# Умовна ймовірність і таблиця 2×2

> P(A | B) як частка всередині рядка, precision, recall і accuracy, відносний ризик і відношення шансів і чому напрям умови важливий.

- Курс: [Математика для статистики та юніт-економіки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics.md)
- Модуль: Імовірність і розподіли
- Урок 26/36, ~26 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/math-basics/conditional-probability

## «За умови, що»

**Alex Tutor:** Ти досі в продуктовій команді Klasna. Команда даних школи зробила модель, яка позначає учасників Club, схильних скасувати підписку, щоб підтримка зателефонувала їм першими. Минулого місяця було 1 000 учасників, 80 скасували. Модель позначила 120 людей, і 48 із них скасували.

**Sofia:** Тобто шанс скасувати зріс із 8% до 40%, щойно людину позначили?

**Alex Tutor:** Це і є **умовна ймовірність**. P(скасує) = 80 ÷ 1 000 = 0,08 для всіх. P(скасує | позначений), читається «за умови, що позначений», дивиться лише на 120 позначених: 48 ÷ 120 = 0,40.

$$
P(A \mid B) = \frac{P(A \text{ and } B)}{P(B)}
$$

*Умова B звужує знаменник до випадків, де B правдива.*

**Alex Tutor:** У частках від усіх: позначені й скасували — 48 із 1 000, тобто 0,048; позначені — 120 із 1 000, тобто 0,12. 0,048 ÷ 0,12 = 0,40 — та сама відповідь.

> **Вправа:** Із 880 учасників, яких модель не позначила, скасували 32. Чому дорівнює P(скасує | не позначений) у відсотках, з одним знаком після коми?

## Таблиця 2×2

**Alex Tutor:** Складімо все в таблицю. Рядки — що сказала модель. Стовпці — що сталося. Чотири клітинки: 48 влучань, 72 хибні тривоги, 32 пропущені скасування й 848 правильних «ні».

**Alex Tutor:** Спершу заповни таблицю самостійно з того, що ми знаємо.

> **Вправа:** Модель відтоку Klasna минулого місяця: 1 000 учасників Club, 80 із них скасували; модель позначила 120, і 48 позначених скасували. Скільки учасників не були позначені й не скасували?

![У таблиці 2×2 precision читає рядок позначених (48 із 120 = 0,40), а recall — стовпець тих, хто скасував (48 із 80 = 0,60).](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m7-l2-confusion-grid-uk.png)

*Ті самі 48 у чисельнику, щоразу інший знаменник.*

**Alex Tutor:** **Precision** читає рядок: скільки з позначених скасували? TP ÷ (TP + FP) = 48 ÷ 120 = 0,40. **Recall** читає стовпець: скількох із тих, хто скасував, ми позначили? TP ÷ (TP + FN) = 48 ÷ 80 = 0,60.

**Sofia:** А accuracy рахує всі правильні клітинки?

**Alex Tutor:** Так: (48 + 848) ÷ 1 000 = 0,896. А тепер модель, яка не позначає нікого: вона права щодо всіх 920, хто лишився, тож accuracy 0,92 — вища за нашу, хоча вона не ловить жодного скасування.

**Sofia:** Тобто коли подія рідкісна, accuracy здебільшого рахує легкі «ні».

**Alex Tutor:** Саме так. Тому команди, які діють за позначками, дивляться на precision (скільки дзвінків марні) і recall (скільки скасувань прослизає повз), а не на accuracy.

> **Вправа:** Зістав кожне число із запитанням, на яке воно відповідає щодо моделі відтоку.

**Alex Tutor:** А тепер модель, яка нікого не позначає, у числах.

> **Вправа:** У Klasna Club скасування рідкісні: 80 із 1 000 учасників на місяць. «Лінива» модель не позначає нікого. Які в неї accuracy і recall?

> **Вправа:** Друга модель позначає 300 учасників і ловить 72 із 80, хто скасовує. Її recall вищий, ніж у першої моделі, а precision нижча.

## Напрям умови

**Sofia:** Стоп. P(скасує | позначений) — 0,40, а P(позначений | скасував) — 0,60. Ті самі дві події, а числа різні?

**Alex Tutor:** Бо знаменники різні: 120 позначених проти 80, хто скасував. Переставити умову — найпоширеніша помилка з імовірностями. p-значення — саме такий випадок: це P(такі дані | ефекту немає), а не P(ефекту немає | такі дані).

**Alex Tutor:** Деякі звіти про тести пишуть: «B краще з імовірністю 59%». Це P(B краще | дані) = 0,59 — ледь більше, ніж підкидання монети. Це не означає, що B на 59% краще чи що 59% користувачів обирають B.

> **Вправа:** У звіті про тест написано: «Імовірність, що варіант B кращий за A: 59%». Як це правильно прочитати?

## Порівнюємо дві групи

**Alex Tutor:** Ще одне застосування таблиці 2×2. Частина учнів після пробного уроку отримала короткий дзвінок про цілі: купили 105 із 300. Без дзвінка купили 125 із 500. Тобто 0,35 проти 0,25.

**Alex Tutor:** **Відносний ризик** ділить дві ймовірності: 0,35 ÷ 0,25 = 1,40. **Відношення шансів** ділить шанси «так» ÷ «ні»: (105 ÷ 195) ÷ (125 ÷ 375) = 0,538 ÷ 0,333 ≈ 1,62. Літерами таблиці це ad ÷ bc.

**Alex Tutor:** Спершу спробуй відносний ризик на іншому тесті Klasna.

> **Вправа:** Klasna спробувала нагадування про уроки. Із 400 учнів, які їх отримували, 90 пропустили урок того місяця; із 500, які не отримували, пропустили 150. Який відносний ризик пропуску з нагадуванням порівняно з без нагадування? Два знаки після коми.

![З дзвінком купили 105 із 300 (0,35), без нього 125 із 500 (0,25): відносний ризик 1,40, відношення шансів близько 1,62 — далі від 1.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m7-l2-rr-or-uk.png)

*Два чесні способи порівняти групи; завжди кажи, який саме подаєш.*

**Sofia:** Чому відношення шансів більше?

**Alex Tutor:** Шанси розтягуються швидше за ймовірності, коли p росте. Для рідкісних подій, скажімо 2% проти 1%, обидва числа майже збігаються. Логістична регресія подає відношення шансів, тож читай їх як «шанси в 1,62 раза більші», а не «у 1,62 раза ймовірніше».

> **Вправа:** Із 200 учасників Club, які в перший тиждень прийшли на розмовний клуб, 30 скасували в перший місяць. Із 600, які не прийшли, скасували 150. Яке відношення шансів скасувати для тих, хто прийшов, порівняно з тими, хто ні? Два знаки після коми.

## Твоя черга

**Alex Tutor:** Остання перевірка. На чернетці слайда про модель відтоку написано: «Модель точна на 89,6%, тож 9 із 10 позначених нею учасників скасують підписку».

> **Вправа:** Чернетка слайда про модель відтоку каже: «Модель точна на 89,6%, тож 9 із 10 позначених нею учасників скасують підписку». Двома-трьома реченнями поясни, що не так зі слайдом і яке число має замінити це твердження. Скористайся таблицею: 48 влучань, 72 хибні тривоги, 32 пропуски, 848 правильних «ні».

## Де це знадобиться

> **У підсумку**
>
> - **P(A | B)** = P(A і B) ÷ P(B): рахуй лише випадки, де B правдива.
> - **Precision** = TP ÷ (TP + FP), рядок позначених. **Recall** = TP ÷ (TP + FN), стовпець справжніх позитивних. **Accuracy** = правильні ÷ усі, і для рідкісних подій вона прикрашає.
> - P(A | B) ≠ P(B | A). p-значення бере за умову «ефекту немає».
> - **Відносний ризик** = p₁ ÷ p₂; **відношення шансів** = (a ÷ b) ÷ (c ÷ d) = ad ÷ bc, воно далі від 1.

> **Де це використовується**
>
> - [p-значення та статистична значущість](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/p-value): імовірність за умови, що ефекту немає.
> - [Логістична регресія та класифікація](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/logistic-regression): відношення шансів, матриця помилок, precision і recall.
> - [Підсумок курсу: як обрати правильний тест](/uk/courses/statistics-for-pm-and-marketers/choosing-the-right-test): таблиці 2×2 з частотами.
> - [План A/B-тесту: гіпотеза, метрика, guardrail-метрики](/uk/courses/product-analytics/test-design): хибні тривоги й пропущені ефекти.
> - [Кейс: читаємо завершений тест](/uk/courses/product-analytics/reading-a-test): що результат тесту каже, а чого — ні.

**Alex Tutor:** Наступного разу — математичне сподівання, або як зважувати наслідки за їхньою ймовірністю.

- Попередній урок: [p і 1 − p](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/p-and-1-minus-p.md)
- Наступний урок: [Математичне сподівання і сценарії](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/expected-value.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.