# Дисконтування

> Складні відсотки навпаки: PV = FV ÷ (1 + r)ᵗ, NPV як сума дисконтованих грошових потоків, IRR методом спроб, бар'єрна ставка й окупність із лінійною інтерполяцією.

- Курс: [Математика для статистики та юніт-економіки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics.md)
- Модуль: Зростання і час
- Урок 22/36, ~27 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/math-basics/discounting

## Гривня потім варта менше зараз

**Alex Tutor:** Ти й далі в продуктовій команді Klasna, і тепер треба оцінити проєкт: 1 000 000 грн сьогодні на сервіс пробних іспитів, який має повернути 300 000, 400 000 і 800 000 за наступні три роки.

**Sofia:** Повернеться 1,5 мільйона за вкладений мільйон. Очевидне «так»?

**Alex Tutor:** Ще ні, бо гроші потім варті менше, ніж гроші зараз. Минулого разу: PV виростає до PV × (1 + r)ᵗ. Запусти це навпаки — і майбутня сума сьогодні варта FV ÷ (1 + r)ᵗ.

$$
PV = \frac{FV}{(1 + r)^t}
$$

*PV — теперішня вартість; FV — сума через t років; r — ставка дисконтування на рік: скільки ці гроші могли б заробити деінде за схожого ризику.*

**Alex Tutor:** Klasna бере 25% на рік. Тож 1 000 000 через два роки сьогодні варті 1 000 000 ÷ 1,25² = 640 000. Множник 1 ÷ (1 + r)ᵗ — це **коефіцієнт дисконтування**.

> **Вправа:** Скільки сьогодні варті 500 000 грн, отримані через 3 роки, за ставки дисконтування 20% на рік? Округли до гривень.

**Alex Tutor:** Тепер сам множник.

> **Вправа:** Який коефіцієнт дисконтування для грошей, отриманих через 2 роки, за ставки 25% на рік?

## Чиста теперішня вартість

**Alex Tutor:** Тепер продисконтуй кожен рік проєкту й склади все, а сьогоднішній 1 000 000 запиши як від'ємний потік. Ця сума — **NPV**.

$$
NPV = \sum_{t=0}^{n} \frac{CF_t}{(1 + r)^t} = CF_0 + \frac{CF_1}{1 + r} + \frac{CF_2}{(1 + r)^2} + \dots
$$

*CFₜ — грошовий потік у році t (від'ємний, коли гроші йдуть); t = 0 — це сьогодні, тож він не дисконтується.*

**Sofia:** 300 000 ÷ 1,25 = 240 000. 400 000 ÷ 1,5625 = 256 000. 800 000 ÷ 1,953125 = 409 600. Разом 905 600.

![За 25% на рік 300 000 у 1-му році сьогодні варті 240 000, 400 000 у 2-му — 256 000, 800 000 у 3-му — 409 600; разом 905 600 проти вкладених 1 000 000.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m6-l2-discount-timeline-uk.png)

*Що далі гроші, то більше вони зменшуються на шляху до сьогодні.*

**Sofia:** Тобто проєкт повертає більше грошей, ніж коштує, і все одно програє?

**Alex Tutor:** Вона програє альтернативі. Від'ємна NPV за 25% означає, що той самий мільйон під 25% деінде дав би більше. Ставка не втрачає гроші — вона програє бар'єру.

> **Вправа:** Для CF₀ = −1 000 000 і потоків 300 000, 400 000 і 800 000 у 1–3-му роках яка NPV за ставки 25%, у гривнях?

**Alex Tutor:** То що насправді каже цей мінус?

> **Вправа:** Якщо недисконтовані потоки проєкту в сумі більші за його вартість, його NPV додатна за будь-якої ставки дисконтування.

## IRR: ставка, за якої NPV дорівнює нулю

**Sofia:** Тож за 25% не проходить. За якої ставки вона була б якраз на нулі?

**Alex Tutor:** Ця ставка — **IRR**, внутрішня норма дохідності. Акуратної формули немає, тож пробуєш: за 15% NPV дорівнює +89 340, за 20% — −9 259. Нуль десь між ними, близько до 20%: приблизно 19,5%.

**Alex Tutor:** Порівняй її з **бар'єрною ставкою** — мінімальною дохідністю, якої Klasna вимагає від проєкту, тут 25%. IRR нижче бар'єра означає, що NPV за бар'єрною ставкою від'ємна: той самий вердикт, сказаний двома способами.

![NPV проєкту падає зі зростанням ставки дисконтування: +500 000 за 0%, +89 340 за 15%, −9 259 за 20% і −94 400 за 25%; нуль — на IRR близько 19,5%, нижче бар'єра 25%.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m6-l2-npv-curve-uk.png)

*IRR — там, де крива перетинає нуль.*

**Sofia:** А в таблиці я просто скористаюся функцією IRR замість здогадок.

> **Вправа:** Проєкт має NPV = +40 000 за 10% і NPV = −15 000 за 14%. Що можна сказати про його IRR?

**Alex Tutor:** Тепер уточнимо IRR за двома найближчими ставками.

> **Вправа:** Для проєкту пробних іспитів NPV дорівнює +89 340 грн за 15% і −9 259 грн за 20%. Оціни IRR лінійною інтерполяцією між цими двома ставками, у відсотках, з двома знаками після коми.

## Окупність із дробовою частиною

**Alex Tutor:** Окупність ставить простіше питання: коли накопичені гроші повертаються до нуля? −1 000 000, далі −700 000, далі −300 000, далі +500 000. Плюс з'являється протягом 3-го року.

**Alex Tutor:** Щоб знайти дробову частину, припусти, що гроші року надходять рівномірно: бракує ще 300 000 із 800 000 третього року. Окупність = 2 + 300 000 ÷ 800 000 = 2,375 року. Це **лінійна інтерполяція**.

**Sofia:** А якщо спершу продисконтувати потоки, окупність настає пізніше: за 15% — приблизно 2,83 року.

**Alex Tutor:** Так, це **дисконтована окупність**. Жодна з версій не бачить грошей після точки окупності, тому вирішує NPV, а окупність лише каже, як довго гроші під ризиком.

> **Вправа:** Проєкт коштує 600 000 грн сьогодні й приносить 200 000, 250 000 і 300 000 у 1–3-му роках. Яка його окупність у роках з лінійною інтерполяцією?

**Sofia:** А те саме дисконтування працює для того, скільки родина варта за весь час навчання?

**Alex Tutor:** Так. Фінанси дисконтують маржинальний дохід кожного місяця: LTV = Σ CMₖ ÷ (1 + r)ᵏ з місячною ставкою — 1,877% для 25% на рік. Місяць 0 не дисконтується.

**Alex Tutor:** Родина, що лишає 300 грн на місяць упродовж трьох місяців: 300 + 300 ÷ 1,01877 + 300 ÷ 1,01877² ≈ 300 + 294,47 + 289,05 = 883,52, а не 900.

**Sofia:** За три місяці різниця невелика, але за два роки вона накопичується.

> **Вправа:** Якщо після інвестиції грошові потоки додатні, дисконтована окупність ніколи не коротша за просту.

## Твоя черга: менше трьох років

**Alex Tutor:** Leo прочитав числа й написав: «Окупність 2,4 року — менше за наше правило трьох років. Затверджуємо».

**Sofia:** Окупність правильна, але тут вирішальна не вона.

**Alex Tutor:** Тоді дай відповідь із числом, яке має вирішувати, і поясни, чому воно розходиться з його правилом.

> **Вправа:** Дай відповідь Leo, CEO Klasna, 3–4 реченнями: проєкт коштує 1 000 000 грн і приносить 300 000, 400 000 і 800 000; бар'єрна ставка Klasna — 25%. Чи має окупність 2,4 року вирішувати?

## Де це знадобиться

> **У підсумку**
>
> - **PV = FV ÷ (1 + r)ᵗ**; 1 ÷ (1 + r)ᵗ — коефіцієнт дисконтування.
> - **NPV** = Σ CFₜ ÷ (1 + r)ᵗ, де t = 0 не дисконтується. NPV > 0 за бар'єрною ставкою: ставка перевершує те, що гроші могли б заробити деінде.
> - **IRR** — ставка, за якої NPV = 0; її знаходять підбором (або функцією IRR у таблиці). IRR вище **бар'єрної ставки** ⇔ NPV за бар'єрною ставкою більша за 0.
> - **Окупність** = останній повний рік до того, як накопичені гроші стають додатними, + нестача ÷ потік того року. Дисконтована окупність рахує дисконтовані потоки й ніколи не буває коротшою.

> **Де це використовується**
>
> - [Чому гривня наступного року варта менше](/uk/courses/finance-for-product/time-value-of-money): PV = FV ÷ (1 + r)ᵗ.
> - [NPV, IRR і окупність продуктової ставки](/uk/courses/finance-for-product/npv-irr-payback): три інструменти поруч.
> - [Бар'єрна ставка й вартість капіталу](/uk/courses/finance-for-product/hurdle-rate): звідки береться 25%.
> - [Кейс: будувати власний відеоклас чи й далі платити за хвилини?](/uk/courses/finance-for-product/build-or-buy-case): NPV рішення «будувати чи купувати».
> - [Дисконтований LTV і окупність CAC у грошах](/uk/courses/finance-for-product/ltv-and-cac-payback-in-cash): LTV = Σ CMₖ ÷ (1 + r)ᵏ.
> - [Інфляція й реальна ставка](/uk/courses/personal-finance/inflation-and-the-real-rate): ділення на множник зростання, щоб повернути гроші до сьогодні.

**Alex Tutor:** Наступного разу — що буває, коли потоки тривають і тривають, щоразу зменшуючись на той самий множник.

- Попередній урок: [Складні відсотки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/compounding.md)
- Наступний урок: [Геометричні ряди](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/geometric-series.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.