# p і 1 − p

> Імовірність як частка, доповнення 1 − p, утримання як 1 − відтік і чому p(1 − p) найбільше при 0,5.

- Курс: [Математика для статистики та юніт-економіки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics.md)
- Модуль: Імовірність і розподіли
- Урок 25/36, ~26 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/math-basics/p-and-1-minus-p

## Імовірність — це частка

**Alex Tutor:** Новий модуль — імовірність. У Klasna вона постійно на виду. У вересні 400 людей узяли безкоштовний пробний урок, і 120 із них потім купили пакет.

**Sofia:** Тобто шанс, що учень після пробного уроку купить, — це 120 із 400?

**Alex Tutor:** Так: p = 120 ÷ 400 = 0,30. Імовірність — це частка серед багатьох схожих випадків, завжди між 0 (ніколи) і 1 (завжди). Про наступного учня на пробному уроці не скажеш «так» чи «ні», але можна сказати: 0,30.

**Alex Tutor:** Спробуй на жовтневих числах, перш ніж підемо далі.

> **Вправа:** У жовтні 150 людей узяли безкоштовний пробний урок у Klasna, і 36 із них купили пакет. Яке прочитання цих чисел правильне?

**Sofia:** А решта 280?

**Alex Tutor:** Це **доповнення**: усі, хто не купив. Його ймовірність — 1 − p = 1 − 0,30 = 0,70. «Купує» і «не купує» охоплюють усі випадки й ніколи не перетинаються, тож дві частки разом мусять дати 1.

$$
P(\text{not } A) = 1 - P(A)
$$

*Правило доповнення. P(A) — імовірність, що A станеться.*

> **Вправа:** Зістав кожну подію в Klasna з її доповненням.

**Alex Tutor:** Одна перевірка, перш ніж застосовувати правило будь-де.

> **Вправа:** У вересні 30% учнів Klasna після пробного уроку купили пакет, а 25% — окремий урок. Отже, «купує окремий урок» — доповнення до «купує пакет», і ці дві частки мають разом давати 1.

## Утримання — це 1 − відтік

**Alex Tutor:** Одне доповнення ти вже знаєш із підписок. Klasna Club щомісяця втрачає 8% учасників — це місячний **відтік**. Частка тих, хто лишається, — **утримання**: 1 − 0,08 = 0,92.

![Із 400 учнів на пробному уроці 0,30 купили, а 0,70 — ні; у Klasna Club 92% лишаються, 8% скасовують. Дві частини завжди дають разом 1.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m7-l1-complement-bar-uk.png)

*Одна частина підказує іншу: p і 1 − p, утримання й відтік.*

**Sofia:** Тобто звіт, де є лише відтік, показує й утримання.

**Alex Tutor:** Саме так. І часто доповнення порахувати легше. «Пропустив хоча б один урок цього місяця» рахувати напряму важко; «не пропустив жодного» — одне число, а 1 мінус воно дає решту.

> **Вправа:** У березні місячний відтік Klasna Club становив 6,5%. Яким було місячне утримання у відсотках?

## Чому p(1 − p) трапляється так часто

**Sofia:** У курсі статистики я бачу p(1 − p) під коренем. Навіщо множити ймовірність на її ж доповнення?

**Alex Tutor:** Познач кожного учня після пробного уроку як 1, якщо купив, і 0, якщо ні. Розкид цих нулів і одиниць — дисперсія — виходить рівно p(1 − p). Вона показує, наскільки важко вгадати наступну відповідь.

**Alex Tutor:** Спробуй кілька значень. p = 0,1 дає 0,1 × 0,9 = 0,09. p = 0,3 дає 0,21. p = 0,5 дає 0,25. Далі знову спадає: 0,7 дає 0,21, 0,9 дає 0,09.

![p(1 − p) — площа прямокутника зі сторонами p і 1 − p: 0,09 при 0,1, 0,21 при 0,3, пік 0,25 при 0,5, далі ті самі значення дзеркально.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m7-l1-pq-peak-uk.png)

*Дві сторони, що разом завжди дають 1, мають найбільшу площу, коли утворюють квадрат.*

**Sofia:** Пік — посередині, а 0,2 дає те саме, що й 0,8.

**Alex Tutor:** Так, якщо поміняти p і 1 − p місцями, нічого не зміниться. Уяви прямокутник зі сторонами p і 1 − p: сторони разом завжди дають 1, а найбільшу площу має квадрат. При 0,5 відповідь — як підкидання монети; при 0,02 кажеш «ні» і майже завжди вгадуєш.

> **Вправа:** Чотири воронки Klasna мають такі конверсії. За однакової кількості людей у якої найбільше p(1 − p)?

## Де це трапляється

**Alex Tutor:** Стандартна похибка частки — SE = √(p(1 − p) ÷ n). Для наших пробних уроків: √(0,21 ÷ 400) = √0,000525 ≈ 0,023, тож 30% відомі з точністю приблизно ±2,3 в. п. на одну стандартну похибку.

$$
SE_p = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}
$$

*p — спостережена частка; n — на скількох людях її виміряно.*

**Sofia:** А якщо p ще не виміряне, для нового опитування?

**Alex Tutor:** Плануй із p = 0,5. Воно дає найбільше p(1 − p), а отже, найбільшу SE: √(0,25 ÷ 400) = 0,025. Хай якою виявиться справжня частка, похибка може бути лише меншою, а не більшою.

> **Вправа:** Формула розміру вибірки для A/B-тесту містить p₁(1 − p₁). Базова конверсія p₁ = 0,04. Чому дорівнює p₁(1 − p₁)? Дай чотири знаки після коми.

**Alex Tutor:** Це просто з курсу продуктової аналітики: формула розміру вибірки там додає p₁(1 − p₁) + p₂(1 − p₂). Для 4% і 5% це 0,0384 + 0,0475 = 0,0859.

> **Вправа:** Для частки 20% і частки 80%, виміряних на однаковій кількості людей, стандартна похибка √(p(1 − p) ÷ n) однакова.

**Alex Tutor:** Остання перевірка перед твоєю чергою — випадок планування.

> **Вправа:** Hanna, фінансова директорка Klasna, хоче опитати 625 батьків у Klasna про частку, яку ще ніхто не вимірював. Якщо планувати з p = 0,5, якою найбільшою може бути стандартна похибка √(p(1 − p) ÷ n), у відсоткових пунктах?

## Твоя черга

**Alex Tutor:** Hanna планує опитування батьків у Klasna: яка частка готова платити за підписку Club для дитини? Ніхто ще не знає цієї частки, і розмір вибірки вона порахувала з p = 0,5.

> **Вправа:** Колега питає Hanna, чому вона взяла p = 0,5, якщо «точно ж скажуть «так» набагато менше за половину». Поясни двома-трьома реченнями, чому p = 0,5 — безпечний вибір.

## Де це знадобиться

> **У підсумку**
>
> - **Імовірність** — частка серед багатьох схожих випадків, від 0 до 1.
> - **Доповнення**: P(не A) = 1 − P(A). Утримання = 1 − відтік.
> - **p(1 − p)** — розкид наслідку «так/ні». Воно найбільше при p = 0,5 (0,25) і однакове для p та 1 − p.
> - Тож SE = √(p(1 − p) ÷ n) найбільша при 0,5: коли частка невідома, плануй із 0,5.

> **Де це використовується**
>
> - [Довірчий інтервал: формула і похибка](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/confidence-intervals): стандартна похибка частки √(p(1 − p)/n).
> - [Статистична потужність і розмір вибірки](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/power-and-sample-size): чому вибірку планують з оцінкою p.
> - [Конверсія і z-критерій для двох часток](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/conversion-rate-tests): p(1 − p) для двох груп.
> - [Наскільки великий і наскільки довгий](/uk/courses/product-analytics/test-size): p₁(1 − p₁) + p₂(1 − p₂) у формулі користувачів на варіант.
> - [MRR і відтік](/uk/courses/bootstrapped-product/mrr-and-churn): утримання як 1 − відтік.

**Alex Tutor:** Наступного разу — імовірність за умови, «за того, що», і таблиця 2×2, на якій тримаються precision і recall.

- Попередній урок: [e, ln, шанси й сигмоїда](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/e-ln-odds-sigmoid.md)
- Наступний урок: [Умовна ймовірність і таблиця 2×2](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/conditional-probability.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.