# Позики й амортизація

> Як платіж ділиться на відсотки й тіло позики, скільки місяців до погашення, плоска комісія проти відсотків на залишок і реальна річна вартість позики як її внутрішня ставка.

- Курс: [Математика для статистики та юніт-економіки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics.md)
- Модуль: Гроші в часі
- Урок 34/36, ~27 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/math-basics/loans-and-amortisation

## Один крок позики

**Alex Tutor:** Klasna купує ноутбуки для команди підтримки через позику на обладнання: 60 000 грн під 2% на місяць, шість рівних щомісячних платежів по 10 711,55 грн.

**Sofia:** Як кредитор отримує 10 711,55 із 60 000 і 2%?

**Alex Tutor:** З формули ануїтету з модуля 6. Але позику легше зрозуміти по одному місяцю. Щомісяця залишок зростає на відсотки й зменшується на платіж.

$$
B_{t+1} = B_t \times (1 + r) - \text{payment}
$$

*B_t — залишок після місяця t; r — місячна ставка.*

**Alex Tutor:** Місяць 1: відсотки — 60 000 × 0,02 = 1 200. Платіж спершу покриває їх, а решта, 10 711,55 − 1 200 = 9 511,55, гасить позику. Новий залишок — 50 488,45.

> **Вправа:** Позика має залишок 50 000 грн під 2% на місяць, платіж цього місяця — 8 000. Який залишок після платежу?

## Відсотки меншають, тіло росте

**Alex Tutor:** Повтори це шість разів. Платіж той самий, але відсотки — завжди 2% від меншого залишку: 1 200, далі 1 010, 816, 618, 416, 210. Тож щомісяця більша частина того самого платежу гасить саму позику.

![Кожен платіж 10 711,55 грн спершу покриває 2% відсотків на залишок, від 1 200 до 210, а решта гасить тіло, доки залишок не стане 0.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m9-l2-amortization-uk.png)

*Графік амортизації: той самий платіж, змінний поділ.*

> **Вправа:** Скільки з першого платежу 10 711,55 грн за позикою на ноутбуки гасить тіло позики?

**Alex Tutor:** Твоя черга: другий місяць позики на ноутбуки.

> **Вправа:** Позика Klasna на ноутбуки — 60 000 грн під 2% на місяць, платежі по 10 711,55 грн. Після першого місяця залишок — 50 488,45 грн. Скільки з другого платежу становлять відсотки, у гривнях, з точністю до копійки?

**Sofia:** А скільки позика коштує загалом?

**Alex Tutor:** Усе сплачене мінус позичене: 6 × 10 711,55 − 60 000 = 4 269,30 грн. Це «ціна» позики, і вона дорівнює сумі шести відсоткових частин.

> **Вправа:** Позику на курс у 20 000 грн повертають 12 щомісячними платежами по 1 950 грн. Яка загальна ціна позики в гривнях?

## Пастка мінімального платежу

**Alex Tutor:** Тепер те саме правило на кредитній картці. Sam, координатор підтримки в Klasna, винен 20 000 грн під 3% на місяць. Відсотки — 600 на місяць. Що станеться, якщо Sam платитиме рівно 600?

**Sofia:** 20 000 × 1,03 − 600 = 20 000. Залишок не зрушить.

**Alex Tutor:** Ніколи. Із платежем 1 000 на місяць борг зникне приблизно за 31 місяць, а місяці дає трюк із ln з модуля 6: n = −ln(1 − r × B ÷ платіж) ÷ ln(1 + r). За 31 місяць Sam заплатить близько 31 000 за борг у 20 000.

> **Вправа:** Борг за карткою 15 000 грн під 3% на місяць із платежем 400 грн щомісяця поступово зменшуватиметься.

**Alex Tutor:** А скільки це триватиме, якщо платити 1 500 на місяць?

> **Вправа:** Sam винен 20 000 грн за карткою під 3% на місяць і вирішує платити 1 500 на місяць. За формулою n = −ln(1 − r × B ÷ платіж) ÷ ln(1 + r): за скільки місяців борг буде погашено? Дай один знак після коми.

**Alex Tutor:** Якщо боргів два, а вільні гроші є, спрямовуй надлишок спершу на найвищу ставку — це **лавина**: вона заощаджує найбільше відсотків. Спершу гасити найменший залишок — **сніжна куля** — трохи дорожче, зате дає швидкі перемоги, що допомагають не здатися.

> **Вправа:** Sam винен 20 000 за карткою під 3% на місяць і 6 000 за розстрочкою під 1,5% на місяць і має щомісяця 2 000 зайвих. Який вибір заощадить найбільше відсотків?

## Плоска комісія і реальна ставка

**Alex Tutor:** Повернімося до «оплати частинами» з минулого уроку: 12 000 чотирма частинами з 1,5% на місяць від початкової суми, тобто 180 щомісяця. Відсотки на залишок дали б 180, 135, 90 і 45 — 450 замість 720.

![Плоска комісія 1,5% від початкових 12 000 — 180 щомісяця, 720 загалом; 1,5% від залишку — 180, 135, 90, 45, лише 450.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m9-l2-flat-vs-declining-uk.png)

*Комісія не зменшується разом із боргом.*

**Sofia:** То яка реальна місячна ставка цієї пропозиції?

**Alex Tutor:** Ставка r, за якої чотири платежі по 3 180, дисконтовані, разом дають ті 12 000, які ти отримуєш. Це **внутрішня ставка** позики, її IRR з модуля 6. Таблиця знаходить її: RATE(4, −3180, 12000) ≈ 2,37% на місяць, тобто приблизно 28% річних.

**Sofia:** А можна перевірити цю ставку без таблиці?

**Alex Tutor:** Приблизно. Спробуй 2% і 3% на місяць, дисконтуй чотири платежі за кожною ставкою й подивись, з якого боку від 12 000 опиняєшся; далі звужуй. Це ті самі спроби, що й для IRR у модулі 6. Таблиця просто робить це швидше.

**Alex Tutor:** Саме це й вимірює реальна річна вартість кредиту: усі комісії враховано проти грошей, які справді надійшли. Разові комісії на старті піднімають її ще вище, бо отримуєш менше, а повертаєш стільки ж.

**Alex Tutor:** Перед твоєю чергою дай цій пропозиції число.

> **Вправа:** Магазин продає товар на 12 000 грн чотирма щомісячними частинами по 3 180 грн: 3 000 тіла плюс плоска комісія 1,5% від початкових 12 000 (180) щомісяця. Яка реальна місячна ставка цієї пропозиції?

## Твоя черга

> **Вправа:** Магазин рекламує: «Лише 1,5% на місяць, це 18% на рік!» за оплату 12 000 грн чотирма щомісячними частинами з комісією від початкової суми. Поясни двома-трьома реченнями, чому 18% — хибне число і як знайти справжню ставку.

## Де це знадобиться

> **У підсумку**
>
> - Щомісяця: **B_{t+1} = B_t × (1 + r) − платіж**. Спершу відсотки, решта гасить тіло.
> - Відсотки меншають разом із залишком, тож пізніші платежі гасять більше позики.
> - **Ціна позики** = n × платіж − позичене. Платіж, що не перевищує відсотки, ніколи не погасить борг.
> - **Лавина** (спершу найвища ставка) заощаджує найбільше; **сніжна куля** (спершу найменший борг) дає мотивацію.
> - **Плоска комісія** від початкової суми коштує значно більше, ніж звучить. Реальна ставка — IRR позики: RATE у таблиці.

> **Де це використовується**
>
> - [Реальна річна вартість кредиту](/uk/courses/personal-finance/real-cost-of-a-loan): усі комісії, переведені в річну ставку.
> - [Кредитки: пільговий період і пастка мінімального платежу](/uk/courses/personal-finance/credit-cards): платіж, що покриває лише відсотки.
> - [«Оплата частинами» й мікрокредити](/uk/courses/personal-finance/installments-and-microloans): плоска комісія від початкової суми.
> - [Кейс: шлях Sam із боргів](/uk/courses/personal-finance/way-out-of-debt-case): лавина проти сніжної кулі.

**Alex Tutor:** Наступного разу — інфляція і чому депозит під 14% не робить тебе на 14% багатшим.

- Попередній урок: [Простий відсоток, дні й річна ставка](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/simple-interest-and-day-counts.md)
- Наступний урок: [Реальні й номінальні ставки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/real-and-nominal-rates.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.