 × 1,1078 ÷ 1,015 ≈ 45,29. Це **курс беззбитковості**.

**Sofia:** Але ніхто не знає курсу через рік.

**Alex Tutor:** Так, тож курс беззбитковості не каже, що робити. Він каже, на що ти ставиш: тримати долари — це парі на те, що гривня за рік знеціниться більш ніж на 45,29 ÷ 41,5 − 1 ≈ 9,1%, і ще трохи, щоб покрити спред.

**Alex Tutor:** Ще одне число перед твоєю чергою: курс беззбитковості.

> **Вправа:** Гривневий депозит дає 10,78% річних після податку, доларовий — 1,5%, а долар сьогодні коштує 41,5 грн. Без урахування спреду: за якого курсу через рік доларовий депозит виграє? Дай два знаки після коми.

## Твоя черга

**Alex Tutor:** Dana каже: «14% на рік, отже, за два роки я стану на 28% багатшою». Допоможи розібратися.

> **Вправа:** Dana каже про свій депозит: «14% на рік, отже, за два роки я стану на 28% багатшою». Двома-трьома реченнями виправ Dana: що депозит насправді робить з її купівельною спроможністю за два роки? Використай 10,78% після податку (те, що лишається від 14%, коли 23% відсотків іде на податок) й інфляцію 8%.

## Де це знадобиться

> **У підсумку**
>
> - Ціни ростуть, як депозити: **p × (1 + i)ⁿ**.
> - **Реальна ставка** = (1 + n) ÷ (1 + i) − 1. 10,78% і 8% дають 2,57%. Наближення n − i завжди завищує, тим більше за високої інфляції.
> - **Дефлювання:** майбутня сума ÷ (1 + i)ⁿ дає сьогоднішні гроші; 184 083 ÷ 1,08² = 157 821.
> - **Спред** = 1 − купівля ÷ продаж; обмін туди й назад по 41,20 / 41,80 забирає 1,44%.
> - **Курс беззбитковості** = сьогоднішній курс × (1 + r_своя) ÷ (1 + r_іноземна).

> **Де це використовується**
>
> - [Інфляція й реальна ставка](/uk/courses/personal-finance/inflation-and-the-real-rate): (1 + n)/(1 + i) − 1 для депозиту.
> - [Гривня чи долари: валюта цілі](/uk/courses/personal-finance/currency-of-a-goal): курсова різниця й курс беззбитковості.
> - [Кейс: де тримати заощадження Dana два роки](/uk/courses/personal-finance/two-year-savings-case): 184 083 проти кухні за ціною на дату оплати.
> - [Цілі з ціною й датою](/uk/courses/personal-finance/goals-with-a-price-and-a-date): майбутня ціна p(1 + i)ⁿ.
> - [Прогноз від драйверів](/uk/courses/finance-for-product/driver-based-forecast): дохід і витрати в різних валютах.
> - [Кейс: план проти факту](/uk/courses/finance-for-product/plan-vs-actual-case): яку частину розриву пояснює курс.

**Alex Tutor:** Наступного разу — податки й комісії: звідки взялися ці 10,78% і що робить комісія 2% на рік за двадцять років.

- Попередній урок: [Позики й амортизація](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/loans-and-amortisation.md)
- Наступний урок: [Податки й комісії](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/taxes-and-fees.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.