# Інші криві й потужність

> t, хі-квадрат і F як та сама ідея з іншою таблицею, ступені свободи, очікувані частоти й Σ(O − E)²/E і як порахувати потужність тесту.

- Курс: [Математика для статистики та юніт-економіки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics.md)
- Модуль: Імовірність і розподіли
- Урок 30/36, ~36 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/math-basics/other-curves-and-power

## Та сама ідея, інша таблиця

**Alex Tutor:** Останній урок модуля, і ти досі в продуктовій команді Klasna. У курсі статистики трапляться t-тести, тести хі-квадрат і ANOVA з її F. Вони схожі на три нові предмети. Насправді це одна ідея з трьома таблицями.

**Sofia:** Яка саме ідея?

**Alex Tutor:** Кожен тест перетворює дані на одне число — **статистику**: приблизно сигнал ÷ шум. Далі питає, наскільки далеко в хвіст своєї кривої це число потрапляє. Якщо далі за точку, що лишає 5%, — **критичне значення**, — результат вважають значущим.

**Alex Tutor:** Для z це 1,96. Для t з 18 ступенями свободи — 2,101. Для хі-квадрат з 1 ступенем свободи — 3,84. Для F з (3, 20) — 3,10. Їх не рахують, а беруть із таблиці чи таблиці-калькулятора.

**Alex Tutor:** Спробуй цю ідею на одному t-тесті, перш ніж дивитися на малюнок.

> **Вправа:** t-тест порівнює дві групи по 10 учнів (18 ступенів свободи) і дає t = 2,05. Критичне значення t для 18 df на рівні 5% — 2,101. Який вердикт на рівні 5%?

![Чотири криві з критичними значеннями для 5%: z — 1,96, t з 18 df — 2,101, хі-квадрат з 1 df — 3,84, F з (3, 20) df — 3,10.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m7-l6-four-curves-uk.png)

*За пунктирною лінією — ті 5%, які тест називає «значущими».*

**Sofia:** А ступені свободи вибирають, яку саме криву?

**Alex Tutor:** Так, це приблизно скільки незалежної інформації лишається. Дві групи по 10 для t-тесту: 10 + 10 − 2 = 18. Таблиця з r рядків і c стовпців: (r − 1)(c − 1). Чотири групи по 6 для F: (4 − 1, 24 − 4) = (3, 20).

**Alex Tutor:** Малі вибірки дають t важчі хвости, тому його критичне значення більше за 1,96. Зі зростанням ступенів свободи t перетворюється на z: при 100 це вже 1,98.

> **Вправа:** Зістав кожен тест із кривою його статистики та ступенями свободи.

> **Вправа:** t-тест порівнює 12 учнів з однієї групи з 15 з іншої. Скільки в нього ступенів свободи?

**Alex Tutor:** І швидка перевірка: що стається з t, коли вибірки ростуть.

> **Вправа:** Навіть зі 100 ступенями свободи критичне значення t на рівні 5% лишається значно вищим за 1,96 для z, тож великі вибірки все одно потребують значно суворіших таблиць t.

## Хі-квадрат: спостережене проти очікуваного

**Alex Tutor:** Повернімося до дзвінка про цілі: з ним купили 105 із 300, без нього — 125 із 500. Загалом купили 230 із 800. Якби дзвінок нічого не змінював, обидві групи купували б із частотою 230 ÷ 800 = 28,75%.

**Alex Tutor:** Звідси **очікувана частота** кожної клітинки: підсумок рядка × підсумок стовпця ÷ загальний підсумок. З дзвінком і купили: 300 × 230 ÷ 800 = 86,25. Ми побачили 105.

$$
\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}, \qquad E = \frac{\text{row total} \times \text{column total}}{\text{total}}
$$

*O — спостережена частота; E — очікувана, якби групи не відрізнялися. Сума за всіма клітинками.*

**Alex Tutor:** Кожна клітинка додає (O − E)² ÷ E: 4,076 + 1,645 + 2,446 + 0,987 ≈ 9,15. Це далеко за 3,84, тож різниця значуща. А z-тест на тих самих даних дає z ≈ 3,026, і 3,026² ≈ 9,15.

![Кожна клітинка порівнює спостережену частоту з очікуваною; чотири (O − E)²/E дають близько 9,15 — більше за межу 3,84 і стільки ж, скільки z².](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m7-l6-chi-square-uk.png)

*Для таблиці 2×2 хі-квадрат — це z у квадраті, а 3,84 — це 1,96 у квадраті.*

**Sofia:** Тобто 3,84 — це просто 1,96 у квадраті?

**Alex Tutor:** Для одного ступеня свободи — так: 1,96² = 3,84. Два тести, одна відповідь. Хі-квадрат стає в пригоді на більших таблицях, скажімо три пакети × дві вікові групи, де одне z не підходить.

> **Вправа:** Із 200 учасників Club, які в перший тиждень прийшли на розмовний клуб, скасували 30; із 600, які не прийшли, — 150. Якби це нічого не змінювало, скільки скасувань очікувалося б серед 200, які прийшли?

**Alex Tutor:** Тепер уся статистика — і скорочений шлях для таблиць 2×2.

> **Вправа:** z-тест для двох часток на таблиці 2×2 учнів Klasna дає z = 2,5. Яке значення хі-квадрат дасть тест хі-квадрат на тій самій таблиці?

## Рахуємо потужність

**Alex Tutor:** Останній інструмент — **потужність**: шанс, що тест помітить ефект, який справді є. Для двобічного тесту на рівні 5% і справжнього ефекту δ, виміряного зі стандартною похибкою SE, потужність ≈ P(Z > 1,96 − δ ÷ SE).

$$
\text{power} \approx P\left(Z > 1.96 - \frac{\delta}{SE}\right)
$$

*δ — справжній ефект; SE — стандартна похибка виміряної різниці.*

**Sofia:** Звідки це береться?

**Alex Tutor:** Якщо ефект справжній, виміряна різниця в середньому лежить на δ ÷ SE стандартних похибок від нуля. Значущою вона буде, якщо потрапить далі за 1,96. Тож потужність — це площа зсунутої кривої за 1,96. Коли δ ÷ SE = 2,8, маємо P(Z > −0,84) = 80%.

**Alex Tutor:** У курсі продуктової аналітики є тест paywall із 1 700 користувачами на варіант, 4% проти 5%. SE = √(0,04 × 0,96 ÷ 1 700 + 0,05 × 0,95 ÷ 1 700) ≈ 0,0071. δ ÷ SE = 0,01 ÷ 0,0071 ≈ 1,41. Потужність = P(Z > 0,55) ≈ **29%**.

> **Вправа:** Справжній ефект 2 в. п. вимірюють із SE = 0,8 в. п. у двобічному тесті на рівні 5%. Скористайся тим, що P(Z > −0,54) = 0,705, P(Z > 0,54) = 0,295 і P(Z > 1,42) = 0,078. Яка потужність у відсотках?

**Alex Tutor:** Остання перевірка: як підняти ці 29%?

> **Вправа:** Тест paywall мав 1 700 користувачів на варіант, SE ≈ 0,0071 для справжнього приросту з 4% до 5% і потужність близько 29%. Яка зміна підніме потужність приблизно до 80% для того самого ефекту?

**Sofia:** Тобто з потужністю 29% «не значуще» здебільшого означає «ми недостатньо уважно дивилися».

> **Вправа:** Тест paywall тривав тиждень: 1 700 користувачів на варіант, потужність близько 29% для +1 в. п. Результат «не значущий», і колега каже: «Отже, новий paywall не працює». Поясни двома-трьома реченнями, чому цей висновок надто категоричний.

## Кейс: прочитай тест нагадування від початку до кінця

**Alex Tutor:** На завершення модуля — один тест від початку до кінця: частоти, очікувані частоти, хі-квадрат, його таблиця і потужність, яку мав тест.

> **Вправа:** Напиши короткий підсумок тесту нагадування для команди зростання Klasna.

## Де це знадобиться

> **У підсумку**
>
> - Кожен тест: **статистика** порівнюється з **критичним значенням** своєї кривої. z — 1,96; t (df 18) — 2,101; χ² (df 1) — 3,84; F (3, 20) — 3,10.
> - **Ступені свободи:** n₁ + n₂ − 2 для t; (r − 1)(c − 1) для таблиці; (k − 1, N − k) для F.
> - **Хі-квадрат** = Σ(O − E)²/E, де E = рядок × стовпець ÷ підсумок. Для таблиці 2×2 χ² = z².
> - **Потужність** ≈ P(Z > 1,96 − δ/SE). 1 700 на варіант для 4% → 5%: 29%. δ/SE = 2,8 дає 80%.

> **Де це використовується**
>
> - [t-критерій Стьюдента](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/t-test): df = 18 і критичне значення 2,101.
> - [Манна–Вітні: коли дані не нормальні](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/mann-whitney): інша статистика зі своєю таблицею.
> - [Конверсія і z-критерій для двох часток](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/conversion-rate-tests): z для двох часток.
> - [Дисперсійний аналіз (ANOVA): порівняння багатьох груп](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/anova): F з (3, 20) і 3,10.
> - [Підсумок курсу: як обрати правильний тест](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/choosing-the-right-test): хі-квадрат для таблиць частот.
> - [Наскільки великий і наскільки довгий](/uk/courses/product-analytics/test-size): потужність 29% при 1 700 користувачах на варіант.

**Alex Tutor:** На цьому з імовірностями все. Далі — міст до юніт-економіки.

- Попередній урок: [Нормальна крива](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/the-normal-curve.md)
- Наступний урок: [Маржинальний дохід і беззбитковість](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/contribution-and-break-even.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.