# e, ln, шанси й сигмоїда

> ln скасовує степінь, тож розв'язує рівняння для часу; шанси = p ÷ (1 − p), логарифм шансів і сигмоїда p = 1 ÷ (1 + e⁻ᶻ), eᵇ як множник шансів і окупність із відтоком.

- Курс: [Математика для статистики та юніт-економіки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics.md)
- Модуль: Зростання і час
- Урок 24/36, ~35 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/math-basics/e-ln-odds-sigmoid

## ln скасовує степінь

**Alex Tutor:** Повертаємося до Klasna на останній урок модуля про зростання. Постійно виникають два питання: «скільки часу, доки…?» і «наскільки ймовірно, що…?». Для обох потрібні дві кнопки калькулятора: e та ln.

**Sofia:** (1 + r)ᵗ я знаю. Але як дістати t зі степеня?

**Alex Tutor:** Логарифмом. Натуральний логарифм, **ln**, перетворює степінь на добуток: ln(aᵗ) = t × ln a. Тож із aᵗ = b маємо t = ln b ÷ ln a.

$$
a^t = b \;\Rightarrow\; t = \frac{\ln b}{\ln a}
$$

*ln — натуральний логарифм, кнопка калькулятора чи функція таблиці (=LN). Для цього відношення підходить будь-який логарифм, якщо обидва однакові.*

**Alex Tutor:** За скільки гроші подвоюються під 25% на рік? 1,25ᵗ = 2, тож t = ln 2 ÷ ln 1,25 = 0,6931 ÷ 0,2231 ≈ 3,1 року.

> **Вправа:** За скільки років гроші потроюються під 8% на рік? Два знаки після коми.

## Що таке e

**Sofia:** А e? Воно з'являється в кожній логістичній формулі.

**Alex Tutor:** e ≈ 2,718 — це те, на скільки виростає 1 під 100% на рік, якщо відсотки нараховуються безперервно, а не раз: (1 + 1/n)ⁿ зі зростанням n. А ln — це просто степінь e: ln(eˣ) = x.

**Alex Tutor:** Для цього курсу потрібна лише пара: e в якомусь степені — це множник зростання, а ln повертає тебе до степеня.

**Sofia:** Тобто eˣ і ln скасовують одне одного, як квадрат і квадратний корінь.

**Alex Tutor:** Швидка перевірка: звідки береться e.

> **Вправа:** e ≈ 2,718 — це те, на скільки виростає 1 за рік під 100%, якщо відсотки нараховуються один раз, наприкінці року.

## Шанси й сигмоїда

**Alex Tutor:** Тепер «наскільки ймовірно». Скажімо, 20% учнів після пробного уроку купують пакет. **Шанси** порівнюють «так» із «ні»: 0,2 ÷ 0,8 = 0,25, «один до чотирьох». За p = 0,5 шанси дорівнюють 1.

$$
\text{odds} = \frac{p}{1 - p} \qquad p = \frac{1}{1 + e^{-z}}, \quad z = \ln(\text{odds}) = b_0 + b_1 x
$$

*p — імовірність; z — логарифм шансів, бал, який підсумовує логістична регресія; друга формула, сигмоїда, перетворює будь-який z на p між 0 і 1.*

> **Вправа:** Три чверті учнів, які приходять на другий урок, купують пакет. Які шанси покупки?

**Alex Tutor:** А тепер назад, від шансів до ймовірності.

> **Вправа:** Модель каже, що шанси учня після пробного уроку купити пакет — 1,5. Яка ймовірність покупки? Два знаки після коми.

**Sofia:** Навіщо взагалі брати логарифм шансів? Шанси й так порівнюють «так» із «ні».

**Alex Tutor:** Шанси йдуть від 0 до нескінченності й несиметричні довкола 1: 0,25 і 4 — дзеркальні. ln робить їх симетричними довкола 0, −1,39 і +1,39, і дає моделі змогу додавати.

**Alex Tutor:** Логістична модель підсумовує бал z = ln(шанси), наприклад z = −1,5 + 0,5 × уроки за перший тиждень. Потім **сигмоїда** перетворює z на ймовірність.

**Sofia:** За 3 уроків z = 0, тож p = 1 ÷ (1 + e⁰) = 0,5. За 5 уроків z = 1: p = 1 ÷ (1 + e⁻¹) ≈ 0,73.

![Сигмоїда перетворює бал z на ймовірність між 0 і 1: z = −1 дає 0,27, z = 0 — 0,5, z = 1 — 0,73; кожен крок z на 1 множить шанси на e ≈ 2,72.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m6-l4-sigmoid-uk.png)

*Крута посередині, пласка на краях: той самий крок z найсильніше зсуває p біля 0,5.*

> **Вправа:** За z = −1,5 + 0,5 × уроки яка ймовірність покупки для учня з 1 уроком за перший тиждень? Два знаки після коми.

## eᵇ множить шанси

**Alex Tutor:** То що означає b₁ = 0,5? Не +0,5 до ймовірності. Кожен додатковий урок додає 0,5 до логарифма шансів, а це множить шанси на e^0,5 ≈ 1,65.

**Sofia:** Бо додавання всередині ln — це множення ззовні. А зміна ймовірності залежить від того, звідки починаєш: велика біля 0,5, крихітна біля 0 чи 1.

**Alex Tutor:** Перевір: z = 0 дає шанси e⁰ = 1, z = 1 — шанси e ≈ 2,72. Один крок z — шанси множаться на e. За b₁ = 0,5 один урок — це пів кроку: множник 1,65.

**Sofia:** Тож у звіті треба писати «шанси в 1,65 раза більші», а не «+50% імовірності». Це дуже різні твердження.

> **Вправа:** У логістичній моделі коефіцієнт змінної «приєднався до розмовного клубу» дорівнює b = 0,7. Що він означає?

## Окупність із відтоком

**Alex Tutor:** Повернімося до «скільки часу». Учасник Club лишає 200 грн на місяць, щомісяця йде 5%, а залучення одного коштує 1 500. За t місяців очікувана маржа — 200 × (1 − 0,95ᵗ) ÷ 0,05. Коли вона сягне 1 500?

**Sofia:** Переставляю: 0,95ᵗ = 1 − 1 500 × 0,05 ÷ 200 = 0,625. Потім ln: t = ln 0,625 ÷ ln 0,95 ≈ −0,470 ÷ −0,0513 ≈ 9,2 місяця.

$$
t = \frac{\ln\left(1 - \frac{CAC \cdot c}{g}\right)}{\ln(1 - c)}
$$

*g — маржа з учасника на місяць; c — місячний відтік; CAC — вартість залучення одного учасника. Якщо CAC ≥ g ÷ c, вираз у дужках 0 або від'ємний, і учасник ніколи не окупається.*

![Очікувана маржа з учасника наближається до 200 ÷ 0,05 = 4 000 грн і перетинає вартість залучення 1 500 грн приблизно за 9,2 місяця; вартість понад 4 000 не окупилася б ніколи.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m6-l4-payback-with-churn-uk.png)

*Крива вирівнюється, бо учасники йдуть, тож окупність може бути «ніколи».*

**Alex Tutor:** А стеля — 4 000, LTV з минулого уроку. Заплатиш більше — і формула попросить логарифм від'ємного числа: такого місяця немає.

**Alex Tutor:** Перевірмо формулу окупності на інших числах.

> **Вправа:** Учасник Club лишає 250 грн маржі на місяць, місячний відтік — 5%, а залучення одного учасника коштує 2 000 грн. За скільки місяців очікувана маржа окупить витрати? Два знаки після коми.

> **Вправа:** Колега читає модель розмовного клубу (b = 0,7) і пише: «Участь у клубі підвищує ймовірність покупки на 70 відсоткових пунктів». Виправ це 2–3 реченнями з одним прикладом.

## Кейс: який канал окупається?

**Alex Tutor:** Останнє завдання модуля. Маркетинг порівнює два канали для Club, а правило Leo просте: учасник має окупитися за 12 місяців.

**Sofia:** Тож окупність для кожного за формулою з ln і стеля g ÷ c, щоб побачити, чи це взагалі можливо.

**Alex Tutor:** І пам'ятай, що канали приводять різних учасників: відрізняється відтік, а не лише ціна залучення.

> **Вправа:** Порахуй окупність для обох каналів і порадь, який проходить правило Leo про 12 місяців.

## Де це знадобиться

> **У підсумку**
>
> - **ln** скасовує степінь: aᵗ = b ⇒ t = ln b ÷ ln a. Подвоєння під 25% займає ln 2 ÷ ln 1,25 ≈ 3,1 року.
> - **e** ≈ 2,718; eˣ і ln скасовують одне одного.
> - **Шанси** = p ÷ (1 − p); логістична модель підсумовує z = ln(шанси), а **сигмоїда** p = 1 ÷ (1 + e⁻ᶻ) повертає його в імовірність.
> - Коефіцієнт b множить шанси на **eᵇ**; зміна ймовірності залежить від стартової точки.
> - Окупність із відтоком: t = ln(1 − CAC·c ÷ g) ÷ ln(1 − c); якщо CAC ≥ g ÷ c — ніколи.

> **Де це використовується**
>
> - [Логістична регресія та класифікація](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/logistic-regression): шанси, ln(шанси) = b₀ + b₁x і сигмоїда.
> - [CAC, окупність і ROMI](/uk/courses/product-analytics/cac-payback-roi): коли когорта окуповує вартість залучення.
> - [Дисконтований LTV і окупність CAC у грошах](/uk/courses/finance-for-product/ltv-and-cac-payback-in-cash): окупність місяць за місяцем.

**Alex Tutor:** На цьому зростання й час завершено. Далі — сама ймовірність: p, 1 − p і що за ними ховається.

- Попередній урок: [Геометричні ряди](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/geometric-series.md)
- Наступний урок: [p і 1 − p](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/p-and-1-minus-p.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.