# Піфагор у статистиці: відстані й похибки в квадратурі

> Евклідова й мангеттенська відстань, чому незалежні похибки додаються як квадрати, об'єднана SE z-тесту проти необ'єднаної SE інтервалу і як читати формули інтервалів Вілсона й Ньюкомба.

- Курс: [Математика для статистики та юніт-економіки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics.md)
- Модуль: Квадрати, корені й відстані
- Урок 15/36, ~28 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/math-basics/pythagoras-in-statistics

## Навпростець

**Alex Tutor:** Ти досі в продуктовій команді Klasna, а сьогоднішнє правило — зі школи, теорема Піфагора: у прямокутному трикутнику c² = a² + b². Якщо катети 3 і 4, діагональ — √(9 + 16) = 5. Статистика користується цим правилом набагато частіше, ніж зізнається.

![Вигляд згори: кіт іде навскіс через прямокутний килим до помаранчевої миски в дальньому куті; пунктир уздовж країв показує довший шлях в обхід.](https://productovi.com/courses/math-basics/inline/m4-l3-i1.webp)

*Діагональ коротша, ніж дві сторони разом.*

**Sofia:** Де? У звіті про тест я трикутників не бачу.

**Alex Tutor:** По-перше, у відстанях. Опиши кожного учня двома числами: уроки на місяць і хвилини домашньої роботи на тиждень. У A — (6, 30), у B — (9, 34). Різниці — 3 і 4, тож **евклідова відстань** — √(3² + 4²) = **5**.

$$
d_{\text{Euclid}} = \sqrt{\sum_i (x_i - y_i)^2} \qquad d_{\text{Manhattan}} = \sum_i |x_i - y_i|
$$

*Евклідова — пряма лінія, для будь-якої кількості ознак. Мангеттенська — уздовж сітки; |x| — модуль, число без знака.*

**Alex Tutor:** **Мангеттенська відстань** натомість іде вздовж сітки: |3| + |4| = 7. Кластеризація використовує такі відстані, щоб групувати схожих учнів.

![Учень A в (6, 30), учень B у (9, 34): евклідова відстань — діагональ, √(3² + 4²) = 5; мангеттенська йде сіткою, 3 + 4 = 7.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m4-l3-distance-uk.png)

*Пряма чи сітка: два способи виміряти, наскільки учні далекі один від одного.*

> **Вправа:** Двоє учнів описані як (уроки на місяць, хвилини домашньої роботи на тиждень): (2, 7) і (8, 15). Яка евклідова відстань між ними?

**Alex Tutor:** Тепер варіант по сітці, у числах.

> **Вправа:** Двоє учнів описані як (уроки на місяць, хвилини домашньої роботи на тиждень): (3, 10) і (7, 4). Яка мангеттенська відстань Σ|xᵢ − yᵢ| між ними?

## Похибки додаються як квадрати

**Alex Tutor:** По-друге, у похибках. Варіант A конвертує на 10% із SE 0,6 в. п.; варіант B — на 12% із SE 0,8 в. п. SE **різниці** — не 0,6 + 0,8. Незалежні похибки додаються як квадрати: √(0,6² + 0,8²) = √1,00 = **1,0 в. п.**

**Sofia:** Чому не 1,4?

**Alex Tutor:** Бо обидві похибки випадкові й незалежні: коли A виміряно завищено, B з однаковою ймовірністю може бути заниженим чи завищеним, тож вони частково компенсуються. Сума 1,4 припускає, що вони завжди тиснуть в один бік. Додаються дисперсії; SE додаються як сторони трикутника.

![Прямокутний трикутник із катетами SE_A = 0,6 в. п. і SE_B = 0,8 в. п. має гіпотенузу 1,0 в. п. — SE різниці; сума катетів дала б 1,4 в. п.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m4-l3-quadrature-uk.png)

*Незалежні похибки поєднуються як сторони прямокутного трикутника.*

**Alex Tutor:** Проєкти використовують те саме правило: якщо дві задачі йдуть одна за одною з невизначеністю σ = 3 і 4 дні, загальна невизначеність — √(9 + 16) = 5 днів, а не 7. Загалом σ_total = √Σσ².

> **Вправа:** SE конверсії варіанта A — 0,9 в. п., варіанта B — 1,2 в. п., виміряні незалежно. Чому дорівнює SE різниці B − A у в. п.?

> **Вправа:** Три задачі йдуть одна за одною з незалежними невизначеностями σ = 2, 3 і 6 днів. Чому дорівнює σ_total = √Σσ² у днях?

**Alex Tutor:** За всім цим ховається одна умова. Правда чи ні?

> **Вправа:** Якщо похибки двох оцінок завжди тиснуть в один бік (обидві разом завищені чи разом занижені), їхня спільна невизначеність ближча до простої суми σ₁ + σ₂, ніж до √(σ₁² + σ₂²).

## Об'єднана чи ні

**Alex Tutor:** У тесті конверсій ти побачиш дві версії цієї SE. **z-тест** питає «а що, якщо різниці немає?», тож бере одну об'єднану частку p̄ для обох груп. **Інтервал для різниці** бере власну частку кожної групи.

$$
SE_{\text{test}} = \sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})\left(\tfrac{1}{n_1} + \tfrac{1}{n_2}\right)} \qquad SE_{\text{interval}} = \sqrt{\tfrac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \tfrac{p_2(1-p_2)}{n_2}}
$$

*Обидві — Піфагор: корінь із суми двох дисперсій. Тест припускає, що частки рівні; інтервал — ні.*

**Sofia:** Вони дають різні числа?

**Alex Tutor:** Близькі, коли частки близькі. За 2 000 користувачів у кожній групі з 10% і 12% обидві виходять приблизно 0,99 в. п. Розходяться вони тоді, коли частки сильно різні.

> **Вправа:** Ти проводиш z-тест «між A і B різниці немає» для двох конверсій. Яку стандартну похибку він використовує?

## Як читати Вілсона й Ньюкомба

**Alex Tutor:** Продуктова аналітика подає інтервали **Вілсона** і **Ньюкомба**. Виводити їх не треба, лише впізнавати частини. Вілсон для однієї частки має центр, трохи зсунутий до 50%, і корінь із p(1 − p)/n з невеликою поправкою.

$$
\frac{\overbrace{p + \frac{z^2}{2n}}^{\text{center, nudged}} \pm z\overbrace{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n} + \frac{z^2}{4n^2}}}^{\text{SE with a correction}}}{1 + \frac{z^2}{n}}
$$

*Для p = 5%, n = 400, z = 1,96: приблизно від 3,3% до 7,6%, із центром біля 5,4%, а не 5%.*

**Alex Tutor:** Спершу прочитаймо центр цієї формули.

> **Вправа:** Інтервал Вілсона для конверсії 5% на 400 користувачах — приблизно від 3,3% до 7,6%, із центром біля 5,4%. Чому центр вищий за 5%?

**Alex Tutor:** **Ньюкомб** будує інтервал для різниці з двох інтервалів Вілсона й поєднує їхні однобічні ширини за Піфагором: √(ширина_A² + ширина_B²). Та сама ідея, що й раніше, лише з ширинами Вілсона.

**Sofia:** Тобто щоразу, коли бачу корінь із суми квадратів, думати «незалежні частини, поєднані разом».

**Alex Tutor:** Це весь урок одним реченням. Відстані між учнями, похибки двох груп, ризики двох задач — щоразу та сама форма.

> **Вправа:** Як інтервал Ньюкомба поєднує однобічні ширини двох груп w_A і w_B?

## Твоя черга: 1,4 від колеги

**Alex Tutor:** Колега читає тест: A — 10% (SE 0,6 в. п.), B — 12% (SE 0,8 в. п.). «SE різниці — 1,4, тож розрив 2 в. п. — лише 1,4 SE: шум». Відповідай.

**Sofia:** Спершу перерахую корінь, а тоді все інше.

> **Вправа:** Колега каже: «A — 10% (SE 0,6 в. п.), B — 12% (SE 0,8 в. п.). SE різниці — 0,6 + 0,8 = 1,4, тож розрив 2 в. п. — лише приблизно 1,4 SE». Виправ SE різниці, перерахуй, скільки SE становить розрив, і одним реченням поясни, чому SE не додаються просто так.

## Де це знадобиться

> **У підсумку**
>
> - **Евклідова відстань** = √Σ(xᵢ − yᵢ)²; **мангеттенська** = Σ|xᵢ − yᵢ|.
> - Незалежні похибки додаються **в квадратурі**: SE_diff = √(SE₁² + SE₂²), σ_total = √Σσ². Ніколи не додавай SE напряму.
> - **z-тест** бере об'єднану SE з p̄ (він припускає, що різниці немає); **інтервал різниці** — необ'єднану SE.
> - **Вілсон**: центр, зсунутий до 50%, ± z × виправлена SE. **Ньюкомб**: дві ширини Вілсона, поєднані за Піфагором.

> **Де це використовується**
>
> - [t-критерій Стьюдента](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/t-test): SE різниці двох середніх.
> - [Конверсія і z-критерій для двох часток](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/conversion-rate-tests): об'єднана SE тесту.
> - [Кластеризація для сегментації клієнтів](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/clustering): евклідова відстань між клієнтами.
> - [Кейс: читаємо завершений тест](/uk/courses/product-analytics/reading-a-test): інтервали Вілсона й Ньюкомба.

**Alex Tutor:** Наступного разу — стандартизація: вона ставить різні шкали поруч, щоб відстані й порівняння мали сенс.

- Попередній урок: [Квадратні корені і √n: SD і стандартна похибка](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/square-roots-and-root-n.md)
- Наступний урок: [Стандартизація: z, CV, розмір ефекту і r](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/standardizing.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.