# Складні відсотки

> Множники зростання, чому −50%, а потім +50% втрачає чверть, (1 + r)ⁿ, прості й складні відсотки, CAGR із дробовим степенем і перехід між місячними та річними ставками й відтоком.

- Курс: [Математика для статистики та юніт-економіки](https://productovi.com/uk/courses/math-basics.md)
- Модуль: Зростання і час
- Урок 21/36, ~27 хв
- Джерело: https://productovi.com/uk/courses/math-basics/compounding

## Зміни перемножуються

**Alex Tutor:** Новий модуль, та сама команда: ти й далі в продуктовій команді Klasna. Leo задоволений: «Klasna Club улітку втратив 50% учасників, а у вересні виріс на 50%. Тож ми там, де й були».

**Sofia:** Припустімо, їх було 1 000. Половина йде — 500. Потім +50% від 500 — це ще 250: 750. Ми на чверть нижче.

**Alex Tutor:** Бо кожен відсоток рахується від іншої бази. Перетвори кожну зміну на **множник зростання**: +r стає ×(1 + r), тож −50% — це ×0,5, а +50% — ×1,5. Ланцюжок змін — це добуток: 0,5 × 1,5 = 0,75.

**Alex Tutor:** Це працює й для великих коливань. +300%, а потім −75% — це ×4 × 0,25 = 1: точно назад до старту, хоча «в середньому» ці два відсотки дають +112,5%.

> **Вправа:** Метрика падає на 20% за один місяць і зростає на 20% за наступний. Яка загальна зміна у відсотках? Для зменшення постав мінус.

**Alex Tutor:** Тепер велике коливання — таке, як на графіках крипти.

> **Вправа:** Метрика, яка виросла на 300%, а потім впала на 75%, закінчує точно там, де почала.

## Відсотки на відсотки

**Alex Tutor:** Повтори той самий множник n разів — і маєш степінь. Гроші під ставку r за n років виростають до FV = PV × (1 + r)ⁿ. Це **складні** відсотки: кожен рік заробляє і на торішніх відсотках.

$$
FV = PV \cdot (1 + r)^n \qquad FV = PV \cdot (1 + r \cdot n)
$$

*Ліворуч — складні відсотки, праворуч — прості. PV — сума сьогодні; FV — сума через n періодів; r — ставка за період.*

**Sofia:** А **прості** відсотки нараховуються лише на початкову суму. Для 1 000 000 під 25% на два роки: 1 500 000 за простими, 1 000 000 × 1,25² = 1 562 500 за складними.

**Alex Tutor:** Різниця 62 500 — це відсотки на відсотки першого року. За два роки вона невелика, за двадцять — переважає.

![За ставки 25% на рік 1 000 000 за два роки стає 1 500 000 за простими відсотками й 1 562 500 за складними; за шість років — 2 500 000 проти 3 814 697.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m6-l1-simple-vs-compound-uk.png)

*Прості відсотки додають той самий крок щороку, складні — множать.*

**Alex Tutor:** Порівняймо дві формули на реальних грошах.

> **Вправа:** Klasna кладе 1 000 000 грн на депозит під 25% на рік на два роки, і відсотки щороку додаються до суми. Скільки буде на рахунку через два роки?

> **Вправа:** Сума зростає на 2% щомісяця. На скільки відсотків вона зросте за 12 місяців? Два знаки після коми.

## Середнє річне зростання: CAGR

**Alex Tutor:** Тепер навпаки. Klasna провела 8 000 уроків першої весни і 11 200 — через три весни. Яке стабільне річне зростання дає такий результат?

**Sofia:** Загальне зростання — 11 200 ÷ 8 000 = 1,4, тобто +40%. Поділити на 3 — приблизно 13,3% на рік?

**Alex Tutor:** Так ти ігноруєш складне зростання. Потрібен множник x, для якого x³ = 1,4, тобто x = 1,4^(1/3) — кубічний корінь. Степінь 1/n — це корінь n-го степеня. 1,4^(1/3) ≈ 1,1187: **CAGR** — 11,87%.

$$
CAGR = \left(\frac{V_n}{V_0}\right)^{1/n} - 1
$$

*CAGR — середньорічний темп зростання зі складними відсотками; V₀ — початкове значення; Vₙ — значення через n років. У таблиці: =(кінець/початок)^(1/n)-1.*

**Alex Tutor:** У курсі особистих фінансів та сама пастка з дохідністю: 20 років із середньою 6% «на папері» перетворили 100 000 на 275 589, а це CAGR 5,2%. Збиткові роки забирають більше, ніж додають такі самі прибуткові.

> **Вправа:** Klasna Club виріс із 400 до 900 учасників за 4 роки. Який CAGR у відсотках? Два знаки після коми.

**Alex Tutor:** Ще один випадок, коли просте середнє вводить в оману.

> **Вправа:** Накопичувальний фонд виріс на 50% за один рік і впав на 20% за наступний. Який його CAGR за два роки, у відсотках? Два знаки після коми.

## Місячне й річне

**Alex Tutor:** Дробовий степінь також переводить ставки. 25% на рік — це не 25 ÷ 12 на місяць, а 1,25^(1/12) − 1 ≈ 1,877% на місяць, бо дванадцять місячних кроків мають у добутку дати 1,25.

> **Вправа:** Депозит дає 20% на рік. Яка рівноцінна місячна ставка, якщо відсотки нараховуються щомісяця й дають ту саму річну суму?

**Sofia:** А відтік? Якщо щомісяця йде 5% учасників Club, то це 60% на рік?

**Alex Tutor:** Ні: щомісяця йдуть 5% із тих, хто ще лишився. Через рік лишається 0,95¹² ≈ 0,5404, тож річний відтік — 1 − 0,5404 ≈ 46%, а не 60%.

![Зі 100 учасників за місячного відтоку 5% через 12 місяців лишається 54,04, тож річний відтік — близько 46%, а лінійна здогадка 12 × 5% лишила б лише 40.](https://productovi.com/courses/math-basics/diagrams/m6-l1-churn-staircase-uk.png)

*Щомісяця губиться 5% від дедалі меншої групи.*

![Кіт сидить на великій сніжці внизу схилу; уздовж сліду та сама сніжка росте від крихітної до величезної.](https://productovi.com/courses/math-basics/inline/m6-l1-i1.webp)

*Складне зростання: кожен оберт додає до того, що вже є.*

> **Вправа:** Місячний відтік — 3%. Яка частка учасників піде протягом року, у відсотках? Два знаки після коми.

**Sofia:** Тож щоразу, коли називають ставку, варто питати: за місяць чи за рік і чи нараховуються відсотки на відсотки?

**Alex Tutor:** Саме так. Кредит під «3% на місяць» звучить дрібно, але 1,03¹² ≈ 1,426 — це приблизно 42,6% на рік. Кредитори знають, яка версія звучить краще.

**Sofia:** А з річної в місячну — беру корінь 12-го степеня замість ділення на 12.

**Alex Tutor:** Так. У таблиці: =(1+R)^(1/12)-1. Ділення на 12 трохи завищує місячну ставку.

## Твоя черга: рік Club

**Alex Tutor:** Leo планує наступний рік Club: «Місячний відтік — 5%, тож за рік втрачаємо 60%. З 1 000 учасників лишаться 400. Нам треба 600 нових, щоб лише втримати рівень».

**Sofia:** 400 — неправильно, і 600 теж. Хоча нові учасники за рік теж відпадають…

**Alex Tutor:** Тримайся його головного твердження: скільки з нинішніх 1 000 лишаться і чому його скорочення хибне.

> **Вправа:** Дай відповідь Leo, CEO Klasna, 3–4 реченнями: за місячного відтоку 5% скільки з нинішніх 1 000 учасників Club лишаться через рік і чому «12 × 5% = 60%» хибне?

## Де це знадобиться

> **У підсумку**
>
> - Зміна на r — це **множник зростання** (1 + r); ланцюжок змін — добуток. −50%, а потім +50% — це ×0,75; +300%, а потім −75% — ×1.
> - **Складне** зростання: FV = PV × (1 + r)ⁿ. **Прості** відсотки: PV × (1 + r·n).
> - **CAGR** = (кінець ÷ початок)^(1/n) − 1; степінь 1/n — це корінь n-го степеня. Коли дохідність коливається, CAGR нижчий за просте середнє річних дохідностей.
> - Місячне ↔ річне: (1 + R)^(1/12) − 1 і (1 + r)¹² − 1. Річний відтік = 1 − (1 − c)¹², а не 12 × c.

> **Де це використовується**
>
> - [Чому гривня наступного року варта менше](/uk/courses/finance-for-product/time-value-of-money): 1 000 000 × 1,25² = 1 562 500.
> - [Дисконтований LTV і окупність CAC у грошах](/uk/courses/finance-for-product/ltv-and-cac-payback-in-cash): річна ставка, переведена в місячну.
> - [Реальна річна вартість кредиту](/uk/courses/personal-finance/real-cost-of-a-loan): R = (1 + r)¹² − 1.
> - [Ризик і дохідність: «високо й надійно» не буває](/uk/courses/personal-finance/risk-and-return): 6% у середньому, 5,2% зі складними відсотками.
> - [Кейс: «просто купи крипту» чи регулярний план](/uk/courses/personal-finance/hot-tip-case): +300%, а потім −75%.
> - [Цілі з ціною й датою](/uk/courses/personal-finance/goals-with-a-price-and-a-date): ціна через n років, p × (1 + i)ⁿ.
> - [MRR і відтік](/uk/courses/bootstrapped-product/mrr-and-churn): місячний відтік і що він робить за рік.

**Alex Tutor:** Наступного разу запустимо складні відсотки навпаки: скільки гроші з майбутнього варті сьогодні.

- Попередній урок: [Розкладаємо загальну суму](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/splitting-a-total.md)
- Наступний урок: [Дисконтування](https://productovi.com/uk/courses/math-basics/discounting.md)

---
Productovi Learning. Безкоштовно, читати можна без реєстрації.