# Нерівності, інтервали й формули з випадками

> <, ≤, ± та інтервали, «тоді й лише тоді», min і max, формули з випадками, межі викидів, окупність як перший місяць над планкою і ставки за порогами: ефективна й гранична.

- Курс: [Математика для статистики та юніт-економіки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics.md)
- Модуль: Мова формул
- Урок 8/36, ~34 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/math-basics/inequalities-and-intervals

## Менше, не більше, плюс-мінус

**Alex Tutor:** Ти досі в продуктовій команді Klasna. У звітах про A/B-тести, які читає школа, є не лише знак «дорівнює».

**Sofia:** Досі у формулах було лише «дорівнює». А в уроках про A/B-тести повно <, ≤ і ±. Наскільки вони суворі?

**Alex Tutor:** Дуже суворі, і різниця — в одному значенні. p < 0,05 не включає саме 0,05; p ≤ 0,05 — включає. **≤** читається «не більше», **≥** — «не менше». На межі саме знак вирішує, на який бік потрапить число.

**Alex Tutor:** Спробуй випадок на самій межі.

> **Вправа:** Правило команди: «вважати тест значущим, якщо p < 0,05». Тест повертає рівно p = 0,05. Чи вважають його значущим?

**Alex Tutor:** **±** дає одразу два числа. Приріст 1,3 в. п. ± 0,9 в. п. означає від 1,3 − 0,9 = 0,4 до 1,3 + 0,9 = 2,2 в. п. Як інтервал: [0,4; 2,2]. Квадратні дужки включають кінці, круглі — ні.

**Alex Tutor:** Перетвори ± на два кінці.

> **Вправа:** Тест показує приріст 1,8 в. п. ± 1,1 в. п. Який нижній кінець інтервалу у відсоткових пунктах?

**Sofia:** А чому у звітах про тести так важливо, чи містить інтервал 0?

**Alex Tutor:** Бо 0 означає «ефекту немає». Якщо весь інтервал вище 0, як [0,4; 2,2], дані виключають «немає ефекту». Якщо 0 ∈ [−0,3; 1,9], де ∈ читається «належить», — не виключають. ∉ означає «не належить».

![Три інтервали на прямій навколо 0: [0,4; 2,2] повністю вище 0, [−0,3; 1,9] містить 0, а [−1,6; −0,2] повністю нижче 0.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m2-l4-intervals-uk.png)

*Лише інтервал, що не містить 0, виключає «ефекту немає».*

**Alex Tutor:** І ще один знак: **⇔**, «тоді й лише тоді». «Відхиляємо H₀ ⇔ p < α» працює в обидва боки: мале p означає, що відхиляємо, а відхилення означає, що p було малим. Третього не дано.

> **Вправа:** Які інтервали приросту у відсоткових пунктах повністю лежать вище 0? Вибери всі.

## Формули з випадками

**Alex Tutor:** Деякі формули розгалужуються. Медіана — одна з них: коли n непарне, це середнє за порядком значення x₍₍ₙ₊₁₎/₂₎; коли парне — середнє двох серединних. Фігурна дужка ліворуч перелічує випадки.

$$
\text{median} = \begin{cases} x_{((n+1)/2)} & \text{if } n \text{ is odd} \\ \dfrac{x_{(n/2)} + x_{(n/2+1)}}{2} & \text{if } n \text{ is even} \end{cases}
$$

*Спершу прочитай умову праворуч, потім застосуй формулу ліворуч від неї. Для 4, 6, 7, 9 (n = 4): (6 + 7) ÷ 2 = 6,5.*

**Alex Tutor:** Застосуй випадки до списку з парною кількістю значень.

> **Вправа:** Четверо учнів узяли 3, 8, 5 і 12 уроків. За формулою медіани з випадками, чому дорівнює медіана?

**Alex Tutor:** Межі викидів — це дві нерівності. Значення позначають, якщо x < Q₁ − 1,5·IQR або x > Q₃ + 1,5·IQR, де IQR = Q₃ − Q₁. Якщо Q₁ = 6, а Q₃ = 10 уроків, IQR = 4, межі — 0 і 16, тож учня з 18 уроками позначать.

**Sofia:** Квартилі будуть у модулі 3, так? Тут мені потрібна лише нерівність.

> **Вправа:** Для тижневої кількості уроків на репетитора Q₁ = 12, а Q₃ = 20. Яка верхня межа, Q₃ + 1,5·IQR, вище якої репетитора позначають?

## min, max і «перший місяць, коли»

**Alex Tutor:** **max** і **min** вибирають більше чи менше значення. max(0, x − 50) — обмеження знизу: плата за використання понад 50 годин дорівнює нулю, доки не перейдеш 50, а потім росте. План із трьох напрямів на 5, 8 і 6 тижнів триває max(5, 8, 6) = 8 тижнів.

**Alex Tutor:** Порахуй одну плату за перевищення, перш ніж перейдемо до окупності.

> **Вправа:** Сервіс бере 30 грн за кожну годину понад 50 годин на місяць: плата = 30 × max(0, h − 50). У травні команда використала h = 64 години. Яка плата в гривнях?

**Alex Tutor:** Окупність поєднує Σ з нерівністю: перший місяць k, у якому накопичена маржа сягає вартості залучення, Σ ≥ CAC. Маржа 120, 100 і 90 дає накопичені підсумки 120, 220 і 310; за CAC 300 окупність — 3-й місяць.

> **Вправа:** Залучення учня коштує CAC = 450 грн. Маржа за місяцями — 140, 120, 110, 100 і 90 грн. У якому місяці k накопичений підсумок уперше задовольняє Σ ≥ CAC?

## Ставки за порогами: ефективна й гранична

**Alex Tutor:** Klasna платить партнерам із продажу комісію за порогами: 10% з перших 100 000 грн місячних продажів, 15% з частини від 100 000 до 300 000 і 20% з усього понад 300 000. Кожна ставка діє лише на свій шматок.

**Alex Tutor:** Для 380 000: 10% × 100 000 = 10 000; 15% × 200 000 = 30 000; 20% × 80 000 = 16 000. Разом **56 000 грн**. **Ефективна ставка** — 56 000 ÷ 380 000 = 14,74%; **гранична**, з наступної гривні, — 20%.

![Продажі 380 000 розбито на шматки: 100 000 під 10% (10 000), 200 000 під 15% (30 000) і 80 000 під 20% (16 000), разом 56 000; ефективна ставка 14,74%, гранична — 20%.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m2-l4-tiers-uk.png)

*Кожна ставка зачіпає лише свій шматок.*

**Sofia:** Тобто «ти на ставці 20%» не означає 20% від усього. 20% × 380 000 — це 76 000, переплата на 20 000.

> **Вправа:** За партнерською схемою Klasna (10% до 100 000, 15% від 100 000 до 300 000, 20% понад) яку комісію отримає партнер із 250 000 грн продажів?

**Alex Tutor:** Запиши це й перевір бюджет менеджера на більший місяць.

**Sofia:** Думаю, пастка — у найвищій ставці.

**Alex Tutor:** Здебільшого. І пам'ятай: коли ставки ростуть від шматка до шматка, ефективна завжди нижча за граничну.

> **Вправа:** Менеджер закладає в бюджет комісію партнера з 420 000 грн продажів як 20% × 420 000 = 84 000 грн. Схема: 10% до 100 000, 15% від 100 000 до 300 000 і 20% понад 300 000. Порахуй правильну комісію, назви ефективну й граничну ставку і одним реченням поясни помилку менеджера.

## Кейс: бонус за якість із випадками

**Alex Tutor:** Час для кейсу модуля. Hanna, фінансова директорка Klasna, підготувала проєкт бонусу за якість для репетиторів. Тут знадобиться все з модуля: індекси, сума, перетворення формули й нерівності.

**Sofia:** Тобто я перевірю правило, перш ніж його розішлють репетиторам.

**Alex Tutor:** Так. Стеж за межами: оцінка рівно 4,5 чи 4,8 має чітко потрапляти на один бік.

> **Вправа:** Напиши коротку записку для Hanna з перевіркою її правила бонусу.

## Де це знадобиться

> **У підсумку**
>
> - **<** не включає межу, **≤** включає. **±** дає інтервал: a ± b = [a − b; a + b].
> - Інтервал **повністю вище 0** виключає «ефекту немає»; той, що містить 0, — ні. **⇔** працює в обидва боки.
> - Формули з **випадками**: спершу перевір умову. Межі викидів: x < Q₁ − 1,5·IQR або x > Q₃ + 1,5·IQR.
> - **max/min** вибирають більше чи менше значення: max(0, x − ліміт) дорівнює нулю до ліміту. Окупність — перше k, де **Σ ≥ CAC**.
> - **Ставки за порогами** діють лише на свій шматок. Ефективна ставка = сума ÷ база; гранична — ставка на наступну одиницю.

> **Де це використовується**
>
> - [Середнє, медіана і мода](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/typical-value): медіана для непарного й парного n.
> - [Викиди в даних і скошені розподіли](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/outliers-and-skew): межі Тьюкі.
> - [p-значення та статистична значущість](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/p-value): відхиляємо H₀ ⇔ p < α.
> - [Довірчий інтервал](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/confidence-intervals): x̄ ± похибка.
> - [Кейс: читаємо завершений тест](/uk/courses/product-analytics/reading-a-test): інтервал повністю вище 0 чи ні.
> - [CAC, окупність і ROMI](/uk/courses/product-analytics/cac-payback-roi): окупність як перший місяць, коли накопичений підсумок сягає CAC.

**Alex Tutor:** Це був модуль 2. Далі — середні й частки від часток. Почнемо із середнього, медіани і того, де значення стоїть у списку.

- Попередній урок: [Перетворення формули: знайди те, що потрібно](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/rearranging-a-formula.md)
- Наступний урок: [Типове значення й позиція: середнє, медіана, квартилі](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/mean-median-trimmed-mean.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.