# Геометричні ряди

> Суми, що щоразу зменшуються на той самий множник: seed ÷ (1 − k) для рекомендацій, LTV ≈ маржа ÷ відтік і час життя 1 ÷ відтік, скінченна сума для ануїтетів, обмежений LTV і пенсійний рахунок.

- Курс: [Математика для статистики та юніт-економіки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics.md)
- Модуль: Зростання і час
- Урок 23/36, ~30 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/math-basics/geometric-series

## Кожен крок — частка попереднього

**Alex Tutor:** Ти й далі в продуктовій команді Klasna. У реферальної програми є дані: кожна нова родина в середньому приводить ще 0,3. Маркетинг планує цього місяця 100 родин із реклами. Скільки зрештою прийде?

**Sofia:** 100 із реклами, потім 30 від них, потім 9 від тих, потім 2,7… Це триває, але щоразу менше.

**Alex Tutor:** Це **геометричний ряд**: кожен член — попередній, помножений на той самий множник q. Коли |q| < 1, нескінченна сума має скінченний підсумок.

$$
a + aq + aq^2 + aq^3 + \dots = \frac{a}{1 - q}, \quad |q| < 1
$$

*a — перший член; q — множник від одного члена до наступного.*

**Alex Tutor:** Спершу: коли така сума перестає рости?

> **Вправа:** Нескінченна сума 1 + 1,1 + 1,1² + 1,1³ + … має скінченний підсумок.

**Alex Tutor:** За a = 100 і q = k = 0,3: 100 ÷ 0,7 ≈ 142,9 родини. Рекомендації додають seed × k ÷ (1 − k) = 100 × 0,3 ÷ 0,7 ≈ 42,9 зверху.

![100 родин із реклами приводять 30, ті — 9, далі 2,7 і 0,81; покоління в сумі наближаються до 100 ÷ (1 − 0,3) ≈ 142,9.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m6-l3-referral-generations-uk.png)

*Кожне покоління — 0,3 від попереднього.*

> **Вправа:** Реклама приводить 200 родин, а кожна нова родина в середньому приводить ще k = 0,2. Скільки родин прийде загалом?

## Час життя і LTV

**Sofia:** А якби k було 1 або більше?

**Alex Tutor:** Тоді члени перестають зменшуватися, і сума ніколи не зупиняється: зростання, що підтримує саме себе. Реальні програми майже ніколи туди не доходять, тож плануй із k помітно нижчим за 1.

**Alex Tutor:** Та сама сума ховається в цінності клієнта за весь час. Учасник Klasna Club лишає 200 грн маржі на місяць, а щомісяця йде 5%, тож щомісяця лишається 0,95 учасників.

**Sofia:** Очікувана кількість оплачених місяців: 1 + 0,95 + 0,95² + … = 1 ÷ (1 − 0,95) = 20. Тож час життя — 1 ÷ відтік, а LTV ≈ 200 × 20 = 4 000.

$$
T \approx \frac{1}{c} \qquad LTV \approx \frac{m}{c}
$$

*T — очікуваний час життя в місяцях; c — місячний відтік; m — маржа на місяць. Припускає, що відтік щомісяця однаковий, і не враховує дисконтування.*

> **Вправа:** Учасник лишає 150 грн маржі на місяць, місячний відтік — 4%. Чому дорівнює LTV ≈ m ÷ c, у гривнях?

**Alex Tutor:** Подивімося, наскільки чутливий цей час життя.

> **Вправа:** Місячний відтік у Klasna Club падає з 5% до 4%. На скільки місяців зростає очікуваний час життя 1 ÷ c?

## Коли сума закінчується

**Alex Tutor:** Часто потрібні лише перші n членів: горизонт 12 місяців, п'ятирічний контракт. Скінченна сума — це нескінченна мінус її хвіст.

$$
a + aq + \dots + aq^{n-1} = a \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
$$

*n членів, від a до aqⁿ⁻¹. У таблиці це також просто сума стовпця.*

**Sofia:** Для Club за 12 місяців: 200 × (1 − 0,95¹²) ÷ 0,05 ≈ 200 × 9,19 ≈ 1 839. Менше за половину від 4 000.

**Alex Tutor:** Це **обмежений LTV** — цінність у межах горизонту, якому довіряєш. Нескінченна сума роками додає дрібні суми, і ніхто не знає, чи відтік протримається так довго.

![За місячного відтоку 5% очікувані оплачені місяці складаються в 9,19 за 12 місяців і наближаються до 20 загалом, тож учасник із маржею 200 грн вартий 1 839 за рік і близько 4 000 загалом.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m6-l3-capped-ltv-uk.png)

*Перший рік містить менше за половину нескінченної суми.*

> **Вправа:** Учасник лишає 150 грн маржі на місяць за місячного відтоку 4%. Який обмежений LTV за 12 місяців, 150 × (1 − 0,96¹²) ÷ 0,04, у гривнях?

**Alex Tutor:** Дисконтування має ту саму форму. За 25% на рік гроші кожного року варті 0,8 попереднього, бо 1 ÷ 1,25 = 0,8.

**Sofia:** Тож п'ять щорічних платежів по 1 сьогодні варті 0,8 + 0,64 + 0,512 + 0,4096 + 0,32768?

**Alex Tutor:** Так: 2,68928 — це **коефіцієнт ануїтету**. За формулою a = 0,8, q = 0,8, n = 5: 0,8 × (1 − 0,8⁵) ÷ 0,2 = 2,68928. Помнож на платіж — і маєш теперішню вартість кредиту чи контракту.

**Sofia:** А таблиця просто склала б п'ять дисконтованих клітинок.

> **Вправа:** Кредит повертається п'ятьма щорічними платежами по 100 000 грн, перший — через рік. Яка їхня теперішня вартість за 25% на рік?

## Рахунок, що росте

**Alex Tutor:** Візьми множник понад 1 — і маєш накопичувальний рахунок. Щороку кладеш P під ставку r: перший внесок росте n − 1 раз, останній — жодного.

$$
S = P \cdot \frac{(1 + r)^n - 1}{r}
$$

*S — сума на рахунку через n років; P — щорічний внесок наприкінці кожного року; r — річна ставка; n — роки. Та сама скінченна сума з a = P і q = 1 + r.*

**Sofia:** Три роки по 10 000 під 10%: 12 100 + 11 000 + 10 000 = 33 100. І 10 000 × (1,331 − 1) ÷ 0,1 — теж 33 100.

**Alex Tutor:** Саме так курс особистих фінансів прогнозує пенсійний рахунок. Формулі потрібні сталий внесок і стала ставка; реальна дохідність коливається, тож читай результат як діапазон, а не обіцянку.

**Sofia:** А щоб порівняти рахунок із сьогоднішніми грошима, його ще треба повернути до сьогодні.

![Кіт іде полицею з мисками, які зменшуються зліва направо, і в кожній менше корму.](https://productovi.com/courses/math-basics/inline/m6-l3-i1.webp)

*Кожен крок — частка попереднього, тож сума лишається скінченною.*

> **Вправа:** Ти відкладаєш 24 000 грн наприкінці кожного року впродовж 20 років під 8% на рік. Який вираз дає підсумкову суму?

**Alex Tutor:** Перш ніж будь-яке з цих чисел піде в план, перевірмо, що воно припускає.

> **Вправа:** LTV ≈ m ÷ c дає 4 000 грн для учасника Club із маржею 200 грн і місячним відтоком 5%. На які припущення спирається це число? Вибери усі правильні відповіді.

## Твоя черга: скільки вартий учасник

**Alex Tutor:** Leo хоче збільшити бюджет на залучення в Club: «LTV = 200 ÷ 0,05 = 4 000. Можемо платити до 4 000 за учасника й лишатися в нулі».

**Sofia:** Формула правильна. Неправильне те, що вона припускає.

**Alex Tutor:** Тоді скажи йому, що припускають ці 4 000 і що краще взяти натомість, щоб задати бюджет.

> **Вправа:** Дай відповідь Leo, CEO Klasna, 3–4 реченнями: чому LTV = 200 ÷ 0,05 = 4 000 ризиковано брати за стелю вартості залучення і яке число взяти? Використай суму за 12 місяців.

## Де це знадобиться

> **У підсумку**
>
> - **Нескінченна сума:** a + aq + aq² + … = a ÷ (1 − q), лише для |q| < 1.
> - Рекомендації: разом = seed ÷ (1 − k); додають рекомендації = seed × k ÷ (1 − k).
> - **Час життя ≈ 1 ÷ відтік**, **LTV ≈ маржа ÷ відтік** — за сталого відтоку й без дисконтування.
> - **Скінченна сума:** a × (1 − qⁿ) ÷ (1 − q). Вона дає обмежений LTV, коефіцієнт ануїтету (0,8 + … + 0,32768 = 2,68928 за 25%) і, з q = 1 + r, накопичувальний рахунок P × ((1 + r)ⁿ − 1) ÷ r.

> **Де це використовується**
>
> - [Запрошення і вірусне зростання](/uk/courses/product-analytics/virality): разом = seed ÷ (1 − k).
> - [Канали й атрибуція в маркетингу](/uk/courses/product-analytics/channels): беззбитковий CAC із k ÷ (1 − k).
> - [Крива LTV](/uk/courses/product-analytics/ltv-curve): обмежений LTV, прочитаний із кривої.
> - [Дисконтований LTV і окупність CAC у грошах](/uk/courses/finance-for-product/ltv-and-cac-payback-in-cash): скінченна дисконтована сума.
> - [Кейс: будувати власний відеоклас чи й далі платити за хвилини?](/uk/courses/finance-for-product/build-or-buy-case): множники 0,8, 0,64, … 0,32768.
> - [Підняти ціну](/uk/courses/bootstrapped-product/raising-the-price): ціна ÷ відтік як цінність клієнта.
> - [Пенсія: що дасть держава і що додаси ти](/uk/courses/personal-finance/retirement): рахунок = P × ((1 + r)ⁿ − 1) ÷ r.

**Alex Tutor:** Наступного разу — e та ln і як вони перетворюють степені й шанси на те, що можна розв'язати.

- Попередній урок: [Дисконтування](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/discounting.md)
- Наступний урок: [e, ln, шанси й сигмоїда](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/e-ln-odds-sigmoid.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.