# Математичне сподівання і сценарії

> Зважування наслідків за ймовірностями, воронки угод і виплати за результатом, очікувана втрата проти страхової премії й ризик в однакових одиницях.

- Курс: [Математика для статистики та юніт-економіки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics.md)
- Модуль: Імовірність і розподіли
- Урок 27/36, ~26 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/math-basics/expected-value

## Три варіанти літа

**Alex Tutor:** Повертаємося до продуктової команди Klasna: школа думає про літній інтенсив. Hanna накидала три сценарії його прибутку: добре літо — +300 000 грн; звичайне — +120 000; погане — −80 000.

**Sofia:** То яке число йде в план?

**Alex Tutor:** Жодне окремо. Дай кожному ймовірність: 0,25 добрий, 0,50 звичайний, 0,25 поганий. Разом вони мають дати 1. Потім помнож кожен наслідок на його ймовірність і додай — це **математичне сподівання**.

$$
EV = \sum_i p_i \cdot x_i
$$

*x_i — наслідок сценарію i; p_i — його ймовірність. Сума p_i дорівнює 1.*

**Alex Tutor:** 0,25 × 300 000 + 0,50 × 120 000 + 0,25 × (−80 000) = 75 000 + 60 000 − 20 000 = **115 000 грн**.

![Прибуток кожного сценарію, помножений на ймовірність, дає 75 000, 60 000 і −20 000; їхня сума, 115 000 грн, — це сподівання.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m7-l3-scenario-fork-uk.png)

*Зваж, потім додай.*

**Sofia:** Але жодне літо не принесе рівно 115 000.

**Alex Tutor:** Так. Сподівання — це середнє, яке вийшло б за багатьох таких ставок. Це літо буде одним із трьох наслідків, і є 25% шансу втратити 80 000. Завжди показуй діапазон поруч зі сподіванням.

> **Вправа:** Тест ціни Club має три можливі результати для зміни прибутку наступного кварталу: +90 000 грн з імовірністю 0,2, +30 000 з 0,6, −40 000 з 0,2. Яка очікувана зміна в гривнях?

**Alex Tutor:** І одне твердження про ці 115 000, яке варто перевірити.

> **Вправа:** Сценарії Hanna для літнього інтенсиву — +300 000 грн, +120 000 і −80 000 з імовірностями 0,25, 0,50 і 0,25, тож очікуваний прибуток — 115 000 грн. Отже, найімовірніший результат цього літа — приблизно 115 000 грн.

## Воронка угод

**Alex Tutor:** Klasna for Teams застосовує ту саму ідею до воронки продажів. Угода варта ймовірність виграшу × уроки на рік × маржинальний дохід з уроку. Одна логістична компанія: 0,4 × 600 × 339 = 81 360 грн.

**Sofia:** А вся воронка — просто сума таких чисел?

**Alex Tutor:** Так, сподівання додається угода за угодою. Лише пам’ятай: угода з 0,4 ніколи не принесе 0,4 грошей — вона принесе все або нічого.

**Sofia:** Тобто десять малих угод опиняться ближче до свого сподівання, ніж одна велика з таким самим сподіванням?

**Alex Tutor:** Зазвичай так. Багато незалежних ставок усереднюються: якісь виграють, якісь програють. Одна велика угода з 0,4 — це все або нічого, тож воронка, що на ній тримається, значно ризикованіша навіть за того самого сподівання.

> **Вправа:** Дві угоди: A має шанс 0,5 на 400 уроків на рік, B — шанс 0,25 на 1 200 уроків. Кожен урок лишає 339 грн маржинального доходу. Який очікуваний маржинальний дохід воронки на рік у гривнях?

**Alex Tutor:** Ось дві воронки з однаковим сподіванням.

> **Вправа:** Дві воронки Klasna for Teams. A: десять незалежних угод, кожна з шансом 0,4 на 25 000 грн на рік. B: одна угода з шансом 0,4 на 250 000 грн на рік. Яке твердження правильне?

## Ціна, що залежить від майбутнього

**Alex Tutor:** Угоди можуть містити платіж, який може відбутися, а може й ні. Скажімо, Klasna купує невелику платформу репетиторів за 4 мільйони грн зараз і ще 2 мільйони, якщо платформа досягне цілі з доходу наступного року. Цей другий платіж — **виплата за результатом (earn-out)**.

**Sofia:** Тобто ціна — або 4, або 6 мільйонів, залежно від наступного року?

**Alex Tutor:** Зрештою так. Але вже сьогодні її можна оцінити: певна частина плюс невизначена, помножена на її ймовірність.

> **Вправа:** Klasna купує невелику платформу репетиторства за 4 млн грн зараз і ще 2 млн, якщо платформа досягне цілі з виручки наступного року. Klasna вважає, що шанс досягти цілі — 50%. Яка очікувана загальна ціна?

![Кіт із маленькими терезами сидить там, де сходяться три стежки; на їхніх кінцях повна миска, напівповна й порожня.](https://productovi.com/courses/math-basics/inline/m7-l3-i1.webp)

*Кожна миска важить стільки, наскільки вона ймовірна.*

## Очікувана втрата і страховка

**Alex Tutor:** Сподівання пояснює й страховку. Обладнання студії запису Klasna коштує 200 000 грн, і щороку є приблизно 3% шансу втратити його через пожежу чи крадіжку. **Очікувана втрата** — 0,03 × 200 000 = 6 000 грн на рік.

**Sofia:** А страховик просить 9 000. То страховка — погана угода?

**Alex Tutor:** За сподіванням — завжди: премія покриває витрати й прибуток страховика. Але без неї один поганий рік коштує 200 000. З франшизою 20 000 премія падає до 6 500: очікувані витрати 6 500 + 0,03 × 20 000 = 7 100, найгірший випадок — 26 500.

![Без страховки — 6 000 очікувано, але до 200 000; повна — 9 000 гарантовано; франшиза 20 000 — 7 100 очікувано, максимум 26 500.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m7-l3-insurance-options-uk.png)

*Страхуй втрати, яких не витримаєш, а не дрібні.*

**Alex Tutor:** Франшиза заощаджує 2 500 на премії й коштує 20 000 лише в поганий рік. Вона вигідна, доки шанс страхового випадку менший за 2 500 ÷ 20 000 = 12,5% на рік.

> **Вправа:** Ноутбук репетитора коштує 40 000 грн, а шанс утратити чи безнадійно зламати його за рік — 5%. Яка очікувана втрата на рік у гривнях?

**Alex Tutor:** Тепер оціни франшизу самостійно.

> **Вправа:** Ноутбук репетитора за 40 000 грн: повна страховка коштує 3 200 грн на рік, а з франшизою 10 000 грн — 2 400. До якого шансу страхового випадку на рік франшиза вигідна, у відсотках?

## Одиниці мають збігатися

**Alex Tutor:** Проєктні команди так само рахують ризики: вплив ризику = імовірність × наслідок. 20% шансу затримки на 10 днів — це 2 дні. 10% шансу перевитрати на 50 000 грн — це 5 000 грн.

> **Вправа:** У проєкту є шанс 20% на затримку в 10 днів (вплив 2 дні) і шанс 10% на перевитрату 50 000 грн (вплив 5 000 грн). Із цих двох ризиків загальний вплив на проєкт — 2 + 5 000 = 5 002.

## Твоя черга

**Alex Tutor:** На планувальній зустрічі Leo читає підсумок і каже: «Сподівання 115 000, чудово, отже, інтенсив заробить 115 000».

> **Вправа:** У літнього інтенсиву Hanna три сценарії: +300 000 грн, +120 000 і −80 000 з імовірностями 0,25, 0,50 і 0,25, тож очікуваний прибуток — 115 000 грн. Двома-трьома реченнями поясни Leo, CEO Klasna, що означають 115 000 і на що ще варто дивитися поруч.

## Де це знадобиться

> **У підсумку**
>
> - **Сподівання** EV = Σ p·x: помнож кожен наслідок на його ймовірність і додай. Сума p дорівнює 1.
> - Сподівання — середнє за багатьох ставок; одна ставка дає один наслідок. Показуй і діапазон.
> - Воронки: імовірність виграшу × уроки × маржа, угода за угодою. Виплата за результатом: певна частина + p × невизначена.
> - **Очікувана втрата** = p × L. Премія завжди більша; страхуй втрати, яких не витримаєш.
> - **Вплив ризику** = імовірність × наслідок, і додається лише в одних одиницях.

> **Де це використовується**
>
> - [Угода](/uk/courses/bootstrapped-product/the-deal): як оцінити виплату за результатом, яку не контролюєш.
> - [Страхування: спершу великі втрати](/uk/courses/personal-finance/insurance-big-losses-first): премія проти очікуваної втрати і франшиза.
> - [Кейс: чекліст захисту сім'ї Sam](/uk/courses/personal-finance/protection-checklist-case): які ризики страхувати, а які нести самому.
> - [Прогноз активних користувачів](/uk/courses/product-analytics/forecasting): сценарії з діапазоном замість одного числа.
> - [Сценарії й чутливість](/uk/courses/finance-for-product/scenarios-and-sensitivity): добрий, базовий і поганий варіанти плану.

**Alex Tutor:** Наступного разу — багато тестів одразу і чому двадцять перевірок майже гарантують одну хибну тривогу.

- Попередній урок: [Умовна ймовірність і таблиця 2×2](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/conditional-probability.md)
- Наступний урок: [Багато тестів одразу](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/many-tests-at-once.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.