# Позначення: індекси, риски, «дашки» і грецькі літери

> Як читати x_i, упорядковані значення, x̄ і ŷ, грецькі літери μ, σ, α, β і λ, Δ для зміни і чим вибірка відрізняється від генеральної сукупності.

- Курс: [Математика для статистики та юніт-економіки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics.md)
- Модуль: Мова формул
- Урок 5/36, ~23 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/math-basics/formula-notation

## Формула — це стенографія

**Alex Tutor:** Модуль 2 — про мову формул. Ти й далі в продуктовій команді Klasna, і відтепер читатимеш формули з курсів статистики та фінансів, не спотикаючись об символи.

**Sofia:** У статистиці мені весь час трапляються x з маленькою i, x з рискою, μ, σ... Схоже на шифр.

**Alex Tutor:** Шифр із дуже простими правилами. Почнімо з маленької літери під рядком — **індексу**. П'ятеро учнів у березні взяли 6, 9, 4, 7 і 14 уроків. Назвімо цей список x. Індекс каже, яке саме значення: x₁ = 6, x₂ = 9, x₅ = 14.

**Alex Tutor:** xᵢ означає «i-те значення, будь-яке з них», а **n** — скільки всього значень: n = 5. Тож i пробігає від 1 до n.

**Alex Tutor:** Коротка перевірка перед дужками: читай індекс як позицію.

> **Вправа:** П'ятеро учнів у березні взяли 6, 9, 4, 7 і 14 уроків, саме в такому порядку. Назвімо список x. Чому дорівнюють n і x₄?

**Sofia:** А коли індекс у дужках?

**Alex Tutor:** Тоді значення спершу впорядковують. x₍₁₎ — найменше, x₍ₖ₎ — k-те знизу. Упорядкований список — 4, 6, 7, 9, 14, тож x₍₂₎ = 6, а x₂ = 9. Медіана п'яти значень — середнє за порядком, x₍₃₎ = 7.

![П'ять котів сидять у ряд у тому порядку, в якому прийшли; нижче ті самі п'ять котів знову сидять у ряд, від найменшого до найбільшого.](https://productovi.com/courses/math-basics/inline/m2-l1-i1.webp)

*Ті самі п'ять значень у порядку збору і в упорядкованому вигляді.*

![Список 6, 9, 4, 7, 14 з індексами x₁–x₅; упорядкований — 4, 6, 7, 9, 14, тож x₂ = 9, але x₍₂₎ = 6, а медіана — x₍₃₎ = 7.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m2-l1-indices-uk.png)

*Індекс у дужках рахує від низу впорядкованого списку.*

> **Вправа:** Четверо учнів узяли 3, 8, 5 і 12 уроків, саме в такому порядку. Чому дорівнюють x₃ і x₍₃₎?

## Риски й «дашки»

**Alex Tutor:** **Риска** зверху означає «середнє від». x̄ (читається «ікс із рискою») — середнє списку: (6 + 9 + 4 + 7 + 14) ÷ 5 = 40 ÷ 5 = **8 уроків**. Далі трапиться p̄ — середня частка, і c̄m — середня маржа.

**Sofia:** А «дашок», як на ŷ?

**Alex Tutor:** **«Дашок»** означає «оцінене» або «передбачене моделлю». Лінія тренду обіцяла, що травень дасть ŷ = 9 800 уроків. Насправді було y = 9 620. Різниця y − ŷ = −180 — помилка моделі за цей місяць, **залишок**.

**Sofia:** Тобто y — те, що сталося, ŷ — здогад моделі, а порядок y − ŷ каже, що модель переоцінила.

**Alex Tutor:** Саме так: від'ємний залишок означає, що модель була надто оптимістичною. Риска — середнє від. «Дашок» — здогад про.

> **Вправа:** Модель передбачила ŷ = 1 250 реєстрацій за тиждень, а тиждень приніс y = 1 190. Чому дорівнює залишок y − ŷ?

## Грецькі — для цілого, латинські — для вибірки

**Sofia:** Навіщо μ і σ, якщо x̄ — уже середнє?

**Alex Tutor:** Бо вони описують різні групи. У березні Klasna мала **N = 1 120** активних учнів — це **генеральна сукупність**. Наші п'ятеро — **вибірка**, n = 5. Велика N — для цілого, мала n — для частини, яку ти розглядаєш.

**Alex Tutor:** Середнє генеральної сукупності — **μ** (мю), її розкид — **σ** (сигма). Їх майже ніколи не видно. Ми рахуємо x̄ і s за вибіркою й беремо їх як оцінки: x̄ = 8 — наш найкращий здогад про μ.

![Генеральна сукупність із N = 1 120 учнів має справжнє середнє μ і розкид σ, яких не видно; вибірка з n = 5 дає x̄ = 8 і s, які їх оцінюють.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m2-l1-sample-population-uk.png)

*Латинські літери рахують за вибіркою, грецькі описують ціле.*

**Sofia:** А α, β, λ?

**Alex Tutor:** **α** (альфа) — рівень хибної тривоги, який ти обираєш для тесту, зазвичай 0,05. **β** (бета) — імовірність пропустити справжній ефект, а в регресії тією самою літерою позначають коефіцієнти. **λ** (лямбда) показує силу фактора у факторному аналізі.

**Alex Tutor:** Тож одна літера в різних уроках може означати різне. Підпис під формулою — це словник, читай його завжди.

> **Вправа:** Ти опитуєш 200 учнів Klasna й отримуєш середню оцінку 4,3 з 5. Правильно записати μ = 4,3.

> **Вправа:** Зістав кожен символ з його значенням.

**Alex Tutor:** Ще на мить повернімося до α, β і λ. Що означає цей план тесту?

> **Вправа:** У плані тесту написано: α = 0,05. Що тут означає α?

## Δ: на скільки змінилося

**Alex Tutor:** **Δ** (дельта) означає «зміна». ΔQ = Q_нове − Q_старе. У березні Klasna провела 7 840 уроків, у травні — 9 620, тож ΔQ = 9 620 − 7 840 = **+1 780 уроків**.

**Sofia:** А ΔQ%?

**Alex Tutor:** Та сама зміна як частка від старого значення — відносна зміна з модуля 1: 1 780 ÷ 7 840 = 0,2270, тобто **+22,70%**. У курсі фінансів ще трапляються Δspend — додаткові гроші на маркетинг — і ΔAR — зміна того, що винні клієнти.

**Alex Tutor:** І ще одна позначка: **фігурна дужка** під частиною формули — це просто підпис для цієї частини.

$$
CM = \underbrace{P - 0.025P}_{\text{Klasna keeps}} - \underbrace{(T + V)}_{\text{costs per lesson}}
$$

*Той самий маржинальний дохід, що й у модулі 1; дужки лише називають частини: що лишається від ціни після комісії 2,5%, і витрати на репетитора й відео.*

**Sofia:** Тобто дужка нічого не змінює в арифметиці. Вона просто підказує, що це за шматок.

> **Вправа:** У квітні Klasna Club, платна щомісячна підписка школи, мав 640 підписників, у травні — 712. Чому дорівнює ΔQ%, відносна зміна, у відсотках?

**Alex Tutor:** А фігурні дужки з формули вище — вони щось змінюють?

> **Вправа:** У формулі CM = P − 0,025P − (T + V) фігурна дужка під (T + V) з підписом «витрати на урок» змінює те, як рахують формулу.

## Твоя черга: виправ нотатку

**Alex Tutor:** Колега написав у командний чат: «μ = 8 уроків на учня, за нашою вибіркою з 5 учнів». Число правильне, а символ — ні.

**Sofia:** Бо 8 вийшло з п'ятьох людей, а не з усіх.

**Alex Tutor:** Так. Перепиши нотатку так, щоб статистик не скривився, і поясни, що означає кожен символ.

> **Вправа:** Колега пише: «μ = 8 уроків на учня, за нашою вибіркою з 5 учнів». Того місяця Klasna мала 1 120 активних учнів. Перепиши нотатку правильно й одним-двома реченнями поясни, що тут означають x̄, μ, n і N.

## Де це знадобиться

> **У підсумку**
>
> - **xᵢ** — i-те значення в порядку збору; **x₍ₖ₎** — k-те після впорядкування від найменшого.
> - **Риска** означає середнє (x̄, p̄); **«дашок»** — прогноз моделі (ŷ). Залишок — це y − ŷ.
> - **Грецькі** літери (μ, σ) описують усю генеральну сукупність; **латинські** (x̄, s) рахують за вибіркою. **N** — розмір сукупності, **n** — розмір вибірки.
> - Значення α, β і λ задає урок: читай підпис.
> - **Δ** — це нове − старе; ΔQ% — ця зміна, поділена на старе значення. Фігурна дужка лише підписує частину.

> **Де це використовується**
>
> - [Середнє, медіана і мода](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/typical-value): медіана через упорядковані значення x₍ₖ₎.
> - [Вибірка, генеральна сукупність і нормальний розподіл](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/samples-and-normal-distribution): μ і σ проти x̄ і s.
> - [p-значення та статистична значущість](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/p-value): α як рівень, який задають до тесту.
> - [Проста лінійна регресія](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/linear-regression): ŷ і залишки y − ŷ.
> - [Ціна проти обсягу](/uk/courses/finance-for-product/price-vs-volume): ΔQ% — обсяг, який має принести знижка.
> - [Кейс: план проти факту](/uk/courses/finance-for-product/plan-vs-actual-case): фігурні дужки, що підписують частини обсягу, міксу й ціни.

**Alex Tutor:** Наступного разу — знак Σ, скорочення для «додай усе».

- Попередній урок: [Оцінка на серветці](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/back-of-the-envelope-estimates.md)
- Наступний урок: [Знак Σ: суми, межі й накопичені підсумки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/the-sum-sign.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.